Болч К._ Хуань К.Дж. - Многомерные статистические методы для экономики (1185342), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Мы обосновываем изложение этих методов несколькими соображениями. 1. Широкий круг статистических задач в области экономики связан с измерениями в шкале отношений. По сравнению с другими социальными науками экономике просто повезло, что столь большое число свойств ( цены, количества и т. д.) могут быть измерены на этом уровне измерений. 2. Методы, подобные рассматриваемым в этой книге, применяются (правильно или неправильно) в большинстве исследований количественного характера, о которых сообщается в экономической литературе. Лаже если читатель не будет вести никаких количественных исследований в этой области, он должен иметь некоторое, хотя бы литературное, знакомство с этими статистическими методами, которое поможет ему понять и оценить современные исследования.
3. Авторы придерживаются мнения, что изложенными в этой книге параметрическими методами следует овладеть раньше, чем их не- параметрическими аналогами. Теория непараметрического вывода в целом математически значительно более сложная, чем теория параметрического вывода, и полного понимания непараметрических методов можно достичь, по нашему мнению, только после некоторого периода знакомства с параметрическими методами.
4. Некоторые из представленных в этой книге методов могут применяться для описания явлений и без предположения о нормальности. Регрессионный анализ может служить описательным методом при единственном предположении о том, что для некоторой матрицы существует обратная матрица, В ряде случаев мы, видимо, забываем, что описательная статистика часто весьма полезна сама по себе, независимо от тех выводов, которые с ее помощью делаются. Эти соображения тем не менее не освобождают нас от необходимости тщательно проверять и обосновывать нашу статистическую модель, не следует пре!!ебрегать и обширной литературой по непарамет~11- ческим методам.
В качестве вводного курса по непараметрическим ме- тодам можно воспольаоваться книгой 1821. Более глуоокая трактовка даетс!! в 17Я. ВОПРОСЫ О ЗАДАЧИ Хм,' Х„1 1Х„,' О! Х=- Х„, Х„1 ~'0; Х,„1 Х!! — коварнацнонпые матрицы подмножеств Х,. Очевидно, что ~ Х ~ = ! Х„| !ХЯ2~, Покажите, чта совместную функцию плотности (2,20) можно записать в виде произведения двух плотностей, т.
е. у(л~, ., х„)=-6 (х . ° . х.) ~ (х — „. х ), Где 1 ч) (2 д'а Х !! 'а и)'!п 1 ехр . (Х1 — И1) ' Х11' (Хч — !х1) 2 1 М (2 )(я — юМз ! Х ~! га 1,) Х-„(Х,--- 1,), 1 х ехр — (Х2— а м1 и иа — векторы средних для Х~ и Хз соответственно Раздел 2.7 !. Пусть переменная Х нормальна распределена с р = 100 и оа = 9. Найдите вероятность того, чта случайный выбор даст: а) значение, большее 1!О; б) значение, лежащее между 1ОО и 110; в) значение, меньшее 98; г) значение, большее 98.
2. Срок службы!Одного вида электрических ламп есть случайная величина, имеющая нормальное распределение с р, = 430 ч и о = 32 ч. Для 80% ламп срок службы будет больше некоторого числа часов. Каково математическое ожидание этога числа'Р Раздел 2.2 1. Докажите каждое нз трех свойств среднего н дисперсии, приведенных н разделе 2.2. 2. Докажите, что если р, нли и,, равно нулю, то сон (л, Х,) = Е (Х1Х~),' 3. Докажите, что — 1 ~ р,~ . 1. Раздел 2.8 1. Пусть двумерное нормальное распределение имеет и,' = !! 21 и '=И Нарисуйте эллипс постоянной плотности, используя в (2.17) с = 0,2. 2. Докажите, что коэффициент корреляции г,~ будет один и тот же независимо ат тоГО, вычислЯетсЯ ли он па Л~ и Ла илн по У1 н ез.
Раздел 2.4 1. Пусть Х1 будет диагональная матрица порядка р, содержащая на своей Главной диагонали квадратные карня нз элементов, находящихся на Главной диагоналя Х. Покажите„чта Х, 1ХХ, ' = р. 2, Предположим, что случайные величины Х из (2.20) можно разбить на дна Подмножества Х' =- !Х;Х'1, где Х," = — !Х, ... Х,1 и Х' =- !Х,., Х1,).
Пусть Х1 и Хз нормально распределены и независнмй. Тогда Х нз(2.33) можнозаписать в виде 1. ана самом деле, смещение, если оно известно„не представляет собой про» блемы. Ведь каждый скорее задаст вопрос человеку, который лжет всегда, чем человеку, ко~орый лжет время от времени, не так ли~~ Выскажите свое мнение. 2. ~Правдоподобие не означает вероятиостьз.
Выскажите свое мнение. 1. Заполните свободные клетки следующей таблицы в терминах вероятностей ошибок 1 и 11 рода: Истинное состояние В, ~ 6, 2. Будучи ~орговым агентом, вы нуждаетесь в медных трубах диаметром 20 мм. Партии труб со средним диаметром, большим или меньшим, чем 20 мм, должны быть признаны негодными. Поступает большая партия труб, и случайная выборка объемом 100 труб дает выборочное среднее значенне диаметра 21 мм.
Если известно, что о равна 8 мм и сс = 0,05, то следует ли забраковать эту партию? Как изменился бы ваш вывод„если бы трубы диаметром менее 20 мм считались годными, а трубы диаметром более 20 мм' — негодными? Как изменился бы ваш вывод, если бь1 а.=- 0,10? ПРИЛОЖЕН ИЕ В зтом приложении мы приведем три подпрограммы, которые вычисляют выборочный вектор средних Х согласно (1.33), выборочную ковариационную матрицу х'х согласно (2.31) и выборочную корреляционную матрицу К согласно (2.34). Яы приведем также основную программу, которая задает рекомендуемый' способ применения этих подпрограмм и которая по х'х вычисляет ковариационнуюматрицу $ согласно (2.32).
