Андерсон Т. - Введение в многомерный статистический анализ (1185341), страница 52
Текст из файла (страница 52)
(22) 10 В! Р!ЯГНСТПО КОПЛРН.411ИОННОИ И ДЛННОП МЛТРПЦ 359 10.7.8. Доверительные области. Если даны наблюлення у1, ..., ул! Над совокушюстью М(», Чг), то можно проверать гипотезу %' = а2Чг при любой заданной Ч"„. По определенной таким образом совокупности критериев мо1кно построить доверительную область для Ч.'. Если некоторая матрица находится в доверительной области, то все матргн1ы, отличающиеся от нее только множителями, также находятся в втой обдаст!!.
Доверительная область такого вида представляет интерес. если все составляющие вектора у, измеряются в одних к тех же единицах, а исследователь хочет, чтобы эта область не зависела от единицы измерения. Доверительная область с коэффициентом доверня 1 — е содержит все матрицы %". удовлетворяющие неравенству !! ПЧ" 1! . ЛМЛ1 23 Н~Р пч"' ')/Р)' ( ) где Л(е) — уровень значимости в для этого отношения правдоподобия.
Рассмотрим случай р = 2. Если выбор еюпщцы измерения несуществен, то исследователю интересно получить т=фн/422 и Р=т!2/')!т1ГЬ22. В этом случ~ Чг 222 Р г Ф!1Ф22 11 Фн(1 — р') ~ Р у т Неравенство для областцгг выраженное через ч и р, имеет вид 4 1 и 22 12/! Р / ) Л2!л1( ) (2б) (Ь1, + 2Ь22 — 2р У 2 Ьм)2 Хикмен [11 построил пример такой ловерительной области. 10.8. Проверка гипотезы о том, что ковариационная матрица равна данной матрице Если вектор У распределен М(», Ч"), то мы хотим проверить гипотезу Н, о том, что %"= Чге, где Ч.'з — положительно опрелеленная матрица.
Используя рассужления предылущего пара!рафа, можно установить, что это эквивалентно ПРОВГРКВ Г!!ПОтсз О РВВГНОТВГ (ГЛ. >В ! 1 -Г РН! ! — 2 Н --Р.» где -(Н вЂ” (А)2 е Е »7 Р' — Н -->РЛ вЂ” д>) А = — ~ (х, — х) (х„— х)'. а Выраже>шое через корпи уравнения !А — Ог)=0 отношение правдоподобия имеет внд (Е)2 Ц!) 2 е 2й>2! (3) (4) Испат,зуя алгебраические выкладки предыдущего параграфа, можно доказать слелующую теорему.
Те о р е ма )0.8.!. Если заданы р-мерные векторы набл>пдений ун ..., у>„нид совокупностью !»'(», >«Г), то отнои>ение правдоподобия для проверки гипотезы н> !%'= >4>е, где >ага задана, имеет вид 1 ! ) ( Е )У ' ())1)Г~-1)У Е г Р( 'ео ) (7) В= ~(у„у)(у, — у) . (8) едв проверке гипотезы Н,: Х = — >, где Х вЂ” коварнаиионная матрица вектора Х, распределенного И()2, Х). Отношение правдоподобия при заданной выборке хп ..., хы равно тах й (Р, >) Л =— тая Ь (Р, Х) где функпия правдополобия равна 1 --2 аг' (Մ— >1)' Х ' (Х, — Р) Л(р «) (2 ) 2 (Х! г е а (2) Из результатов.
полученных в главе 3, следует, что --., ~ч' (х„— х)'(х, — х) (2я) " е 10 Я! РАВЕНСТВО КОВЛРИЛЦИО1П!ОП И ДА!Н1ОП '1ЛТРН1! ЯЯ 1 л е! — 'и -1, л м11=) . / ", ~д~' у' "~ см!я. !ем — ри лгз / 1 2 / ... ) )А~У е з я(А(Х, и)сгА. — ' рли Лгз Так как (А(з е з тп(А(Х, и)- —— 1 — 1м-;ля-р-и —,(.Рт.-1л г ер лл) !А'з е 1 ! """""" ° з" И !' + — ~ 1-1 (9) — рил 1 2з ПГ --(и+ АГА+1 — !)~ ! 2 — Х '~21 "ПГ~.,'(и+! — !)~ !2-1+ и!У 1м.ль-р-и — — ее(2 '1Ю) Л е ! Х !Е 1+ А!)1 !А 1 1 —,я!я+ИЛ! — р!р-!1 р Г1 И'Ь +'"+'- 1 Г ! 2 !2! ДаГ~ — (л+ЛГ/1+1 — !)~ Х 11+ А21' ЦГ~-,'- (и+ 1 !) ! Х ы (А ~(Х '' + Ау) , и + йу)г') (10) Это отноп!ение правдоподобия является функцн!и суммы и произведения корней.
