Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (1185915), страница 99
Текст из файла (страница 99)
Например, известная задача Дирихле допускает две формулировки: 1) ш!и ~~ (НЗ+ из) Их 4(у; 2) Ьи=О, и Е У. (2) «яи с Здесь У вЂ” пространство функций, удовлетворяющих следующим условиям:, а) и ПРИНИМаст ЗадаННЫЕ ЗиаЧЕННя На д4г; б) и непрерывна и имеет первые производные, ограниченные в норме 1.2; вторая формулировка задачи предполагает существование вторых производных. В современной науке все чаще возникают задачи (! ), в которых функционал Р(и) не имеет производной Фреше.
Он дифференцируем в более слабом смысле Гато, т.е. лишь по направлениям в функциональном пространстве. Другими словами, для любого возмущения е», такого, что и + ен Е У, 1г е ~ О, имеем Г'(и + ЕН) = г'(и) + Ег"(И, Н) + С(Е), 472 оаикляхшнныв методы вычислительной ьизики 1ч. и При этом У считают конусом, а Р'(и, г) называют производной Р в точке и по направлению и.
Введем конус У, включающий такие элементы, для которых и+ еи е У при достаточно малом е > О. Этот конус г' может быть своим для кахсяой точки и, т.е, его следует обозначать Р(и), н необходимое условие экстремума принимает форму так называемого ашриационного неравенства: функция и является решением задачи, если Р(и+ с) В г"(и) для всех о Е У(и), или Р'(и, аа) ~0, Чаа Е 1'(и). Приближенные методы решения задач, сформулированных как вариационные с недифференцнруемым по Фреше фукционалом или в терминах варнационного неравенства, в настоящее время делают первые шаги. В этой области открывается широкое поле для создания эффективных вычислительных методов. Однако это достаточно трудная область, она требует использования неклассических методов линейной алгебры, в частности алгоритмов линейного программирования (алгоритмов решения задач типа (26.1), линейных, но содержащих условия-неравенства).
Заметим, наконец, что часто функционалы Р(и) шочти всюду» имеют обычную производную Фреше: они дифференцнруемы только в смысле Гаго в очень редких точках и. К сожалению, именно таковыми являются искомые решения (н близкие к ннм точки). Простейший пример Р(и) = ~ и~ поясняет это замечание. Обратимся к некоторым характерным конкретным задачам. Задача Бингама, В заданной двумерной области О ищется функция и'(х, у), минимизирующая функционал г(аа(, )) ш г))г (2 (и'„+ И) +Ъ'из+ иг — аи) Их АУ, и!ас — -О.
с (3) Физически и(х, у) есть продольная скорость движения в трубе сечением О так называемою вязкопластичного вещества, т.е. вещества, подчиняющегося обычному закону Ньютона (ускорение "пропорционально силе), только если сила превосходит некоторый порог. Поэтому в этом случае говорят о стационарном движении неньютоновской среды. Такую среду образуют, например, пульпа, колбасный фарш, некоторые виды ракетного топлива и т.п. Параметр а связан с перепадом давления, Π— область не очень сложной формы (круг, прямоугольник). Что же можно сказать о дифференцируемости функционала (3)? Он недифферевцируем в смысле Фреше в том случае, когда функция и(х, у) тождественно равна постоянной в некоторой области я е С, имеющей ненулевую плоскую меру. Это, к сожалению, типичная си- «тз 4 29] ЕАуиАционныь 3АЦАчи мехАники туация.
Некоторые части среды образуют как бы твердое тело: и(х, у) = сопят, и„= и = 0 при (х, у) е я. Если область я находится внутри б, ее называют «ядром» течения. Если оиа примыкает к границе б, ее называют «зоной застоя», так как в этой зоне и ° 0 (зоны застоя часто образуются вблизи угловых точек, если Π— прямоугольник). Наднчиетаких областей — характерное явление, если перепад давления а не очень велик. Прн достаточно большом а таких областей нет, при достаточно малом а все сечение 6 образует зону застоя и «жидкость» не движется. Функционал (3) называют функционалом Бингама, а описываемую им среду — средой Бингзма.
Задача Ильюшина. Эта задача связана с течением той же самой вязкопластичной среды, только речь идет не о продольном ее движении, а о «вращении» в сечении б. Оно описывается функцией тока и(х, у) (через которую скорость движения в плоскости сечения выражается известными формулами ( — и, и„)). Рассматриваются функции и, удовлетворяющие краевому условию «прилипания» к границе: и =О, ди/дл = 0 на дО. Вводится квадратичная форма 1(х, у) = (и„— и )г+ 4иг и ставится задача минимизации функционала: г"(и(., )) яя ~~ ( ~~ 1(х, у) +з/Х(х, у +Яхи ) а(х йу. (4) с (Этот функционал называют функционалом Ильюшина.) Здесь характерными являются течения, в которых образуются «ядра течения» — области я Е б, в которых 2(х, у) ея О.