П.2.1. Подпрограмма МЕАМ А. Описание. Эта подпрограмма вычисляет вектор выборочных средних Х по матрице наблюдений Х. Ь. Ограничения. Максимальное число переменных равно 1О, а максимальное число наблюдений по каждой переменной — 100. Этуразмерность можно увеличить или уменьшить путем изменения оператора 1-11МЕИЯОМ в подпрограмме. В. Использование.
При условии, что матрица наблюдений Х и числа М и Ф находятся в памяти машины, оператор организует вход в подпрограмму. М обозначает число переменных, а Ф— число наблюдений по каждой переменной. Ни одну из поступающих '-- переменных подпрограмма не изменяет, и после выхода из подпро- . граммы вектор лВАК содержит М средних значений. Другие подробности содержит основная программа, приводимая в П.2.4; подпрограмма . ИЕАИ следующая: ЯЗВРО13Т1ИЕ ИВАМ (М,Н,Х,ХВАК) ИМЕЮ1ОЫ Х (10, 100) „ХВМ (10) ВО 20 1=1,М Я 1М=0.0 И) 10 3=1,Х 10 ЯЛЧ =-Я3М+ Х (1,.1) 20 ХВАй (1) =5И4/Н.ОАТ (Х) КЕТИ~Ы ЕНО П.2.2. Подпрограмма СОЧАХ А.
Описание. Эта подпрограмма вычисляет матрицу х'х по матрице наблюдений Х. Б. Ограничения. Такие же, как для МЕАМ. В. Использование. При условии, что матрица наблюдений Х, числа М и У и вектор ХВАК находятся в памяти ма~пины, эта подпрограмма вычисляет х'х. Х, М, Ф и ХВАК имеют то же значение, что и в,~ ИЕАИ, Ни одну из поступающих переменных подпрограмма не изменяет; оператор СА1 1 СОTАК (М, Ы, Х, Я„ХВАЦ организует вход в подпрограмму. После выхода из подпрограммы М х М матрица 8 равна х'х.
Для преобразования х'х в выборочную коварнационную матрицу достаточно разделить каждый элемент 8 на п — 1. Подпрограмма СОЪАК следующая: ЯЗВКОБТ1ИЕ СОЧАХ (М,Ы, Х,Я,ХВАР) Ю1МЕЫ51ОИ Х (10, 100), Я (10, 1О), ХВАЙ (10) 00 20 1=1, М 0О 20 К=-1,М ЯК=0.0 РО 10 3=1,Х 10 Б1К=Б1К+(Х (1,3) — ХВАК (1))е(Х (К,.1)-'ХВАК (К)) Я (1,К) =81К 20 $ (К, 1) = 81 К КЕТБКИ ЕХО П.2.3. Подпрограмма 0)йй А.
Описание. Эта подпрограмма вычисляет корреляционную матрицу либо по х'х, либо по ковариациониой матрице. Б. Ограничение. Максимальный разме~$ =--= 1Ох10. 6. Использование. При условии, что матрица 8 и числс переменных М находятся в памяти машины, оператор САН. СОКК (М, 8, К) организует вход в подпрограмму. После выхода из подпрограммы К представляет собой корреляционную матрицу.
8 и М подпрограмма не изменяет. Я~ВКОГПИЕ СОЧВ (М,Ь,В) ИМЕ И011 а(10,10),Я (10,10) Р(1,1) -1.0 00 10 Я=2,М а (.1,Я) =1.0 ,11 ='-.1 — 1 ВО 10 1=1,Д1 К (1,Л) =$ (1,3)/БАЙТ (8 (1,1)'~Б (3 „3)) 10 й (3, 1) = К (1,3) КЕТУРИ ЕИВ П.2.4. Основная программа для МЕАМ, СОЧАХ и СОЕК Х~ Ха 1.0 10.0 -6.0 11 0 -2.0 -5.0 15.0 14.0 6.0 17,0 8.0 20.0 результаты будут следующие: СРЕЛНИЕ .„59ИООЕ+01 (1) КОВАРИАЦИОННАЯ МАТРИЦА .З4700ООЕ-~02 (1 Ц .За6999ВЕ+ 02 (21) КОРРЕЛЯЦИОННАЯ МАТРИЦА , 1ООООООЕ 1-01 (11) ,6926026Е + ОО (21) .1116667Е ~-02(2) .З569998Е+ 02 (12) .7656641Е + 02 (22) .6926026Е+ 00 (12) . 10ОООООЕ+01 (22) Эта основная программа считывает с первой перфокарты значения М (число переменных) и Ф (число наблюдений). Число М располагается как можно правее в первых трех колонках, а число Ж вЂ” как можно правее в следующих трех колонках. Оба числа набиваются без десятичной точки.
Матрица Х считывается по столбцам, каждый элемент Х набивается с десятичной точкой. Первая переменная набивается на перфокарте в восьми полях шириной 10 колонок и продолжается на стольких картах, сколько потребуется для ввода всех элементов. Следующая переменная начинается на новой карте и т. д. Для переменных ~ Лава 3 ® ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ В практической работе мы часто встречаемся с анализом выборочных средних. В этой связи полезным явльется распределение, впервые определенное У. С. Гассетом, писавшим под псевдонимом Стьюдент 18Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