Это нн!>В!явно ясно, так как гипотезу можно сформулпровзгь но-другому, как утверждение о том, что сумма характеристических корней матрицы Х равна р, а их произведепнс равно единице. Определим теперь моменты й-г.о порядка отноп!ения правдоподобия при условии, что справедливы нулевая и конкурир>юплая гипотезы. Пусть (Р'(Х, и) — закон распределения матрицы А, где и:= 1~!' — 1. Мы хотин нзй!и пРОВеРкА п!пОтез О РАВенстве [1Л. 1О то момент й-го порядка величины Л, равен 1 1 „„! !Х!' ф[Г~ (В+Фа+1 !)~ — (л ' АИ) !У+ !' ' ПГ~-2(.+ — )~ Можно показать, что характеристическая функция величины — 2!ВЛ, имеет вид -2И !п 1~ и -зм !Ые Р Гг!д, Ч, -О Ц 2е) !Рг(! (Г) !А'! тт ! 2 ( А() Ц ..
(12) ! à — 2((Х ! — л-!м! ! ! Г ! (А) !)! (2 При условии, что справедлива нулевая гипотеза. Х = Г и 'Ме-2П !и Ч 2е) 1 --.Р(в-апяЛ Г Я(Аà — )) — !А((~ Г1 Ф вЂ” (1 — 2и) П (2 . (1З) -(' '~2( -4 Эта характеристическая функция представляет собой произ- ведение р членов вида ГГ! =© 2е' -- (л-2!мо / 2 ( ср,(С) = — „'.)! (1 — 2И) а ", .
(!4) ~~ —,(~ — л~ Таким образом, распределение величины — 2 )и Л! такое же, как распределение суммы р независимых случайных величин, причем характсристичсская функция Г-И случайной величины определяется формулой (14), Применяя формулу Стирлинга !ем гипотеза о вектоее сееднего значения 363 для гамма-фуикпин н полагая л=М вЂ” 1, получим ! г! ! ! — 1%!!ч-П-!!!!] я 1 , —, !!ч-)-!!-с!ч! е ~ — (Л! — ! — 2) И!! ! х Ь ! ! 3!!!!В -~- !"-~!].1 1- (а! / !! е ~ — (/Ч вЂ” ! — 2)] (2 ! — (л! У 2) (1 — 2п) / 1 2 П(У+2) 1-!ле Х(1 —. Х 1 — пл,(1 20)) (13) 10.9.
Проверка гипотезы о том, что вектор среднего значения и ковариационная матрица соответствен!(б равны данному вектору и данной матрице В главе 3 указывалось. что если %' известна, то для проверки гипотезы У(з ! " =чь прн % не %в (1) можно применять (у — те)'%'е '(у — р,). Пусть гипотеза И! из 3 10.8 комбинируется с гипотезой Ня и проверяется гипотеза ~ "=те %=%о (2) иа основе выборки ум .... у!т из совокупности Ф(», %). ! Тт При Ж-+ со Ч>1(Х) -+(1 — 2И) ', характеристической функции распределения у~, )(~-распределения с / степенями !' свободы. Таким образом, распределение величины — 2(п )!! Р асимптотическн стремится к распределению ~ )(т, что есть ! ! !' к~ 1 уа-распределение с ~ / = — р(р+ 1) степенями свободы.
А =2 пРОВВРКА гипотез о РАВенстВВ !Гл. 10 Пусть Х= С(К вЂ” «е), СР,С =7. где (4) Тогда х1, ..., хм образуют выборку из совокупности !«'(р, Х) и гипотеза состоит в следующем: Н:р=о, Х=у. (5) Отношение правдоподобия для гипотезы Н21(2=0 при условии, что Х = 1, равно 1 — А!»'к Л вЂ”.— е 2' (б) Отношение правдоподобия для гипотезы Н равно (ио лемме 10.3.!) 1 ~)(г/ 1 ! 1 =Ы = — !А! е Е 11 Р !! ' --.; Р!Л+А' '! -() ' —,«! ч 1 1 е12 !" 2' -2~~~~ »а» — !А~ е дг/ (7) Множители Л, и Л2 независимы, так как Л, есть функция от А и Л2 есть функция от х, а А и х независимы.
Так как 1 ! 1 МЛ2 = Ме 2 Х' '= Ме Т р=(1+ 72) 2, (8) то момент 71-го порядка величины Л равен МЛ" = МЛ",МЛ," = ! Г1 !«7' -1 — 'Г 2е ! 2 р'«А ! Г ! 2 (Дг — ! + ФЛ)~ и '„ (!+Й) ! 2 2 рм!!2А! ! ! Г! — (Аг — !)~ при условии, что справедлива нулевая гипотеза. Очевидно, распределение величины — 2!пЛ= — 2!пЛ, — 21пЛ2 (1О) асимптотнчески стреь!ится к )(2-распределению с р(р+1)/2+р степенями свободы. задачи Возвратимся к векторзч наблюдений уи ..., Уд,. Тогда лч.", х'х = чр (у„— ч„)' С'С(у„— ч,) = — ! = л,г (у» чо) Ро (у» чо) вр А+ А?х х = зР (ВЧго ') + А?(У вЂ” чо)' %'о (У вЂ” »о) (11) [ А [ = [ Вт)го !. (12) Т е о р е м а !0.9.1.
