Болч К._ Хуань К.Дж. - Многомерные статистические методы для экономики (1185342), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Мы пока не проверяли зто предположение. Критическое значение Т' при и = 0,01 и д = р = 2 равно 12,3. Мы делаем вывод, что словесные оценки не вызывают отбрасывания совместной нулевой гипотезы. Следовательно, причиной отбрасывания должны быть количественные оценки. Чтобы проверить это утверждение, зададим с~ —— ~О 11; тогда из (3,26а) мы находим, что значение Т' = 17,41, что превышает 12,3.
Таким образом, мы заключаем, что на заданном уровне значимости количественные оценки различны„ а словесные — нет. Если экзаменационные оценки и позволяют предсказывать успегпное обучение аспирантов по экономике в конкретном университете, то существенными представляются именно количественные оценки'. Доверительные пределы для линейных комбинаций.100 (1 — а)%-ные доверительные пределы для С'Лр можно определить,' обратившись к уравнению (3.26) и критическому значению для 7". Таким образом, С'Лр на заданном доверительном уровне будет ограничена эллипсом (С'ЛХ вЂ” С'Лр»'(С'З С) (С'ЛХ вЂ” С'Лр) = Г„; ~,, +„, ц т.
(3.27) "1 а "1+Р~а Ч 1 + Заменив С на с,- в (3.27)„можно получить аналог выражения (3.26а) для определения доверительных пределов для с Лр. Вычисление доверительных пределов в рассматриваемом примере рекомендуется провести читателю в качестве упражнения. ВВ. РАВЕНСТВО КО~~АРИАЦИОННЫХ МАТРИЦ В последних двух разделах мы пользовались важнейшим предположением о равенстве ковариационных матриц двух нормальных распределений, описывающих генеральные совокупности. Это предположение может и должно быть проверено.
Две одномерные нормальные плотности. В разделе 3.3 мы приняли допущение, что рассматриваемые генеральные совокупности суть У, (р,„а~) и У1 (р~, о'). Если считатьВ чта выборки берутся из независимых совокупностей, то совместная функция правдоподобия будет равна: ~= ПИХ,) Г1ЛХ.), (3.28» 1=" 1 где оператор П определяется как П~ (Х;~) = ~(Х;,) ~(Х;,) ... 1=1 ~(Х~„) и ЦХ~)= ехр — — ' ', г =1 2, Г 1 (Хц — р;)~ Уйи~и 2 он есть нормальная функция плотности. Здесь о;; — дисперсия ~-Й совокупности, а а; — объем выборки, взятой из ~-Й совокупности. В гл. 2 было наказано, что максимум функции правдоподобия, заданной выражением (2.26), достигается нри подстановке Х = ХХ л и Я)~ = = Х (Х вЂ” Х)Чп, вместо р и Ф соответственно. Поэтому, вводя в (3.28) Х, и Х, вместо р,, и р, и Ю„н Я)„вместо о„и а., 1см.
(2.26), подставив пЯ) вместо Х (Х вЂ” р) 1, мы получим: 1 12к)~"'+~В~~~ 5О"'~~ 50""~~ ~ 2 Более того, если нулевая гипотеза О,: о„= о22 верна, то оценкой наибольшего правдоподобия для р~ будет Х;, а оценкой наибольшего правдоподобия для оц будет Я>„„. Таким образам, в условиях нулевой гипотезы 1 1 Гпах Е,,—,„,, „„„, ехр — (и,+ а,,), 12л) "" ' 50.",' 5Х>"„'; 2 э У ДУц~~2 ~~ 1~п~д2 (3.29) п1эх Ъ ~Ефп +л~М2 ° 4 Называется оп1ношонием правдоподобия. Величина (3.29) этого отношения обычно меньше, если нулевая гипотеза неверна, чем в случае, когда она верна.
Следовательно, представляется естественным отвергать пулевую гипотезу при [(л 1) Р+ (п 1)1(па+л202 Ппеl2 пп l2 1 2 (3.31а) При заданном объеме выборки Е2' в разложении (3.31а) изменяется так же, как Р, так как все остальные члены этого выражения — постоянные величины. Таким образом, проверка гипотезы Но ' О11 = О'2, относител ьно ги потезы Н1.' 0 Ф О22 производится с помощью статистики р ®~х (и — 1) ~~~~ (3.32) 22 (~21 1) ~~2 где з„~~ а2 Если для заданного значения а статистика Р превышает Р ад-, „, ~, „, ~, то нулевая гипотеза отвергается. Возвращаясь к примеру из раздела 3,3, мы видим, что (24) (1 190) (19) (1 22О) Е ~~Щ, (3.30) где Г.~, определяется таким образом, что неравенство (3.30) выполняется с вероятностью и„если нулевая гипотеза верна.
