Андерсон Т. - Введение в многомерный статистический анализ (1185341), страница 49
Текст из файла (страница 49)
2. По паиным 188 наблюдений затрат времени в производстве (А б р у ц ц и (1) ) была составлена слелуюшая корреляционная матрица: 1,00 — 0,27 0.06 0,07 0,02 — 4),27 1,00 — 0,01 — 0,02 — 0,02 0,06 — 0,01 1,00 — 0,07 — 0,04 0,07 — 0,02 -0,07 1,00 — 0,10 0,02 — 0,02 — 0,04 — 0,10 1,00 Проверить гипотезу о толю, что ам 0 ((+У), положив чровень значимости ранным 54. 3. (6 9.4) Вынести распрелеления, полученные У н л к с о и 16), на которые ссылаются в конце 9 9.4. (У каза нне. Использовать роаультаты й 9.4.1).
4. (6 9.7) Доказать, что отношение правдоподобна У в втой главе можно представить как произведение У, определенныд в главе 8. 5. (6 9.7) 1(ать опрелеление выборочного вектора коэффициентов чужеролпостл и ныборочпого вектора козффициентов корреляции.
6. (6 9,7) Пусть у — квадрат выборочного вектора козффициентов чужеродности и х — вектор коэффициентов корреляции. Найти Мучал, когда Еп —- О. 7. (6 9.5) Выразить т и 7, в случае р~ ° 2. Вычислить второй член а формуле (6), когда о выбрано так, чтобы первый член был равен 0,95 при р = 4 и 6, а А( 15. ГЛАВА 10 ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О РАВЕНСТВЕ КОВАРИАЦИОННЫХ МАТРИЦ И О РАВЕНСТВЕ ОДНОВРЕМЕННО ВЕКТОРОВ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ И КОВАРИАЦИОННЫХ МАТРИЦ 1О.!.
Введение В этой главе изучаются проблемы проверки гипотез о равенстве ковариационных матриц и о равенстве одновременно ковариационных матриц и векторов средних значений. Описываемые критерии представляют собой критерии отношения правдоподобия или видоизменения критериев отношения правдоподобия. В каждом рассматриваеиом здесь случае формулировка задачи и критерий являются многомерными обобщениями формулировки задачи и критерии для соответствующего одномерного случая. Вначале будут рассмотрены гипотезы о равенстве ковариационных матриц и о равенстве одновременно ковариационных матриц и векторов средних значений различных генеральных совокупностей в предположении, что вид коварнационной матрицы илн вид ковариационной матрицы и вектора среднего значения не дан. Затем будут рассмотрены гипотезы о том, что ковариационная матрица равна данной матрице, и о том. что одновременно ковариационная матрица равна данной матрице и вектор среднего значения равен данному вектору.
Еше одной гипотезе, рассиотренной в этой главе, — гипотезе о равенстве ковариационной матрицы данной матрице с точностью до коэффициента пропорциональности — соответствует тривиальная одномерная гипотеза. Во всех случаях класс критериев для проверки класса гипотез приводит к вычислению доверительных областей.
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ ГИПОТРЗ О РАВЕНСТВЕ ЭЗУ 1в.а> ' 1(>.2. Критерии проверки гипотез о равенстве нескольких ковариациониых матриц В этои разделе рассматривается несколько Нормальных совокупиостеИ; на основе множества выборок (по однои из каждоИ совокупности) проверяется гипотеза о равенстве ковариационных матриц этих совокупностей.
Пусть х<~>(я = = 1, ..., Ж~; К = 1, ..., >у) — выборка из д-и совокупности с распределением М(р>а>, Х ). Требуется проверить гипотезу И>:Х>= ... =Х,. (1) Пусть ~ И> =)>Т, а ! а 4л= с~> (ва~,>В>а'г!!А>Вел ь! г! в К и 1 ' ' ° $ (2) А=~ А. а=! Прежде всего иаИдем отношение правдоподобия. Функции правдоподобия равна Ч а=!' (2 )а а>т >1 а л Х Х '(л."> — р,' >)~. (з) Пространство й представляет собой пространство параметров, в котором кажлая Х вЂ” положительно определенная матрица и р>а> — произвольныИ вектор. Пространство ш представляет собой пространство параметров, в котором Х, = = Х> — — ...
