Болч К._ Хуань К.Дж. - Многомерные статистические методы для экономики (1185342), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Мы поступим аналогично случаю, Рассмотренному в предыдущем разделе. Запишем (3.3) в виде 1 = — (Х вЂ” р,). (3 7) Возведя в квадрат правую и левую части, мы имеем для одного среднего ~2 = ~ (Х р,) (~а)-1 (~ р,,), (3.8) и по аналогии строится критерий Т' Хотеллиига: Т' = а (Х вЂ” Р,)' $-~(Х вЂ” Ра) (3,9) для векторов средних'. В уравнении (3.9) '.Р и а представляют собой скаляры, а матрица 8, которая сводится к У в случае единственного среднего, определяется как обычно: Ь = — х'х.
(3.10) л — 1 ~ Иногда вместо Та берут величину, кратную этой статистике; см., например, 1371. Вопрос об устойчивости критерия Т~ рассматривается в 1201. Т' и Р связаны соотношением, аналогичным данному в (3.6). Если нулевая гипотеза верна, то й — ~Р Следовательно, можно вычислить критическое значение Та, пользуясь Р-распределением4. Заметим, что, хотя мы проверяем Н» относительно двусторонней конкуриру»ощей гипоте'га5лниа з.1 зы, для Т' существует только одно Словесные н количественные критическое значение.
оценки дла 10 студентов Рассмотрим применение стати- Коннчестненнен оценке Снонеенен оценка средние оценки для этой группы студентов от этих значений. Соответствующие этой задаче гипотезы Н»: ~Р» М = 1590 6901 Н» . '1р» ра) Ф 1590 690) мы будем проверять при а =- О,ОБ. Для нахождения статистики Т' в (3.9) нам понадобятся следующие векторы и матрицы:  — р»Г = Юб 5961 — 1590 690) =1 — 14 — 941; 164 84 94 4 164, 94 ...
— ?6 84 4... 4 56 240 1? 240 17 240 33 240 а В частном случаепрн р = 1 выражением.11) превращаетсн в(~„~2. „»)а= = Г . » „».. В этом случае также ~ ~а, „» .= Т . 740 670 560 540 590 590 470 560 540 500 стики Т' на примере экзаменационных результатов студентов, В табл. 3.1 приведены словесные и количественные оценки для выборки объемом в 10 студентов, допущенных к аспирантскому курсу по экономикс. Зги студени~~ бычи браиы из группы таких, пребывание которых в аспирантуре сложилось неудачна. На основании предшестВу»ощего Опыта можно считать, что удовлетворительны словесная оценка, равная 590 баллам, и количественная оценка, равная 690 баллам.
Мы хотим проверить, отличаются ли 56 240 17 240 17 240 33 240 6248,9 1915,6 1915,6 3693,3 0,00019028 — 0,00009869 — 0,00009869 0,00032194 Тогда согласно (3.9) 0,00019028 — 0,00009869 — 0,00009869 0,00032194 Т' =-10 ~ — 14 — 94) [ '1 = 26,22. Критическое значение Т', определяемое из (3.11), равно: Tо.ов: я,э = — (4,46) = 10,035, 2 2 Со) Х вЂ” р, 1 . - ~а~а. ~Ф' ° И Следовательно, р находится внутри интервала А.
-~- 8у(1,„у~, ,„„.), что совпадает с результатом в (3.4)„ Вычислим теперь 95',4-ную доверительную область для 1 . учитывая результаты, изложенные в гл. 1 и 2, нам потребуются характеристические корни и векторы матрицы Ь' — '. Однако,.поскольку элементы $-~ очень малы, рекомендуется вычислять корни и векторы по матрице 3. 79 так как Р,),),дэ = 4,46. Выборочное значение Т' превышает критическое значение Т'. Мы отвергаем нулевую гипотезу и делаем вывод, что вектор средних генеральной совокупности р, существенно отличается от р,,) = 1590 690).
Доверительная область. При одновременном рассмотрении р средних значений доверительная область (интервал в одномерном пространстве) определяется границей и внутренней частью некоторого эллипсоида в р-мерном пространстве. Если все р средних рассматриваются совместно, то 100(1 — а)%-ная доверительная область будет ограничена поверхностью, задаваемой уравнением .(Х вЂ” р)' $ '(Х вЂ” р,) =- ~ ~ Р„; „„, (3.12) которое следует из (3.9) и (3.11). Видно, что все члены в правой части уравнения — это скаляры„а все члены в левой части определяют квадратичную форму относительно р. Таким образом, уравнение (3.12) определяег эллипсоид с центром Х.
В случае одного среднего (3.12) превращается в уравнение ~х — ф~ ) (и — 1) ~~~~: 1, й-1 У п(а — 1) После извлечения квадратногокорня из обеихчастей уравнения мы получим: С помощью подпрограммы СКАК нли ручных вычислений мы находим, что корни и нормированные векторы для 8 приближенно равны: Х, = 7273,7; Р; = И,882 0,471 1; У. ="- 2668 5 Р~ = Р 471 — 0 Щ~1 Р'БР= 0 = Х = 1.г =- РУ, что задэет ортогональное преобразование из Х вЂ” -гг в т'. С''гедовательно, квадратичную форму из уравнений (3.12) мы можем записать в виде У' Р" Ь ' Р7 = 7' 0 17 = — „У 1~ + — У'Р~ — — 1,0035, (3. 13) 1 1 А1 Х2 так как для 95%-иой доверительной области с р = 2 и и =. 10 1р (и — 1)/и (и — р)) Р .,Р,„, = 1,0035.