Для больших объемов выборки распределение случайной величины — 2 1п У.* при очень общих условиях приближается к распределению хи-квадрат с одной степеньюсвободь1. Пользуясьэтим приближением, мы будем о~пвер~йп1ь нулевую гипотезу, если — 21п Е* ° у'„~. В случае двух одномерных выборок точную проверку нулевой гипотезы можно выполнить разложением отношения правдоподобия: 1(л — 1) 8 1"'~~ 1(п — 1) Я 1"'~~ (л ' а )~"®+"'~~~ 1(п1 — 1) 311+ (па — 1) 8221(л$+дз)К2 апа У2 пда/2 где з~, — — Ьг'(и — 1)1 Я)д есть несмещенная оценка а1;.
Если обозначить Р = з„й„, то мы можем записать (3.31) в виде рй~~2 (и +л )(и$+ивц2 (л ЦпзУ2(п 1)л312 и при а ==- 0,02 Р, „,. „„=- 2,92. Следовательно, мы не отвергаем нулевую гипотезу. Снова обратите внимание, что большая из двух дисперсий находится в числителе. Если бы в числителе находилась меньшая дисперсия, то критическое значенне Р было бы равно 1%ля:и, 1.; 1. Заметим, что если верна нулевая гипотеза (о„= а.,), то (3.32) ' можно записать в виде р 1~~ 1) 811/0~1 1 Яп~ 1) (3.32а) '' (п~ — 1) з ~с, 1Дл — 1) В общем случае величина (0~~ — 1) ~п 1 ~ В Ю 0'~ ~ распределена как у~ с а„. — 1 степенью свободы. Таким образом, отношение Р из (3.32) можно переписать так: Х,'~~~,— 1) Ха Л'Ъ вЂ” 1) и, следовательно, отношение Р есть отношение двух независимых распределений у', каждое из которых разделено на соответству1ощее: число степеней свободы.
Две многомерные нормальные плотности. Существует еще адин:. способ разложения (3,29): Ф~ф/23пю~2 (~ 1)~в~2 (д 1)~аЛ (~ + ~ )(~и+пз1/2 (и +л — 2)~"'+"')~~ п"'~~ п"'~ 1 Ф а При заданных объемах выборки все члены в разложении (3.33), кроме:' ид~2 п~/2 $7 1М 23 (3.34) ~~. д(л1+и У2 ЭФ ~Уу~2 8Ур/2 1,7 11 ~й3 1-- Ф д1'ч,+ъ еУ2 1 ° где и1-— -п1 — 1 и ч,= а,,— 1. Теперь — 21П У1==(А+УЗ) 1П 8, — 11П811 — ча!п$22= представляют собой постоянные величины. Ввиду того, что Х,~ изме- .~ няется так же, как 1~,критическую область можно определить условием '.; У< 1~. 4 Бартлет И предложил заменить д,, и гг, в (3.34) числом степеней ~: свободы ~, и ч~.
Тогда можно записать (3.35) „: — 1п 8, — „'~'. (у;1п г~~). ! 4 1ь= $ (3.36) ' Ф Если в уравнении (3.36) заменить скаляры матрицами, то для случая переменных в каждой генеральной совокупности мы будем иметь: — 21п $',=,'~~ у1 1п [3 ~ — ~ (ъ;1п ~8~)), (3.37) ~=1 1=) где 8, — оценка объединенной ковариационной матрицы, а В;— оценки ковариациониых матриц для двух генеральных совокупностей.
