Андерсон Т. - Введение в многомерный статистический анализ (1185341), страница 51
Текст из файла (страница 51)
117) ). Любой способ проверки гипотезы. осиоваииыИ иа значениях 0, ипвариаптеи относительно прс- образованиИ, оставляющих гипотезу иивариаптпоИ. Прп >2 =2 1 1 1 ! — — Г'"'"' А,+А>+ — — (х — х )(х — х ) ~ )'> !)(>2 (1) (2) (1) (21 ' ! 2 М!+Л(2 (12) Применяя прсобразоваиие (9), находим, что функция распределения величины У при условии, что гипотеза Н ие веРпа, зависит от )ч...,, ), и С(Р( ) — 12' >). Если и(котоРые из корней )! равны йеж)!у собоИ, то число ненулевых элементов патрии С(р(1) — р(21) можно сделать меньшим р. 1().7. Проверка гипотезы о том, что ковариационная матрица пропорциональна заданной матркце. Критерий сферичности 10.7.1. Гипотеза.
В одиомерпом статистическом анализе часто делается предположеиие о том, что совокупность случаипых величин является везависимоИ и дисперсии э!их величии равны. В зточ параграфе рассматривается проверка втих предположении, осповаипая иа множествах повторяющихся паошолсиии. 1 > Г. юь>ср~р>~ (гл, !о ПРОВвпкл Гг!потяз О Рапи!!стяе Точнее говоря, для проверки гипотезы Н: Х = а'-1, где сз пе задана, используется выборка из р-мерных векторов хп ..., х „взятых яз совокупиости !»(р, Х).
Л1ожио дать алгебраическую интерпретацию этой гипотезы в терминах характеристических корней матрицы Х, т. е. корней уравнения 1Х вЂ” ~У~ = О. (1) Гипотеза верна в тоа! и только в том случае, если все корпи уравнения (1) равны между собой' ). Это можно получить и в силу того, что среднее арифметическое корней !у!... „р равно их среднему геометрическому, т. е. Ц т',УР ~Х1п =- — = 1.
(2) ~р~ зр ь Р Р Квадраты длин главных осей эллипсоидов постоянной плотности пропорциональны корням р! (см. главу ! 1); гипотеза устанавливает, что опи равны между собой, т. е. что эллипсоиды являются сферами. Проверка гипотезы Н эквивалентна проверке более обшей гипотезы %' = аз%м где Фс задана и известны векторы наблюдений уп ..., ул! иад совокупностью М(», !л). Пусть С вЂ” матрица такая, что СЧ',С' = 1, (з) и пусть р* = С», Х* = С!л С', х*, = Су,. Тогда х;, ..., х'— иаблюдепия пад совокупностью И(р*, Х'), и гипотеза прсобравуется в Н: Х*=сЧ.
10.7.2. Отношение правдоподобия. Гипотеза Н в канонической форме представляет собой комбинацию гипотезы Н,: Х вЂ” диагональная матрица (составляющие вектора Х пезавискмы). и Нз! диагональные элемеиты матрицы Х равны между собой при условии, что матрица Х диагональная (дисперсии составляющих вектора Х равны между собой цри условии, что эти составляющие независимы). Таким образом, по лемме 10.3.1 отношение правдоподобия Л лля гипотезы Н является произведением отношений правдоподобия )!! и )~ ') Это следует из того, что Е = О'ФО, где Ф вЂ” лиагонал!шая матрица, диагональными элементами которой явлкютск корпи уравнения (1), а Π— ортогональная матрица.
1О.П пРОВЯРкА ГипОтезы О пропОР11иОПАльности 355 для гипотез Н, и Нт соответственно. В 6 9.2 было показано, что отношепке правдоподобяя для гипотезы Н, имеет вид ! 1 . 'у (4) Ц л!'! где !т А = ~ (е. — х) (х„— х)' = (ац) а 1 и гф —— а! /у'а!!п). Для вычисления Ат можно использовать результаты $10.2, если рассматривать 1-ю компоненту вектора к, илн з-е наблюдение над 1-й совокупностью (величинам р, М, !РИ из этого параграфа соответствуют величины о, М 1Ч из $10.2). Таким образом, $ И ~я (х„— х!) ~у (6) — рФ -' РА! ~~ , '(х1„— х,)а('р~ (ар А(р1е 1,а Поэтому отношение правдоподобия для гипотезы Н равно ! )! Л~)! = 1А~Т (7) рРГ (ар А/р) Заметим, что формула дл1)р) имеет сходство с выражением (2), Если 6„..., бр — корни уравнения ~ А — 671=0, (8) то отношекие правдоподобия является некоторой степенью отношения среднего геометрического к среднему арифметическому: (9) Вернемся к гипотезе %'=етФе при иззестнык векторах наблюдения ум ..., ум над совокупностью Ф(ч, ЧГ).