— — Х и р>а> — произвольный вектор. Оценки наибольшего правдоподобия для р>а> и Х в области 11 даются л фориулами ря = — х . Хая= — А„ "ьт> (>и (4) Оценки наибольшего правдоподобия для р в области и даются формулами (4) рХ =.Ф'~', так как значения р,~', при 339 10.21 КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ ГИПОТГЗ О РАВЕНСТВЕ (11) 1, 1 1ж+ж) (л1Я~ + н222) (л,г"+лт) 1 гдс 22 и в2 — обычные несиещенные оценки ат и а1 (двух 1 2 1 2 дисперсий генеральных совокупностей) и 22 га = —.
1 2 ' 2 (12) Таким образом, в уравнении критическоИ области ~'1 ([г1( ) (13) используется та-статистика с и, н лз степенями свободы, и неравенство (13) лежит в основе обычного метода выбора Р (а) и Гз(а) для критиФскои области Г" ~( тч1 (а), 1 )~ 2 2(а). (14) Браун [1[ и В1е ф ф е [1[ показали, что (14) дает несмещеннып критериИ для проверки гипотезы. Бартлетт привел интуитивные доводы в польау применения Р'1 вместо )11.
Он рассужлает следующим образом. Если 1ч1 мало, то матрице 41 приписывается слишком большой вес в )11, а другис эффекты могут оказаться неучтенными. Если предположить, что МХ,'ю= ))ал1а1, (1б) где ле — — й — 1 и л = ~' е = 12' — а. Числитель пРопоР ционален пекотороп степени взвешс иного срслнего геометрического обобщенных выбор очных дисперсий, а знаменатель пропорционален некоторой степени определителя взвешенного среднего арифметического выборочных ковариацнонп ых матриц.
В случае скалярной переменной (р = 1), когда имеются две выборки. статистика (1О) равна ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О РАВРВСТВЕ (ГЛ. 10 где х„л( содеРжит (г компонент, и если оценивать матРицУ Вл, определив (ч А = У„(х'„ю — В г'„"Их, — Й г'.Е1)', (18) «-1 то здесь, очевилно, применяется формула (1О) прн и = М вЂ” и л л а 10.3. Критерии проверки гипотезы об эквивалентности нескольких нормальных совокупностей В э 8.8 рассматривалась проверка гипотезы о равенстве векторов среднего значении в предположении, что ковариационные матрицы соответствующих генеральных совокупностей равны.
другими словами, мы проверяли гипотезу Н . р(11 (л(1) . =р(ч( при В, =В, =... =В . (1) В 8 10.2 производилась проверка справедливости условия, входящего в Не Рассмотрим теперь гипотезу о равенстве одновременно срелннх значений и коварнацнй. Эта гипотеза представляет собой комбинацию Н, и И,. Требуется проверить гипотезу Н р,(П вЂ” (л(11 — — р ч) Пусть, как и в Э 10.2, х„'л' (в=1, ..., Ил) обозначает наблюленне над совокупностью, распрелеленной М(р(а(, Х ) (е = 1, ..., (у). Тогда О представляет собой неограниченное пространство параметров ((л(лл, Х ] (у = 1, ..., (у), где Хл— положительно определенная матрица и ел* представляет собой часть этого пространства, ограниченную условием (2). Функции правдоподобия определяетсв формулой (3) Я 10.2. Гипотеза Н, $ !0.2 состоит в том, что значение параметра попалает в еи гипотеза Нэ 4 8.8 состоит в том, что значение параметра попадает в м* при условии, что это значение принадлежит ел=тел*; гипотеза И этого параметра состоит в том, что значение параметра попадает в ел' при условии.
