Манзон Б.М. Maple V Power Edition (1185908), страница 12
Текст из файла (страница 12)
> йе1 з= 61Н(у(Е),Е$2) + 5*ЖН(у(Е) Е) + б*у(Е) = ОХ ~(е1:=! — у(г) + 5 — у(г) + 6 у(г) = 0 ( дг' ~ дг > йво1хге((йе1, у(0)=0, ту(У)(0)=1), у(Е), втеЕЬой= 1ар1асе)) у(г) = — е' "' + е' гл Уравнение четвертого порядка > йе2 з= йНй(у(х),х$4)+2 "6Нй(у(х),х$2) -сов(х)=Зт ае2:=, у(х) + 2 —,у(х) — сов(х) = 3 6. Примеры вычислений 85 > йвоЛлге(йе2,у(х))гсошЬапе(«); 3 3 у(х) = — соя(х) + — х' — — + С1+ С2 х + СЗ соа(Г2х) + С4 яп( Г2х) 4 Для следующею уравнения решение находится только методом замены переменных > цг= (2"вдхС (х*у(х) ) -х) «Жкк (у(х),х) +у(х) У ц:= (2'~х у(х) — х) у(х) + у(х) ( дх Для замены переменных применяется команда РсЬапяетаг пакета РЕ(оо!а > вгаСЬ(1)ЕСоо2в): Й: =РсЬапдетгаа ( (у (х) втг (х) *х), 1я) юх); 1':= (2 1х' т(х) — х) ( — у(х) х + Мх) + х(х) х ( дх Теперь находим решение для функпии у(х) > вгг=йво1тге(й,зг(х) ) а С1 хе' и:=х= к(х) Чтобы получить искомое решение у(х), делаем обратную подстановку > виЬв((зг(х) у(х)/х),вг)г Г С1х е я:=х= у(х) > у(х) =воХзге (",у(х) ) 1 у(х) = 1 х 1 1.агпЬеп% — 1.агпЬеп%— 86 Мер!е У Роччег Ес(!т!оп Команда 4(во(че позволяет также находить базисный набор функций, линейная комбинация которых даст полное решение дифференциального уравнения.
Для этого в команду 4)во!че добавляется опция оп!рпГ=Ьаа!гк > йво1тге (2~хне(НЕ (у(х),х$2)+олН (у(х),х)+3*у(х) =х, у(х),озхсрзхП=Ьавз.в)) Система дифференциальных уравнений вместе с начальными данными записывается в виде набора (последовательности выражений в фигурных скобках) в аргументе команды 4)ао!че > ВУВ 3 ИН (У(Х), Х) еп (Х) -У(Х) -Х, йНК (П (Х), Х) =У(Х) > Еспв := (у(х), п(х)): > Йво1зге((вув4у(0)=Оеп(0)=1)4 Псттв)е (а(х) = — — Г5е' в+ †.5 е + х+1, 5 5 ( ) = — '15 е"л' "' — 15 е' "3 "3' "" + 1 —— 10 10 2 ПЛ43 П 3! 2 Решение этой же системы можно найти также в виде степенных рядов > йво1зге((вув,у(0) =04 в(0) =1), йсттв, Пуре=веглев) ) (х(х) = ! + — х — — х + — х — — х'+ 0(х), 3 1 3 ! 4 2 3 8 24 у(х) = х — х3+ — х — — х + — х + 0(х )) 1 3 э 4 1 с 2 24 15 Численное решение той же системы достигается простой установкой опции !уре=пшпепс > у ю= йво1зге((вув,у(0)=О,г(0) 1), йспв, суре= пхппех'з.с) ! Г;= ргос(г(сГ45 х) ...
