Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (1185915), страница 103
Текст из файла (страница 103)
)), то здесь вычисления очень просты. В самом деле, варьируя аргумент р в определении (13) функционала Р[и(.), р( ) [, получаем очевидное выражение Р[и( )~ Р( ) + ЬР( )1 Р[иэ Р[ + ~ ~ (Ьр< и«+ Ьрз ™у) ~~х ~(у~ с означающее, что функциональные производные Р по р( ) суть ар(«( ), р< >1 ар — и„(х, у), — — и (х, у). 1 р2 Теперь мы имеем все, чтобы описать алгоритм решения задачи, пгнвлнжлнныв методы вычислительной»нзнкн 1ч, и 488 О. Пусть имеется некоторое приближение р( ).
1. При фиксированном р(х, у) решается задача (15), находится и(х, у), вычисляются производные и (х, у), и (х, у). 2. НахоДится значение Ф[р( )) = Р[и( ), р( )). 3. Делается шаг по двойственным переменным; р1(х, у) р~(х, у) + Я и„(х, у), рз = рз+ Я и (х, у). Вектор р(х, у) проецируется на единичную сферу. Процесс повторяется до стабилизации двойственных переменных. Здесь Я— шаг подъема по градиенту.
Его выбор существенно влияет на успех всей процедуры. Вмшеприведенный алгоритм естественно трактовать как решение задачи шах Ф[р( )) по р. При этом необходимо контролировать ход вычислений, следя за эволюцией значения Ф ирн изменении р. В работах Ж. Лионса и сотрудников разработаны некоторме рекомендации по назначению шага 5. Возможно и автоматическое регулирование Я, опирающееся на сопоставление фактического приращения Функционала ЬФ = Ф[р+ Ьр) — Ф[р) с его первой вариацией ЬФ = Ф Ьр. Опыт показал, что этот алгоритм быстро вырабатывает достаточно эффективное значение шага Я. й 30.
Псевдоднффереициаяьиые уравнения Познакомимся с методами приближенного решения специфических задач, возникающих в линейной теории трещин. Начнем с постановки характерной математической задачи. В заданной области О ищется функция и(х, у), удовлетворшощая интегральному уравнению Здесь Ь вЂ” оператор Лапласа по переменным х, у; функция / — заданная сила, Поясним механический смысл задачи: б — плоская область разрыва в сплошной трехмерной среде; и(х, у) — виормальный отрыв», т.е. смещение верхней границы трещины в направлении, ортогональном ее плоскости (нижняя смещается на — и(х, у)). Заметим, что за пределами задачи остались такие важные вопросы, как определение самой плоской области О, по которой происходит разрыв вещества, определение тангенциальных к поверхности трещины смещений ее границ.
Эти задачи в линейной теории решаются независимо от определения нормального отрыва. В частности, определение тангенциального смещения приводит к уравнению типа (1), При его решении возникают те же проблемы и применяются те же методы, но в более слежной форме, так как и становится двумерной вектор-функцией, а Ь заменяется на дифференциальный матричный оператор. Ограничимся этими разъяснениями и перейдем к чисто математическим вопросам.
4з9 з зо1 ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Псевдодифференциальный оператор. Прежде всего отметим, что в (1) оператор Ь не внесен под знак интеграла не случайно: этому препятствует появление в ядре слишком сильной особенности (типа 1/гз, где г = ~/х'+у~). По форме уравнение (1) — интегральное, по математическим свойствам — дифференциальное первого порядка. Подействуем интегральным оператором (1) на пробную функцию и(х, у) = ед4*+'и» (считая С полной двумерной плоскостью).
Результатом будет функция ~Я~+ т~ед«"+ У>. Именно асимптотика символа» оператора (1) \/хз+ тз и определяет его порядок (символ оператора д/дх есть 1/с, символ дз/дхз есть — хз, и т.д.). В то же время оператор й ~ ~ г ' не локальный: значение левой части (1) в точке (х, у) определяется всей функцией и( ) в С, а не ее значениями в сколь угодно малой окрестности (х, у), как в обычных дифференциальных операторах. Ядро интегрального преобразования имеет сильную особенность в точке (х = х', у = у') и быстро убывает при удалении от точки (х, у).
Это характерная для «псевдодифференциальных» операторов картина. Как в прикладных задачах появляются уравнения с псевдодифференциальными операторами? Типичным источником таких задач является следующий прием. Предположим, что решается простое дифференциальное (как правило, эллиптического типа) уравнение в очень простой области, например уравнение Лапласа Ь и = О в круге. Простота уравнения и области понимаются в том смысле, что для не-' которой простой краевой задачи известно эффективное выражение функции Грина Г. Обычно такой краевой задачей является задача Дирихле.
Если задано значение и на границе (обозначим его и" (з), где з — параметр на границе круга), то решение простой краевой задачи выписывается явно: и(х, у) = $ Г(х, у; з) и*(е) Ыя. (2) Но зто не та задача, которая нас интересует. Требуется решить задачу с гораздо более сложными краевыми условиями, например с условиями п(е) ц(х(е), у(е)) + Д(е) " " ' = у(х), (х(е), «(е)) Е дС. (3) Для этой зздачи явного выражения функции Грина нет. Используем такой прием. Введем и'(е) в качестве неизвестной функции. Выразим решение в «явном виде» через искомую функцию и' по формуле (2).