Подставим вычисленные значения характеристических корней в (3.13): У~~ + У„' — -- 1,0035 7273,7 2668,5 и выразим У, через У.,: У, = ф' 7299,15795 — 2,72576У$. (3.13а) Уравнение (3.13а) описывает эллипс, полудлина большой оси которого равна «» (1,0035) (7273„7) =85,4, а полудлина малой оси равна «/(1,0035) (2688,5) =51,7. Несколько значений У, и У, сведены в следующей таблице, а эти и другие значеьия изображены на рис. 3,2, а.
ЗО Чтобы убедиться в правильности наших вычислений, заметим, что Х, + Х., = 9942,2, а это есть 1г 8. Кроме того, Р~Р, и РрР, дают приближенно единичные матрицы, а Р~Р., — нулевую матрицу. Наконец, Р'ЯР достаточно точно определяет диагональную матрицу с характеристическими корнями на главной диагонали, Результат каждой из этих проверок можно улучшить, если вычислять корни и векторы с большим числом десятичных знаков. Вспомним, чго„. если Х, и Х,— характеристические корни Ь, то 1Й и 1й, представляют собой характеристические корни Ь-', причем характеристические векторы не изменяются„т, е, ~-м,-дф д о Рнс. 3.2, 95%-ная совместная доверительная область Следующий шаг в вычислении эллипса состоит в преобразовании координатной системы т в координатную систему Х вЂ” р.
Здесь для произвольного множества координат т' мы имеем 0,882 0,471 ' 0,471 — -0,882 (3.14а~ Проиллюстрируем эти вычисления для одной пары значений 1'" =- 10 и К, = — 83,82, найденных из (3,13а). Эти два положительных значеиия У деиствительно дают тОчки нашего эллипса, построенного В осях У. Это, очевидно, следующие точки: Умножив координаты этих точек слева на Р, преобразуем их в коор- динаты в осях Х вЂ” р. 83,82 76„Ю 69„61 54,26 22,62 83,82 — 10 — 69,2 1 У,] — 83,82 — 10 О...О О...О О ... О )9-Ч 1 О О ...
О О 1 0 ... О М 0 О 0 ... 1 (3.9)): (3.15) В этом случае статистика Т' равна ~сравните с уравнением Т9 =. и (С' Х вЂ” С' Р )' (С' $С) 1 (С' Х вЂ” С' Р ) с критическим значением д (и — 1) р Т49' 44, )а-ф . '49'я ~-Г и — д Эти и другие значений изображены на рис. 3.2, б. Наконец, в качесгве последнего шага мы можем изменить единицы измерения по каждой из осей с тем, чтобы выразить эллипс в координатах Р, и Р,. Тогда центр эллипса будет находиться в точке (576, 596), а не в точке (О,О). Этот последний эллипс показан на рис. 3.2, в. На рке. 32, а оокааака также точка (590, 690) как ( — 14, — 94) а координатах Х вЂ” Р.
Эта точка соответствует нулевой гипотезе и находится эа аределамидоверительной области. Таким образом, как и в одномерном случае, совместная доверительная область представляет собой эквивалент критерия гипотезы. Если бы точка находилась внутри доверительной области, то нулевая гипотеза была бы принята. Линейные комбннацни. Если Х подчиняется распределению Ф„(Р, Х) и если с есть (р Х 1)-мерный вектор-столбец, элементы которого отличны от нуля, то с'Х подчиняется распределению Ф,(с'Р, с'Хс), Аналогично если С есть р Х д (где д4; р) матрица 4'. ранга д, то С'Х имеет распределение Л~„(С'Р, С'ХС). Возможность ~е образования линейных комбинаций компонент Р позволяет нам выполнять много разнообразных проверок при помощи критерия Т'.
4 Мы можем, например, проверить подмножества Р„приравняв неко- ~у торые нз столбцов С нулю, Приводимые далее примеры иллюстрируют .~ некоторые из имеющихся здесь возможностей. В последующих разделах ~ мы будем пользоваться тем обстоятельством, что линейные комбинации нормально распределенных случайных величин также распределены нормально. В качестве примера использования линейных комбинаций рассмотрим случай, когда нас интересует совместная гипотеза относительно первых О ~ р средних значений генеральной совокупности.
Например, мы хотели бы проверить гипотезу ~"'4): ~Р1 Ра - Р4 = ~Ро1 Ре~ " Р4» Новая гипотеза эквивалентна гипотезе й,: С'Р = С'Р„ где С вЂ” это д х р матрица ранга О: гипотезы должна приводить количественная оценка. Чтобы убедиться в этом предположении, проверим при а = 0,05 и с~ = (О 11 гипотезу НО, с2Р = су ро, Ио: Рз =690 или Н1. 'С2 Ф с2 Р Н1.
Р2 Ф 690. Р о Сгатисгика Т' равна; И) ((О 11 1 — )4 — 941'Р 1О ( — 94)~ (О (8836) 6248,9 19П,6 ~ О 1 3693,3 3693,3 И15,6 3Е3,3 1о Ч Видно, что вы и)сленное значение Т' превышает критическое значение;; 10,035, и это подтверждает, что совместная гипотеза Р, =и,)) была отвер- .; гнута из-за количественных оценок. Применение линейных комбинаций не ограничивается случаем, когда все элементы матрицы С равны нулю нли 1. Предположим, на- . пример, что мы хотим проверить совместную гипотезу 3Р'~ + Рз + Р'4 = ~1' Р2+ Рз --- ~(а Р.+ Рэ+2Р.= К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
