Андерсон Т. - Введение в многомерный статистический анализ (1185341), страница 50
Текст из файла (страница 50)
(. -П у!* .,'у~.,>т у!у.> 1,1" с 1 1 Х(А+~уу'( а э(А~Х, л)Цл(у )О, ау)>/АЦа>у / / К(3, ла) К(3, л+ Ьл) Ц К(3, л + Ьл ) К(3, л) и 1 где М)/т аадается выражение.! (9) 3 8.4 при (1! =(/ — !. Подставляя К (»:, >и)=2' ~ 1Л '>М(Х!' Д Г ~21 (лг+1 /)~ 1-1 (тл. ю 344 ПРОВГРКА Г11ПОТЕЗ О РАВЕНСТВЕ в (2), получим г! Г [2 (л + а»а+1-1)~ л-! Г ~ — (л +1 — !)~ (2 г[ (л+ап+1 )~ Г[ (л+4 !)~ 1 1 х (3) Г [ — (л+ Ьл + 1 — О [ Г [ — (л+ а»+ д — !)~ Момент л-го порядка величины )г! при условии, что верна гипотеза О, получается по формуле (3) при »=0; он равен моменту л-го порядка величины 1', при условии.
что верна гипотеза Н1, так как распрсдсление матрицы Аа не зависит от р . Такйм образом, Р и à — Ь 1 — ' 1=-1 ~л ! Г) — (л +1 — 1)~ [2 Г [ — (»+1 — 1)~ 1 Х,2 (4) Г [ — (л+ А»+1 — 1)~ Для определения й-го момента величины Ь' следует поло- жить Й=л, е Г[1(п,+Лп,+1 ! 1 л=! Г ~ — (и +1 — !)~ [2 Г [ — (»+4 О~ 1 х (5) Г [2 (и+ Ап+4 — О~ Так как О.((г! (1, 0 (ь» (1, 0 (У (1, то моменты однозначно опрсдсляют распределсние, Таким образом, можно, по крайней мере в принципе, определить Ъ'!(В), )'1(п) и 1'(и).
Следует отметить, что зти распределения не содержат нехороших параметров. моминты отношяння пвлвдоподовия 846 !Ол1 Из (2) следует, что М~'!~'г = М~'!М~'г. (6) Таки!! образом, (г! и $'г независимы. Следовательно, можно использовать сначала (г! дла пРовеРки гипотезы Н,, а затем ь~г для проверки гипотезы Н,. Допустим, требуется проверить гипотезу Н при уровне значимости а. Можно пользоваться Ъ'! н Ъ'г, выбирая Ъ'!(р) и 1',(1) так, чтобы (1 — р)(1 - Т) = 1— (у) то есть Р+ Т вЂ” РТ =". (8) По-видимому, разумно предположить, что, выбрав р и Т, удовлетворяющие уравнснию (8), можно выделить либо ту часть гипотезы Н, где речь идет о равенстве средних значений, либо ту ес часть, где речь идет о равенстве ковариациояных л!атриц. Однако трудно дать точную формулировку етого положсния, так как о мощности критерия известно слишком мало.
Приведенные рассуждения обобщены в следующей теореме. Т е о р е м а 10.4.1. Пусть (г! — определяемая формулой (10) з 10.2 величина для провер!си гипотезы Н,: Е, = ... =Е, где А — выборочная ковариационная матрица, умноженная на и, и и + 1 — обзем выборки из д-й совокупности; пусть 1'г — определяемая формулой (1О) $ 10.3 величина для проверки гипотезы Н,: р,=...
=р, при услчгвии, что гипотеза Н, верна, причем В = А+ ~з~ Не(х<е! — х) (х!е! — х)'. Когда гипотезы Н, и Нг верны, (г! и Ъ"г независнмы. Момент й-го поРлдка величины (г, пРи Условии, что веРна гипотеза Но определяется форл!улой (4). Момент я-го порядка произведения Р = (г!%'г, величины для проверки одновременно гипотез Н, и Н,, определяется формулой (6).
Эта теорема впервые была доказана У ил кспм [11. Если р четко, например р = 2г, то можно применить формулу удвоения для гамл!а-функции Г (з -+ — ) Г(а 1- 1) = 'у' к Г (2г + 1) 2 г". ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О РАВГНСТВЕ !Гл. 10 Тогда км'=Ц[[Д Г(п -1- лпа+ 1 — 22) Г'(и -1-1 — 22) Г( а+ ! — 2Л Г(п+ ап+1 22) (9) Г(п +Лп + ! — 22) Г(п+и — 2)) Кгч-ц ([д Г (и + 1 — 2/) Г (и + и + Л11 — 2У) (!0) 10.6. Асимптотнческне разложения функций распределения величин У, н У Для получения асимптотнческих разложений функций распределения У, н У можно вновь воспользоваться теоремой 8.6.1. Положим и =А и, где ~ й =1. Асимптотическое разложение получается при возрастании и, когда 111, ..., )Г„остаются фиксированными. (Можно предположить только, что 1!щ и /и = )г > О.) Момент й-го порядка величины 1 Рп пз (Уг=У1 °, =У1 П"ау ' ') У ил кс (1) получна другие щпегральные представления.