еп4) П хо4 в!п(ЧЬ,Гх) хо4 сов(Ю й )1 "Гб'Ы зГ6 Б 8. Примеры вычислений 87 Как видим, решение выводится в виде процедуры нахождения численных значений методом Руше-Кутта, используемым программой по умолчанию. Чтобы найти решение при значении независимой переменной х, равном, скажем, 1, достаточно записать: > в.(1) ) (х = 1, я(х) = !.258972076536823, у(х) = .3437314082767540! В слелующем примере в команде йвв)уе явно указан метод решения системы дифференциальных уравнений, а также массив начальных значений независимой переменной, для которых мы хотим получить результат. > вув2 з= ((зз992) (у) (х)=2чх" 3*у(х), у(0)=1, !з(у) (О) =1) $ в := с3во1че(вув2, [у(х)), ~уре=пцзвех1с, вгесЬой=йчех)е78, ча1ие=аххау([1.0,1.5,1.7)))) д 3 х, у(х), — у(х)) дх 1.
2,!70132435253142 1.9360378831!7915 1.500000000000000 4.268267966270414 8,3639!6916540699 1.700000000000000 6.710398546651994 17.27579721228745 Так можно извлечь из массива конкретное значение. > в[2,1) [2,3)) 8.36391691654069902 Программа содержит несколько алгоритмов для численного решения жестких уравнений и систем дифференциальных уравнений. Один из таких алгоритмов — метод одношаговой интерполяции Гира применен для решения следующего уравнения > Гзз.дЫв з= 10: аед1:= (аНй(у(х), х33) - у(х)*ИН(у(х), х)-х) з 1пЫ1 з ( (МИВ2) (у) (1) 4, Р(у) (1) = 3, у(1) = 2.4 ) в апв1:= йво1че(йец1 ип1оп 1п1е1, у(х), суре=птввехлс, втесЬой=деаг[ро1уехсп), всервхве=0.015, взл.пвсер-в1оас(1,-11), ехтокрех у1оас(1, -5))з апв1(1.01)т 88 Мвр!е т! Ровчег Ее(!т!оп с х = 1.01, у(х) = 2.430201040709296, — ' у(х) = 3.040312954671420, дх —; у(х) = 4.062888549132273 дх При решении следующего лифференциального уравнения применен метод многошаговой интерполяции Гира.
> Ядств л= 12л йедЗ := йл.йй(у(с), с$2) = 100*(ехр(-10*~)+ ехр (10*~) ) л апвЗ л= йво1тге((бес~3), у(с), пшвеклс, тае~Ьой= лпдеак (лав~еррагЦ, л.пхенц.а1яахтау( [2, 0] ), аеас~=О) апвЗ(0.7653)! с ! = .7653, у(г) = 2106.958269487619, у(Г) = 21069.56916506877 дг Рассмотрим дифференциальное уравнение Ньютона, описывающее движение тела под действием периолической силы а*сов(огпе8а*(х — хб)) и учитывающее упругую силу йГ(х) > кевсаксл с1еол = ш~е11йй (й (х),х,х) +)е*й (х) =а*сов(олведа"(х-хО) ) л г(е9:= и, Г(х) + И(х) = а сов(в (х — хб)) ( д дх Для решения этою уравнения применим метод преобразования Фурье > ттхсЬ(1пцсхапв) ла.т-йоииек(бе<у,х,х1) л Г;= — и г,' Гонг!е(Г(х), х, «) + !г Говне(Г(х), х, д) = 1,2 2 Теперь решим полученное алгебраическое уравнение относительно преобразования Фурье от искомой функции Г(х) > 8л=во1тге(у, йопхлек(й (х),х,хл.) ) ! 8.
Примеры вычислений 89 1 а (е' '"'"" гоззпе(е""', х, ~) + е' "" Гоцпе(е' '"", х, Ц)) 5: —— — тч +к При разумном лопущении относительно частоты колебаний сч получим после упрощения > аввцзае(азаеда>0) г вхзар1Иу(Я); а л (е' "' '" Р(гас(Р, — ы-) + е"" '" Р(гас(г, — и-)) 3 — тс +)г В последнюю формулу входит обобщенная функция Дирака О!гас. Теперь при помощи обратного Фурье — преобразования найдем искомую функцию > з.пчйоикз.ек(",х1,х) ! 1 а (е' о" "и ( и" ч+ ец 'е (е' """) — т е- — (г > в1зар11йу('~) ! а сов(е- (х — хО)) — те- +'к 3 6.10.