что это значение приналлежнт м. В дальнейшем нам понадобится следующая лемма. 10,31 критерии для Гипотезы ОБ зкзизхлгнтности 341 Доказател ь ство. Так как тах у(у, О) 04 ~а шаху(у, 0) о 0п тах г"(у, О) Л Осоь тах у(у, 0) ' О 4 На азх У(у, 0) Л о саь юпах у(у, о) ОСЯ то равенство (3) Очевидно. Таким образом, отношение правдоподобия для проверки гипотезы Н является произведением отношсний правдоподобия для проверки гипотез Н, и Нг (4) (б) Л=Л,),= Ц 1";1 где а В= ~ ~~'„,'(х1»1 — х)(х1»: — х)'= е-1 а-1 = А+ ~~'.,' М (х1»1 х) (х1»1 х) (3) » 1 Критическая область определяется уравнением Л (Л(а), (9) где Л(а) выбирается таким образом.
чтобы (9) выполнялось Л е м и а 10.3.1 Пусть у — вектор наблюдений над случайным вектором с плотностью вероятности /(Б, 0), где 0 — вектор параметров в простринстве й. Пусть ̈́— гипотеза 0 ~ Я„с 21 Н» — гипотеза 0 Е сзьс2 при условии 0~ ьг, и Н, — гипотеза 0 ~ сев при условии 0~ О. Если Л„, Л и Л ь — отношения правдоподобил длл проверни гипотез Й,, Н, и Н „соответственно — однозначно определяются значейием вектора наблюдения у, то Л,ь=Л Ль.
(3) 342 ПРОИРРКА ГИПОТГЗ О РАРЕИСТВИ !ГЛ 1а с вероятностью а при условии, что гипотеза П верна. 1!усть 1 а 1А ~ в у11у. !г = — =ц 1 )2 (10) эта величина. очевидно, эквивалентна отношению правдоподобия )у для проверки гипотезы На. По-видимому, для проверки гипотезы Н разумно пользоваться величиной 1[,!" ' "' !г !К К-1 1 В!а (1 !) вместо )!.
10.4. Моменты отношения правдоподобия 1 ~~А 1 П1Ак!' ' к М!к1'!га = М 1~"!' В этом разделе мы наядем смсшвнныс моменты (к! и 1~ при условии, что верна гипотеза Н. Отсюда определим моменты У! при условии, что верна гипотеза НР и моменты !' прн условии, что верна гипотеза Н. В ф 8,8 показано, что, когда р =р„то распределение ~1у' (Х!у! — Х)(Х!к! — Х) у-1 совпадает с распределением матрицы ~ у'1!'и где векто/ ! ры Уг независимы и одинаково распределены с законом распределения М(0,?:) независимо от А . Выраженно для смешанного момента к'! н )~а имеет вид >ал) МОМЕНТЫ ОТНО!ПЕНИЯ ПРАВЛОПОЛОВИЯ 343 Х Ц и> (А ~ Х, и ) Д л (у/) О, »') Ц >/А Ц в>у/=и/ / 1 =П„,.'.".,".'„,/ / дУ,)""' л-1 а 1 „ >!(» А->-» уу' П (А„!у.ь.уу >х / с Х Ц л(у/,>0, Х) й,(Аа П,/у/, (1) с / что устанавлнваетсн с помошью рассужденип, приведенных в Я 8.4 и 9,3.
Интегрирование по всем положитсльно определенным А (д = 1, ..., д) можно рассматривать (при соответствующеи замене переменных) как интегрированис по всем положительно определенным А при ~~~~~А =А. При интегрировании по ~А =А выражения И ю (А ! Е, л + />и ) л с по теореме 1.3.2 получится св(А ( Е, л+ />л). Таким образом, — ' а-А с 1„ Х~А+ ~ у у'! ' П>(А)Х, л+/>л)ЦЛ(у ~0, 2~)>/АДв>у/ / /.../ !АР Х К(х,л,) К(Х,л+Ал) (.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