Прн помощи этих моментов можно выразить У1 и Уа в виде произведений случайных величин Х (1 — Х)ь, где все Х независил1ь1 н имеют плогность вероятности типа Р '). В принципе эти плотности можно проинтегрировать н по!учить функцию распределения величин У, и У. В 9 10.6 будет рассмотрено распределение величины У, прп р = 2, д = 2 (в случае р = 1, д = 2 это распределение является функцией гцстатистики). В остальных случаях интегралы не вычисляются.
В следующем параграфе для вычисления плотностей вероятности применяются асимптотическне разложения, Бокс !1) получил другие приближенные выраже. ния для распределений. АСИмптотические РАВЛОЖЕНИЯ !0.51 равен р П'12 ) ПП(2")' ' 6 р Ц П 1 ~ — п,(1+ /г)+ — (1 — г)~ П 1' ~ — л (1 + а) + 1 (1 — /)1 / ! Это выражение имеет такой же вид, как и формула (1) $8.6 при 1 ! Ь=р у/=-,' 1/=-2 (! — Л у=).
"., /, а = /гг/, ха = — а „ /е = (а — 1) р+1, ..., / /г, с = 1, ..., гу, 1 1 ;„=- 2 (1 — !), / =/, р -(-/, ..., (г/ — 1) т /, /=1, (3) Тогда 1 1 Р(р !)+ /г(/г !) — (г/ 1)/г)= 2 2 1 2(/ )/(! + 1 1 1 а/ —,(1 — р)п, р =--(! — р)и = — (! — р)'гака 2 ' а 2 2 (к=(У вЂ” !)гв ! ! ° ° 8"го) пРОРеРЕА Гипотез О РАврнстве !Гл. !в 348 Для того чтобы второй член в разложении обратился в нуль, выберем р в виде 1 !1 2ра-(-Зр — 1 (лам и, й/6(р+1)(4 — 1) (6) Тогда 1 11 и~4- ь [ы — ~! (~ ~-а (т~ — ' -вч — з! а — '!" р 48Р! (6) Следовательно, Р [ — р!п%'! -(е[ =Р [Х' (е[+ + ма[Р [Х!'+4 (я) Р [Х~г (я<!1 + 0(н з). (7) ! 4 р» — — Рр, Пусть %'=уп' П а з а. Момент /г-го порядка втой а величины равен р 1 П(2") Ь!()Ра = К [и п~-,';)'" П П1~-2лл(1+В+-(1 — !)~ Х р .
(8) Ц Б (1+а)+2 (4 7)~ 1=! Здесь а, Ь, хл, у. и ';а опре!!еляются по формуле (3), но т1 = — (!7 —.7). Находим 7 = —,(7 — !) р(р+ 3). Для того ! 2 2 чтобы второй член в разложении обратился в нуль, выбираем р такич образом, чтобы ! 11 2Р +ЗР— 1 л 1 Р— 4+2 (~Л~ ила и 8(!7 — 1)(р+3) л р(:-3 (ГЛ. Ю няовввкл гипотез о влзенстве Сумма их равна у /' 636,165 1697,52 ~( 1697,52 7653,44 /' ) А,= (13) !0.6.
Случай двух генеральных совокупностей В случае двух генеральных совокупностей можно получить некоторые результаты, которые не могут быть получены в более обитом случае. При р=! величины Р, и 1' равны: ! 1 1 1 —, («,+«Д « (А, + А,) а (2) Отношения (пт/л,) А,/Ат и (и, -4.пя)( — А)/А независимы и распределены йо законам Г«„„, и г1 „,,„, соответственно. При р = 2 можно получить з замкнутом виде выражсние для функции распределения величины $~г Имеем «Г(п, + Ьл, — 1) Г(л«+ дп,— 1) Г(п, +и« вЂ” 1) Г (л, — 1) 1 (ૠ— !) 1 [л, -[- и„ + Ь (и, + п,) — 1! [х Г (и, + Лп, — 1) Г (л, + дп, — 1) Г (л, + и« вЂ” 2) [ '( Г (а, — 1) Г (л, — 1) Г [п, + л, — 2+ д (л, + л«) [ [ Х Г[а, + и,— 2+ а (и, + л«)[ Г(л, + п« вЂ” 1) 1(1) [ Г(п,+и,— 2) Г[п,+л,+д(а~+и«) ЦГ(!) [ 1 О~ «,г) мч «,+«,1" «,-т/1 х )ю-~л«,+«,-зг(л г/х Х в а ХВ '(,— 1,, 1)В (а,+па — г, 1).