Уравнения в частных производных Новая версия программы Мар(е "способна'* решат» аналитически некоторые классы лифференциальных уравнений в частных производных. Для этого введена команда рдело!уе( уравнения, переменные). Приведем примеры. > гевСакС(рг1ево1че(г1НЕ(Е(х,у),х,х)+5*е1аН(й(х,у), х,у)=3, й (х,у) ) ' Г(х, у) = — х + Г!(у) + Г2(у — 5 х) 3 д 2 В решении этого ураззцеция присутствуют прои:звольные функции Г1, Г2. > рйево1че( 3*ИЙЙ (д(х,у),х)+7 "ЫН (д(х,у),х,у) =х*у, д(х,у) )! 8(х, у) = — х у — — х' + Г1(у) + е' " " Г2(х) 18 90 Мар!е Ч Ровяег Ес))т(оп Мар1е находит решение некоторых видов уравнений с переменными коэффициентами, например > рс~ево1лте(у"с~хН(тл(х,у),х)+х*с~1Н(ту(х,у),у)=0, (Л(х,у) ) Л 13(х„у) = Г1( — х' + у') Неоднородное уравнение для функции 13 от трех независимых переменных > рйево2лте ( ЙхН (11(х, у, г), х) +2 "ЫН (тл (х, у, г), у)+5*63.Н(ту(х, у, г), г)=13"х*у*г, ту(х, у, г) ); (3(х, у, л) = — х' — — ху — — хзл + — х' у л + Н(у — 2 х, г — 5 х) 65, 65 , 13 !3 6 6 3 2 Следусошие два примера уравнений математической физики.
Уравнение теплопроводности > гевтаге 1)леала л =йхН (и (х, с), с) -)е*йлН (и (х, ~), х, х) =01 ( о ( а Ьеаг:= — ц(х, 1) — lс — ц(х, г) = О дг Команда раева!те "в лоб" не решает это уравнение, действительно > рйево1лте()леас,и(х,с) ) 1 рс(езо1уе ! — ц(х, Г) — 1с ~ — ц(х, г) = О, ц(х, г) ~~~д, Применим известный прием разделения переменных. Для этого вначале сделаем подстановку > есул=виЬв(и(х, Е) =Х(х) «л (с),ллеаЕ) Л ес/:= — Х(х) Т(г) — lс — Х(х) Т(г) = О (дт (дх' Теперь разделим обе части уравнения на Х(х)*Т(г) > ехраий(есд/Х(х) /Л'(1) ) Л 6.
Примеры вычислений 91 д Ф Т(г) ~ к — Х(х) дг дх Т(г) Х(х) Разделим переменные > вер а = (" ) + ()е*с11 Н (х (х), х, х) /х (х) =)е*6Н Й (Х (х), х, х) / Х(х))т ( 2 — 'Т(г) ! 1 — ', Х(х) дГ (, дх' аер:= Т(г) Х(х) Так как в левой и правой частях полученного равенства стоят функции от разных переменных, то правая и левая части являются постоянными величинами. > 1Ьв(вер)=С) — Т(г) дг = С Т(г) Теперь мы получили обыкновенное дифференциальное уравнение и его решение > т во1:=аво1ге(",т(С)); Т зо(:= Т(г) = еи в С1 Аналогично приравняем константе правую часть равенства > хЬв(вер)=Ст й — Х(х) /д дх = С Х(х) Решение полученного обыкновенного дифференциального уравнения > Х во1:=с1во1тге(",Х(х),ехр11сИ=опте) ) 6. Примеры вычислений 93 ась+ см .сы ~.,мс сгдс! ! — С! )с~ + С! е Для упрощения выполним подстановку конкретных значений для произвольных постоянных > вттЬв(С~-)е,)с~1, С1 1, С2=1,во1)! Преобразуем к тригонометрическому виду > сотттгех~(",~кхд)1 — — I( — 1+ сов(2 х+2) — Уяп(2 х+ 2)) (сов!т(г) — япй(!)) (сов(х+!) + с 1 2 + 2 а!п(х+ 1)), ! + ~(2 х +2) — У яп(2 х + 2)) (сох)з(г) 1 2 — (яп(х+ !)) и упростим > 8: соаЬ1пе(")ю ,у = [ — сов!з(!) яп(х + 1) + яп)!(г) яп(х + 1), сой(!) яп(х + 1) — яп!з(г) яп(х + 1) ] Теперь можно построить график первого решения (рис.