Подставляя это выражение в краевое условие (3), получаем сингулярное интегральное уравнение относительно и'. Примерно таким способом было получено уравнение (1). пгивлижвнныв мвтоды вычислительной физики 1ч, и Обобщенное решение. Первый вопрос, который, естественно, возникает (и ответ на него существен прн построении численного метода решения (1)): что следует считать решением уравнения (1)? Здесь используется стандартная процедура, введенная Б. Г. Галеркиным с целью приближенного решения некоторых уравнений и превратившаяся в современную теорию обобщенных решений, Умножим (1) на некоторую достаточно гладкую финитную функцию н(х, у) и проинтегрируем полученное выражение по О.
Используя гладкость н, «перебросим» на нее часть дифференциального оператора Ь = б(т йгаб, б(т' = — йгаб. В результате получаем некоторое соотношение, которое должно (если и — решение) выполняться для всех пробных функций н. Конечно„следует еще определить пространство, из которого может выбираться и(х, у). Исследования показали, что с математической точки зрения можно ограничиться классом непрерывнык и(х, у), имеющих кусочно-непрерывные в й первые производные.
Такой класс приемлем и с механической точки зрения. — — „~~«(х ~(ун(х, у) д)т агам ~~ г 'и(х', у') Ых' Ну'= с с — ~ ~ (агам и) (х, у) Ых г(у агаб ~ ~ г ' и(х', у') ~(х' Иу'. (4) Внося оператор бган под внутренний интеграл, получаем векторное ядро (Гз(х х1у у') Гз(х хну — уй=((г ') (г ') ) с допустимой (при оговоренных свойствах и) особенностью. Разумеется, мы использовали финитность в О функции н, опустив «краевые члены». В результате преобразований выражение (4) принимает вцд — 5 И 1(н,(х, у) Г,(х — ', у — у') + (х, у) Г ( — ', у — у'» н х и(х', у') Ых оу Ых' оу'.
Мы получили некоторую билинейную форму от и, н (обозначим ее 1(и, н)). Вместе с тем та же операция интегрирования, примененная к правой части (!), даст скалярное произведение функций г' и и. Итак, вместо «псевдодифференциальнопвь уравнения (1) мы име- ем обычное в современной теории соотношение, определяющее обобщенное решение: 1(и, н) = (Д, н), У и, (5) 491 й зо1 ПСВВДОДИФ4ВГВНЦИАЛЬНЫВ ГГАВНВНИЯ Вышеприведенные выкладки были проделаны потому, что именно соотношение (5) используется при 4дискретнзации» задачи.
Метод конечных элементов. Эффективный метод приближенного решения уравнений типа (1) разработан механиками на основе метода конечных элементов. Его применение в данных задачах требует некоторых предосторожностей. Введем в плоскости (х, у) квадратную сетку с шагом л. Пометнм узлы этой сетки парой индексов (х, т), их геометрические координаты х4 = йй, у = тл. Определим в узлах искомую сеточную функцию иь .
С каждым узлом свяжем элементарную область со„, состоящую из четырех примыкающих к узлу ячеек Ьх л, и определенную на базисную функцию р4 (х, у). Эта функция равна единице в центре ш„, нулю — на ее границе. Внутрь со4 функция р„продолжается билинейной интерполяцией, т.е., например, обозначая ~= (х — х )/Ь, В = (у — у )/Ь, в правой верхней ячейке Ь х л, имеем выражение 1 — р — г1 + рч при О ~ Ц, г1:к 1, О Определим счетную область бь. Будем считать точку (й, гл) счетной, если (х, у ) Е О. В этих точках определена сеточная функция иг .
Тогда бь = О со4 м. Здесь, как и в дальнейшем, без специальных указаний предполагается, что индексы (х, т) пробегают значения, соответствующие счетным точкам и только им. Приближенное решение ищем в виде функции и(х, у) = ~ из р„„, (х, у). (б) 4, в Составим уравнение (5), заменив Ч и на т' ~р„ Используем билинейность формы 1 и вынесем коэффициенты иь и суммирование за пределы операции 1.
Обозначая У, ~ = (/', р; ), Аз,"'=1(~рд, <р; ), получаем систему линейных алгебраических уравнений, аппроксимирующую уравнение (1) (нли (4)): (7) ЛРИЕЛИЖЕННЫЕ МВТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ !ч. и 492 с Учетом этого имеем У(Рк «, Рс у) = У(РВ, у, РВ В). Теперь уравнение (7) можно записать в форме ~Ч;А„",. И„„=у... Ч у, у. В,т (8) Здесь А" означает, что матрица А вычислена для сетки л х л.
Несложный анализ (хотя бы размерностей) показывает, что можно вычислить «уннверсальную» матрицу на сетке 1 х 1 один раз и после этою пользоваться формулой А" = УР 'А'. В универсальной матрице А' наиболее сложно вычисляются элементы Ау с малыми значениЯми )У! + )У'~ цЗ, так как именно в этих случаях сказывается сингулярность подынтегрзльной функции. Для вычисления таких элементов были разработаны специальные программы аккуратного интегрирования, с помощью которых вычислены элементы А, для малых у, у (их можно найти в соответствующих работах). Остальные элементы А, . легко вычисляются по су простым асимптотнчсским формулам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