Если даны р-мерные вектора наблюдения уи ..., Удг кад совокупностью А?(», т)г), то отношение правдоподобия для проверки гипотеза Н: ч =ч, тл'=те'о, имеет еид 1 — ( ) ! Г е т з Р 1 !,Т вЂ , [»Р %"о+ К (У -чо) Что (У- чо)т ) = — ) ~Второ [ ег — А) Распределение величина — 2!и )г асимптотически стремится к у -распределению с -- р[р+1)+р степенями т 1 свободы при условии, что справедлива нулевая гипотеза.
ЛИТЕРАТУРА 6 102 — 106. Барт лет т [3]; Б и ш оп [Ц; Бокс [Ц; Браун [Ц; Нэйр [Ц; Пиалой [Ц; Э. Пирсон и Уилкс [Ц; Плзк е т т [Ц; С. Р о й [15[, [17]; У и л к с [Ц; Ш е ф ф е [Ц. 9 10?. !тиршик [4]; ~е [Ц; Мочли [Ц, [2); Хикмеи[Ц; Хотеллипг [8]. ЗАДАЧИ 1. (6!02) Суммы квадратов и суммы взаимных произведений отклонений от средних зизчеиий четырех измерений приведены в таблице (см.
6 5.3). Совокупности представляют собой !г!ь тег»1- со!ог (!), 1г!з зегоза (2), и !г!з »$г89п!са (3); каждая выборка состоит из 50 наблюдений: 13,0552 4,1740 8,9620 2,7332 4,1740 4,8250 4,0500 2,0190 8,9620 4,0500 10,8200 3,5820 2,7332 2,0190 3.5820 1,9162 ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О РАВЕНСТВВ Р'л. ш 6,0882 4,8616 0,8014 0,5062 4,8616 7,0408 0,5732 0,4556 0,8014 0,5732 1,4778 0,2974 0,5062 0,4556 0,2974 0,5442 19,8128 4,5944 14,8612 2,4056 4,5944 5.0962 3,4976 2,3338 14,8612 3,4976 14,9248 2,3924 2,4056 2,3338 2,3924 3,6962 а) Проверить гипотезу Е~ Хм положив уровень значимости равным 5% б) Проверить гипотезу Х, = Х, = Ха, положив уровень значимости равным 5%. 2.
(й !0.2) Пусть .с!Л> (а 1, ..., Ф) — наблюдения над совокуп. постыл М(Р!л1,Е ), е —.— 1,2,3(порядок матрицы Х равен р). Вычислитьь отношение правдоподобия для проверки гипотезы Е, = Х,; вычислить отношение правдоподобна для проверки гипотезы о том, что Х, равна Е, и Е„в предположении, что Х,=Х,; проверить, что этн отношения правдоподобия статистически независимы прн Х, =Хт =Хя.
3. (6 10.2) (а) Пусть У!Л! (е 1,..., 4) — множество случайных р-мерных векторов. Предположим, что МУ'л>=0, й>У''У!»'-В»Е л» л "П> сть С вЂ” ортогональная матрица порядка 4Х4 такаю, что адаманты последней строки равны сч» г'ч Определим е'л>= ~и~~ с »У'">, Р 1,„., а, я-! Показать, что А(г >гы!'=О, Е-1,..., д — 1, в том и только в том случае, если Е, = Ет ... = Х . (б) Пусть Х!л! (а = 1, ..., А() — случайная выборка из совокуп- НОСТИ Ф (Р!Л', Хл) (и = 1, ..., д). ИСПОЛЬЗОВатЬ РЕЗУЛЬтат ЗаДаЧИ (а) для построения критерия проверки гипотезы Н:Е1= ...
Е, основываясь на проверке гипотезы о независимости 21а! н множества ЕИ>,..., ум ~'. Найти точное распределение отношения правдоподобия в случае р = 2. злпдчп 367 4. (5 102) Показать, что гипотезы Н, н Н, инвариантны относительно преобразований Хцк1=-СХ(Я)+е. Проверить, что величины )т, н 1'т инвариантны относительно преобразований х',- = ьф! = Сх(л'+ с. 5. (5 !04) Выразить (т, и (гт как произведение величин Хл(! — Х)», гдс величины Х независимы и имеют плотность веро. ятности 3 6. (6 10.6) Пусть х!1'1, ..., х!мю — наблюления над совокупностью Н(р' 'Е )(» =1 2) и густь А =~(х1' — х! !)(х' ' — х! !) . (а) Локазать, что проверка гипотезы Н: Е, =Ел по критерию отношения правдоподобия зквнвалснтиа правилу, по которому гипотеза Н отвергастся, если 1А, ! ° ! Ат1 Т=, 4 +А 1, ~(С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