9) > р1о~ЗЙ(Я [1],де~-5 .. 5, ~ О .. 5) ю 94 Мар)е Ч Ромгег Есйт(оп Рис. 9 Проверим правильность первого решения > ахир11йу(аттЬа(хт(х,с)=ао1[1),Ьеас))г 0=0 В качестве еше одного примера рассмотрим волновое уравнение > хеасагс)вга~ге1 ЖЕЙ(я(х,с),с,с)-с"2"Йхйй(п(х,с), х,х)т вате:= ~ — п(х, г) — с' — п(х, г) (дг ~ (дх~ Найдем решение для п(хй).
> ао1: рйеао1~ге(вгаъге,тх(х, ~) ) ) зо(:= п(х, г) = Н(г с + х) + Г2(г с - х) 6. Примеры вычислений Я5 Здесь г1 и Е2 — произвольные функции. Заменим их конкретными функциями П и 12 > Е1: х1 -> весЬ(-х1" 2) 1 )1:= г, -+ вес)з(-1 ) > Е2: х1 -> р1есевгхве(-1/2<х1 апг1 к1<1/2,1,0)1 1' — 1 1 Р:=с — ~ р(есеачае ~ — < г,ав6 ~< —, 1, 0 ~2 2 Заменим наименования функций в решении на П и 12, а также положим с=1.
> виЬв( а1=Й1, 72=22, с 1, во1) 1 и(х, г) = (1(г + х) + 12(г — х) Теперь подставим значения П и 12 в и(х,г), чтобы получить конкретное решение. 1 1 1 — — — г+х<Оавд г — х — — < 0 вес)з((г + х)') + 2 2 0 оглегюие > впЬв(",и(к,с))"; Применим команду вварр!у, чтобы превратить полученное выражение в функцию от х и( > Е:-ипарр1у(",х,с)т г':= (х, г) -+ вес)т((г +х) ) + р(есеичае — — — г + х < 0 авй г .. ( 1 2 г — х — — <0,1,0 1 2 Теперь мы можем построить график решения (рис.
10). > р1о~Зй(Е, -8..8, 0..5, да.хс1=[60,60)); 7. Графики и анимация в )Иар)е 97 7. Графики и анимация в Иар!е Пожалуй, одно из наиболее впечатляющих свойств программы Мир(е — превосходная графика. Команды построения графиков и анимации Мар(е позволяют удовлетворить большинство научных и инженерных потребностей, могут служить прекрасной иллюстрацией в учебном пропессе. Программа имеет большое количество функпий и опций настроек для построения как двух-, так и трехмерных графических объектов.
Помимо команд р)о! и р)о(Зп основной библиотеки имеется несколько специализированных пакетов лля этих целей: я это прежде всего пакет р)о(я, содержа|ций около пятидесяти команд для построения различного рода графиков и анимации; я вспомогательный пакет р(о((оо)я, позволяющий создавать различные (около тридцати) двух- и трехмерные графические примитивы, которые могут быль применены в других графиках„ + пакет я(а(я(я(а(р!о!1, содержащий команды для построения специализированных статистических графиков; пакет ВЕ(оо)я, содержащий команлы построения 1рафиков решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных так и в частных производных, фазовых портретов, полей направлений; я и, наконеп, геометрический пакет яеогпе(гу, содержащий команду агату, позволяющую отобразить различные геометрические построения на плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