В пре- 12» пяовяякл гипотез О Рлвенствя >гл >е образова>н>ыд переменных [х;~ отношение правдоподобия 1 — ' н имеет вид [А'[г (арА*[р) г, где А' = ~ (х; — х') (х," — х')' = Ф = С ~ (у.— уиу, — в)' С= СВС. (10) а=> фйй Ф в=,т;(у. — у)(у„у). а > 7>й>. уравнения (3) имеем %' =С '(С') '=(С'С) '. Таким п([утлом, (! 1) [А [= 1 [ =[В%,,'[, [во[ зр А = зр СВС = зр ВС С = зр В %го >.
(12) Изложенные результаты можно сформулировать следуюшим образом. Теорема 10.7.1. Если задано мнозкестзо р-мерных гекторов наблюдений ун ..., ун над созокулногтью >>>(ч, %), то отношение правдоподобия для гилотезы Н: %'=ее%а, где %>е задана, а ег не задана, имеет зид -'и ~ВЧз-> 1г (13) (зРВ>1>е >'Р) М о ч л и [2[ получил зто отношение правдоподобия и его моменты при условии, что справедлива нулевая гипотеза. Можно рассматрявать зрВ%>е >>(р7>7) или зр В%>е '([р(Н вЂ” 1)[ в качестве оценки величины ег (Х о те л л н н г [8[). Из прг- лыдушего следует, что зр ВЧ>е имеет уг-распределение с р(Н вЂ” 1) степенями свободы.
10.7.3. Моменты отношения правдоподобия. Лля того чтобы вычислить распределение величины )., найдем моменты втой величины. Как было отмечено в $ 7.6, распределение коэф- фициентов корреляции [г>)[ не зависит от дисперсий [аи/(г> — 1)[, если матрица м является диагональной. !1оскольку )ч зависит только от [г>1[, а гз зависит только от (ан[. то зти величины >О.Л ПРОВЕРКЛ ГИПОТЕЗЫ О ПРОПОРЦИОНЛЛЮ>ОСТП Таким образом, Г ( — п+ Ь) 1'( — рп) 1'Р ( — и) 1' ( — рп + ра) (! 5) Отсюда следует, что — 'Я( +! — )+д~ à — рп + ра >=>' à — (и+ ! — /)1 Из рассмотрения этих моментов можно видеть, что )Е' можно выразить в виде произведения ря на многочлен от независимых случайных величин, имеющих ре-распределение, так как в таком виде ьр~жно представить Ф'> и (Р'2.
При р =2 получается особенйо простой случай, потому что, применяя фориулу удвоения для гамма-функций, получим 1 Г(п) 1 ~ — (п+ ! — >)+ /~~ 1'(и+26) Ц »- 1' [ — (п+ ! — !)~ (2 > Г(п) Г (и — ! + 2Д) п — 1 /' Г(п-!-26) Г(п — 1) я — ! +2/>,/ о ! ! 7) ') Если среднее значение вектора Х, янляе>ся регрессией на л„, то л есть число степеней свободы матрйц>2 А. независимы при условии, что справедлива нуаевая гипотеза, и следовательно, М)>н = М)лМ)Я, Обозначим )Г>=Г, %> =)>, (бе =)2' . 2ьм 2/и 2>ж В $ 9.3 показано, что '(2.)»Я(.+-1-/)+/1 МЮ~'= Ц вЂ” —, (!4) 1 (- +/) >.
1~ — (+! — )] где') а= >>/ — 1. Момент />-го порядка ве.тичииы (!'2 >южно найти по формуле из й !0.4, подставив вместо р, а и >7 величины 1, л и р соответственно; тогда )>'2 Р !' > пвовевка гипотвз о яавенствв !гл, ю Таким образом, В' имеет такое же распределение, как Еа, где плотность вероятности величины Е равна (л — 1) зл а, 1 — (а-3! 1 а плотность вероятности величины Гг' равна — (л — 1)тат 2 Функпия распределения величины (Р имеет вид ! Р ()Р ~(о>) = Р(сл) =тву (18) Этот результат также может быть получен из совместной плотности вероятности 9, и йз — корней уравнения (8>.
!0.7.4. Асимптотическое разложение функции распределения. Из формулы (16) следует. что г-й момент вели- 1 — и чины )р'а =л имеет зил Р 1 ДГ~ — л(1+с)+ — (1 -г)~ Мг'=КР' ' Г [- рл ( ! + г)~ (19) Эта формула похожа по форме на формулу (1) 2 8.6 при а=р, ха= — л,:а=-~(! — л), 8=1...., р, 6=1, 1 . 1 у!= 2 ар, Ч,=0. Таким образом, разложение из 4 8,6 1 1 остается справедливым при У= — Р(Р + 1) — 1. Для того 2 чтобы второй член в разложении обратился в нуль, следует выбрать р так, чтобы 2Р1+Р+2 1 — р= орл Тогда ( Р + 2) ( Р— 1) (Р— 2) (2Ра + 6Р'+ 8Р.! 2) Фт— 288Ралааа (21) Таким образом, функция распределения величины (Р находится по следуюшей формуле: Р ( — 2р! п Л ~~ л) = Р ~ — лр !в (Р ~( я) = Р (у~а~(я) + и (Р ~уга ~я) — Р ф~~(яО+0(и-а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