(3) Отсюда величина — !п К, равна 5,399. Чтобы применить асимптотическое разложение, находим р = 152/! 65 = 0,9212 и ы, = — 0,0018. Так как мт мало, можно считать, что — 2р!н Гк' имеет ут-распределение с 12 степенями 'свободы. Поэтому наблюдаемое значение величины Ъ' оказывается незначимым. 20,6! случАЙ двух Генеялльных совокупностег! 35! (:ледователы!о, распределение величины У'! совнадает с распределением величины Хл!'(1 — ХВл Х2~'~~!, где Х, и Х2 неаавнсимы и распределень! По законам р(х; а, — 1, а2 — 1) и р(х; 22! + а — 2, 1) со- хл ответственно.
Таким обравом, 1 ьач'ь 2 Р [!2! а, о) = Р !!Х!'(!в — Х!)а Х2'~"'-4 о 1, (4) где ЬЧ!с. !Ьь Пусть а (Ь вЂ” два корня ураансния х", (1 — х!)"'=э (рис. 16). Тогда выражение (4) переходит в Р (Р! ~(о) = Р (Х, ( а] + Р (Х, > Ь) + Р !(! ~~Хл,лл,, ДХ2!,(! Х )л.~ А 1 ° ° 1)! л =В (а, — 1, а — 1) ~ х," 2(1 — х,)"' ' ь/х, -Г- е -!- В '(а,— 1, а,— 1)(а, +аа — 2) Х ь 12/1"! ('-"!) !) Ив!,-2/1 Х 1л~-2 Хлм !Ь-З,/Х Л2Х 2 1 ! + В (а! 1 2 1) ! хл (1 х!) /х! Х ~ хсл,ллылм-2(! х )" л| ~ !/х + ! / (а 1 а 1) л ф) В оьшем случае полученный и!Утеграл трудно вычислить.
ПРОННРКЛ ГГ(ПОТЕЧ О РЛВРНСТНР (гл га Если и, =-и,= лг, то и= — (1 — Ь'~ — 411'м), О=-;(1+ 1« — 4и~ )=-1 — и. 2 ' 2 следователы(о, Еа(лг — 1, и — 1) = 1 — Рь(вг — 1, лг — 1) и Р 1У( ( и) = 2!а (т — 1, И вЂ” 1) -„'- +В '(лг — 1, т — 1)о ' '"' / х( (1 — х() '((х(= а = 211 — (;-)(лг — 1, лг — 1)+ а +2В ((и — 1, лг — 1)о !п( — = — — — . (6) ! (1, / 1+ ! 1 — 4РН 'Ч! — ~'~ — 4 ('"1 Э. Пирсон и У илкс (1) получили это выражение в дру- гой форме. При р > 2 интеграл становится еще более сложным. Для более полного исследования величины У, ее следует выразить через корни характеристического уравнения.
Имеем 1 1 1 1 (А1+А ! где О,' ' Оа)~ ... > Ор — корни уравнения ~А,— ОАт( =О. (8) Это следует из того, что (8) можно переписать в виде 1А(А,' — Оа(=0 или (А(Аа'+1 — (1+О)г(=0, следова- тельно, Ц О(=!А(Аг '! и Ц (1+ 0() =)А(А1'+1). Очевидно, что У, и ы для гипотезы Н( инвариантны относительно невырождениык преобразований У = СХ -+ э. (р) Можно выбрать С так, чтобы Е(у('1. )"и ) = СХ,С' = у, Е(Р"', Р"')=-с2:(С =-А, >ел) ПР!)ва>рк( Г>>П|)12)Ы О ПРОПОР>(ИО!)ллш(огт>! гл" А — лиагоиальпая мгпрпца, диагональные элементы котоРо" л>)~)2)~ ° .
° )~) являются кор>шми уравиевия х,— ),7),)=о. (11) Таким образом, функция распределения велпчипь> У> при условии, что типот~за Н, пе верна, зависит только от р параметров )ч, ..., ) . (Заметим, что средние значения пе влияют па А, и А,.) Гипотеза Н, состоит в том, что )(1 = ... = ), = 1. 1 ''' 'р Величина У> является в некотором роде мерой близости 0, к а>)п2. Любая другая мера близости О, к п>/и2 — также способ проверки гипотезы НР Например, другой способ о о проверки 1>шотечы основав па том, что 01)~ 01, Ор ( 0р (пр.лложеио Р ос ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