В Ц61 показано, что если использовать коэффициент 1=1 У 1 — 1 то для больших выборок распределение статистики И' = Ь ( — 21п $',) (3.39) аппроксимируется распределением хи-квадрат с р (р + Ц~2 степенями свободы. В 161 отмечае1ся, что эта аипроксил1чция полезна, если величин а Р(Р+1) (Р— 1) (Р+2),'Я 1/д,~ — 1 '~" у~ 6(1 Цз л иго 1 1оаа1 И~~ 486~ мала'. Проверим теперь гипотезу о равенстве двух матриц Х для примера с экзаменац11онными оценками из раздела 3.4. Для решения уравнения (3.37) нам понадобятся следу1ощие определители: 18,„~ = (8 467) (4 273) — (2 041)~ = 32 013 810; = — ~ х,' х, 1 = — К121 569) (56492) — (25 615)Ч = 43 135 748; 144 144 ~ 8,! = — ~х„' х ! = — [(56240)(33240) — (17240)~1 = 19409877.
81 81 Тогда (3.37) принимает вид: — 2 1п $~,=21 Пп (32 013 810)1 — 12 Ип (43135 748)) — 911п(19409877)] = 21 (17,2817) — 12 (17,5799) — 9 (16,7813) = 0,93. Выражение (3.38) дает 1 1 1 2 (4)+3 (2) — 1 = 1 — (0,14684) (0,72222) = 0,8939. Следовательно, из (3.39) 1Г =- (0,8939) (0,93) = 0,8313 и Си. 'гй, с. 3481. Эиачитальиаа часть иаюсго иаложаиии осиоааиа иа гл. !Л и~~той книги.
Критерий с р = 3 и харакгеристическими каринми олисиваетси в 1741. и по распределению у,' при а = О,О1 и э = -(2) (3) = Э мь1 находим, 1 что Хоа,ю~; з — — 11,345. Так как Р )Д-,., то мы ие отвергаем нуле. вую гипотезу и считаем, что при заданном уровне значимости ковариациониые матрицы равны. Кроме того, в этом примере значение ь„ равное О,ООО6, мало, и мы можем быть уверены в аппроксимации с пОИОщью Если нулевая гипотеза отвергается, для проверки гипотезы о равенстве векторов средних можно применить другой критерий. Этот критерий описывает Андерсон в Я. 1. В [28, с.
91 приводятся данные о прочности на разрыв восьми образцов основы хлопчатобумажной ткани. Эти восемь наблюдений таковы: 57, 65, 65, 66, 67, 67, 68 н 71. Проверьте (при а = 0,01) нулевую гипотезу а том, что среднее значение совокупности не отличается от 65, пользуясь двусторонней альтернативной гипотезой.
2. Проверьте с помощью таблиц, содержащихся в приложении, соотношения между 1 и г, 1 и Р, ~з и г, з и Р„приведенные в разделе 3.1. 1. Обобщите рассуждения, приведенные в тексте для р~ и р~ (и говорящие атом, что совместная значимость не обязательно совпадает с индивидуальной значимостью), на случай р~, м~ н мз. Прн каких условиях эти два вида значимости будут совпадать Поясните ваши замечания рисунком, 2. Изменится ли статистика Т~ из (3.9), если ка всем экзаменационным оценкам в табл, 3.1 добавить некоторую постоянную7 3.
Некоторый стержень должен иметь прочность на разрыв Х~, равную 10 000 фунтам/дюйм; диаметр Хз, равный 150 мм„н длину Хз, равную 300 мм. Один из возможных поставщиков предложил вам выборку из 10 таких стержней. Определите, удовлетворяет ли продукция этога поставщика вашим требованиям. Примите а = 0,01. Дайте полный анализ, в котором, возможно, вы используете линейные комбинации. Обязательно сформулируйте ваши предположения. 1 4 5 6 7 8 9 10 8,8 10,2 9.7 10,0 8„5 6,4 7,5 9,0 9,5 9,0 150,1 !50,2 149,8 149, 6 151, 1 150',8 150,2 149 9 149,2 150,0 ЗО0,1 300,7 ЗОО, 3 297,9 299,8 299„9 293,1 294,5 ЗО0,2 ЗОО,О 1.
В !69, с. 40! приводятся данные об урожайности (в центнерах с гектара) маиса и риса в различных странах. Пользуясь а = 0,05, проверьте гипотезу„что средняя урожайность риса и макса одинакова. Страна мака ~ рнс 1. Приведенные данные о заработной плате преподавателей университетов заимствованы из АКР Ви11еИп, Лапе, 1971, р, 242. Эти данные касаются средней заработной платы четырех категорий преподавателей в университетах двух категорий. К категории ! относятся университеты, Регулярно присуждающие степень доктора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