Очевидно, в этом случае и„ = О, и„„ = иуу Это, как нетрудно проверить, означает, что в я среда вращается, как твердое тело вокруг некоторого центра, Дифференцируемость функционала (4) по направлениям подробно проверять не будем, ограничившись указанием на основной фактор такого анализа на примере функционала Бингама. Пусть точка и(, ) содержит ядро, т.е. в некоторой точке (х, у) Е б значения и = и = О. Пусть и возмущается на ан, причем н(х, у)— Х У дифференцируемая функция, Тогда подынтегральное выражение в (3) обычным образом разлагается в ряд по а; 0.5((и*„+ .2) + 2а(и,н„+ и,н,) + О(аг)) + + Ки„+ и ) + 2а(и,н„+ иуну) + а (н„+ нг)) г уз — аи — пан = О(аг) + ~ а ~ (нг + „г) г У г пи Таким образом, главный член приращения интегранта в этой точке есть ~ «~1Я+ нг — аать Однако дальнейшие, стандартные в вариационном исчислении выкладки (интегрирование по частям), имеющие целью избавиться от производных н и получить выраже- 474 пгизлижвииые меоды вычислительной»изики [ч.
и ние в терминах только о, здесь принципиально невыполнимы. Это обстоятельство имеет весьма важное следствие, существенно осложняющее создание алгоритмов приближенного решения; необходимое условие оптимальности в этих задачах имеет принципиально нелокальный характер. Имеется в виду следующее. Если взять классическую задачу с функционалом Днрихле (2), то функцию и(х, у), подозреваемую в том, что она й есть точка минимума, можно проверить в каждой точке (х, у) отдельно: надо вычислить в этой точке Ьи.
Если эта величина всюду равна нулю, все в порядке, если хотя бы в одной точке Ьи ~ О, это не решение. В такой точке и(, ) значение функционала можно понизить. Это прямо вытекает из того, что вариация функционала Днрихле после интегрирования по частям преобразуется к виду г[и( °, ° ) + Ьи(, )] = г[и(, )] — ~~ Ли Ьи ах Ну+ 0(]]Ьи]]~). Итак, если в какой-то точке (х, у) (а по непрерывности — и в ее окрестности) Ьи > О, то можно взять в качестве Ьи(х, у) гладкую финитную функцию, положительную там, где Лп > О, и равную нулю в остальной части б. Для такого возмущения ЬР < О. Если функционал нельзя улучшить финитными возмущениями точки и( °, ° ), то она является экстремумом.
Это н имеется в виду, когда говорится, что необходимое условие в классической вариационной задаче имеет локальный характер. Иное дело в неклассической задаче, хотя бы в задаче Бингама. Здесь необходимо испытывать функцию и(х, у), подозреваемую в качестве экстремальной, специальными нелокальнымн возмущениями, Пусть, например, исследуется функция и(х, у), содержащая ядро течения в форме круга радиусом р, в котором и(х, у) = сопз$.
В остальной части 6 (где из«+ из ~ 0) выполнено стандартное локальное условие экстремума, которое имеет форму дифференциального уравнения (уравнения Эйлера): Ьи+ [и„Низ+ и~] + [и/ и~+ и, + а = О. Проварьируем функцию и в области ядра следующим образом. В окружности, концентрической с ядром радиуса р — Ь, положим возмущение равным е. Пусть вне ядра возмущение будет нулевым, а в «поясе» шириной Ь оно линейно по радиусу переходит от нуля до е. Обозначим возмущенную функцию й(х, у), область ядра я.
Вычислим приращение функционала, опуская некоторые заведомо несущественные малые величины: Р[й(., )] — Р[и(., )] = = — ~ ~ ас Ых ау + ~ ~ [~и~ + ии + 0.5(и~ + и~~)) Нх Иу. к 4 475 1 291 ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ Здесь л — вышеупомянутый пояс. Легко понять, что в этом поясе (из+ из)пг»»! е/Ь1, так как величина иг+ иг инвариантна при поворотах системы коордиыат и при ее оценке удобно перейти в локальную систему координат, оси которой совпадают с касательной и нормалью к контуру 5. Для взриаЦии функционала имеем Ь/г — а«яр + 2прЬ(~е/Ь! +05~«/Ь~ ). Пусть возмущение е м Ь. Тогда главная часгь ЬР при е > О (е с 0 можно не рассматривать, так как в этом случае заведомо ЬР> О) есть ЬР = — е(апрг — 2пр). Очевидно, если апрг > 2пр, точка и может быть улучшена.
Итак, необходимым для оптимальности и является условие апрг м 2пр. Предоставим читателю обобщить эту конструкцию на область ядра произвольной формы. Легко понять, что ярг надо заменить на Я (плошадь 5), а 2пр — ыа длину контура /.. Тем самым мы получаем общее необходимое условие на ядро течения в терминах его площади и длины контура границы: аЮа /,. Более тонкий анализ показывает, что условие а= //5 является достаточным для того, чтобы точка и(, ) была решением задачи Бингама (это установлено П.
П, Мосоловым и В. П. Мясниковым в 1965 г.). Проверим, что в определенных, заведомо неоптимальных ситуациях попытки «улучшить» некоторое проверяемое «решение» с помощью финитных возмущений окажутся безуспешными, т.е. функция, явно не являющаяся точкой минимума функционала, оказывается «минимумом» относительно класса финнтных возмущений. Пусть и(х, у) О. Все финитные возмущения исследовать довольно сложно, но простое нх множество поддается оцеыке н хорошо проясняет суть дела. Итак, возьмем в качестве возмущений функции Ьи(х, у) в форме конуса высотой е и радиусом р, равные нулю вне круга радиусом р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
