Андерсон Т. - Введение в многомерный статистический анализ (1185341), страница 46
Текст из файла (страница 46)
(9 8.2.2) Рассмотрим следующую выборку (для 5!= 8). Вес зерна .. .. , .... 40 17 9 15 6 12 5 9 Вес соломы ........ 53 19 10 29 13 27 !9 30 Количество удобрений .. . 24 11 5 12 7 14 11 18 Пусть лз„ = 1, а л,„ — количество удобрений, внесенное на а-й участок земли. Оценить В по этой выборке. Проверить гипотезу В, = 0 при уровне значимости 0,01. 2, (Я 8.3) В следующих данных (У ол гь Рейд и К оп уэлл [!); затем эти данные были использованы Р.
А н д е р с о н о и и Б э нк роф том (1)) к,— скорость сгорания папиросы, хз — процент никотина, к, — процент азота, л, †проце хлора, лт — калия, хч — фосфора, лт — кальция и кэ — магния; л, = 1 и А! = 25. / 0,6690 0,4527 ~ (, 0,4527 6,592! / ' 1,8311 — 0,3589 -0,3589 8,8Ю2 — 0,0125 — 0,3469 — 0,0244 0,0352 1,6379 0,7920 0,5057 0,2173 0 0 (л„— *) (х„- х)' -0,0125 — 0,3469 1,5818 — 0,0415 — 1,4278 — 0,4753 Π— 0,0244 0,0352 — 0,0415 0,0258 0,0043 0,0154 0 0,2501 — 1,5136 0,5007 — 0,042! — 0,1914 — 0,1586 0 53,92 62,02 56,00 12,25 89,79 24,Ю 25 1,6379 0,7920 — 1,4278 0,0043 3,7248 0,9120 0 2,6691 — 2,0617 — 0,9503 — 0,0187 3,4020 1,1663 0 0,5057 0 0,2173 0 — 0,4753 0 0,0154 0 0,9120 0 0,3828 0 0 0 злил»!!! 311 (а) Оценить регрессию х, и х, на г„г,, г» и ге (6) Оценить регрессию на все семь случайных величин.
(в) Проверкть гипотезу о том, что регрессия иа г», г„и г, равна нулю. 3. (6 8.2) Показать, что теорема 3.2.! является частным случаем теоремй 8.2.! (У к а ванне. Положить 4 = 1, г, = 1, В = и.) 4. (6 8.2.) Локазать теорему 8,2.3. 6. (6 8.2) Показать, что В дает минимум обобщенной дисперсии ! и (х» — Вг.)(х, — Вг»)' а ! 6. (5 8.3) Пусть 4=2, г„=щ„(скаляр), г„= 1. Показать, что У-статистика для проверки гипотезы В, О является монотонной функцией Т'-статистики и дать Т»-статйстику в простой форме. 2.
(6 8.3) Пусть г, = 1, 4» = 1. Положим А»=! ~(г! — г!)(гу» — гу)], т, /=1,..., 4 =и — 1. Локазать, что (В!я — В!) (А!! — АщАтз!Аз!) (В!я — В!)' = (В!я — В,) А*(В,в — В,)» 8. (6 8.3) Пусть 4, = йе Как проверить гипотезу В, = В»2 9. (6 8.3) Локазать, что В, = »(мх»(ла '4!2'422 аа ) ~ ~л„!(г» А!!Азт г» )(а — А!тЩ а» ) ] » 1» = (С! — СтАзт!Ащ) (Аи — А!зАзз! Аз!) 19. 5 8.4) Сравнивая тйорему 8.2.2 с задачей 9, доказать лемму 8.4.1. !1. (ф 8.4) Локазать лемму 8.4.1, показав, что плотность распределения вероятностей В,я и Вз равна 1 1 » К! ехр[ — — ар Е (В!я — В!) А!! т(В!я — В!) ] Х Х К» ехР [ 2 зР )' (В»э В») А»» (В»м — Вт)']. 12.
(ф 8.5) (а) Показать, что если р четио, то характеристичес ая функция величины У !п(гр, кь „, СКажЕм у(Г) = Маг~~, есть функция, обратная к многочлеиу. (6) Указать метод обращения характеристической функции величины У с помощью вычетов. (в) Показать, что результирующее выражение для плотности распределения вероятностей величины У есть многочлен относительно и и !пи. 392 11РОнеРкл ОБщих линейиых ГипОТГз !ГЛ. Ч 13. (6 8.6) Использун асимптотическое разложение распределения, вычислить Р( — ш !пУь, „~~ М') для (а) п=8, Л1"=14,7, (б) и=8, Л(Г= 21,7, (в) л =!6, М" = 14,7, (г) и =!6.
М* = 21,7. (Каждое вычисление проводить с точносзью ло трех десятичных знаков или использовать разложение до члена ш '.) 14, (й 8.6) В случае р = 3,4, = 4 и и —..-А! — д —.— 20 найти 5%-ную точку значимости для ш!пУ, используя в качестве 7' (а) — 2!пд и (б) — ш !и (6 Использун большее число членов этого разложения, оценить точность уровня значииости лля ваших ответов в случанх (а) и (6). 15. (6 83) Пусть р-мер|иле векторы )Г!7 распределены Аг(р,р Е), где МУВ=-РВ= и+Хг+;+Гбь ~Ч'Хг=-О=~ЧРтг= ~Ч~Г;)=-~ЧРГг), ! у ! / 70 — взаимодействия, если над каждым 3'В сделано тп наблюдений (скажем, уВР ..., уыж).
Как вы проверите гипотезу л! —.— 0 (! —.-1,..., Г)7 Как вы проверите гипотезу 7!7=0 (1=1, ..., г; 7-1,"..".,' с)?' 16. (689) рассмотрим латинский квадрат. Пусть 30(1,7=1,..., г) раСПрсдЕЛЕН ЛГ(р!.. Е), ГЛЕ Му!1 = П!т = 7 + л! + т;+ ря И д = 7 — Г+ 1, ~чР х, = ч~Р ~., —;ь р, = о. (а) составить таблицу очиомерного дисперсионного анализа дан основных лефеитов и ошибок (включая суммы квадратов, числа степеней своболы н так далее). (б) Составить таблицу для векторного случая.
(в) В векторном случае показать, как проверять гипотезу лг = О, 1 = 1, ..., г. 17. 6 8.9) Пусть х, — результат некоторого процесса, а лт — качественная характеристика. 1(опустим, что к, = 1, лт =- 1О' (колебание температуры относительно средней), л, =- ." 0,75 (относительная мера действия одного фактора) и л, + 1,50 (относительная мера действия другого фактора).
(Подробнее см. Т. В. А и де р с о н (7).) Произведено три наблюлення над х, и хз длн каждой возможной тройки значений лм л, и ле Оценка В такова: !' 58,529 — 0,3829 — 5,050 2,308 ) (, 98,675 0,1558 4,! 44 — 0,700 / ' з, =-3090, з,= 1,6!9 и г. — 06632 можно использовать для вычисления Ю или Е. <а) Сформулировать модель дисперснонного анализа длк этой ситуации.
задами 313 (б) Найти ловерительиую область для действия температуры (т. Е !тж Раз) (в) Проверить гипотезу о том, что два фактора не оказывают влияния на результат и качество, 18. (8 8.!О) Интерпретировать преобразование, о котором упо- минается в теореме 8,!0.1, в первоначальных терминах, т. е. в тср- иинах йй В, =- В," и з~".
19. (ф 8.10) Найти функцию распределении величины врИО для р = 2. (У к а за н и е. Использовать распределение характери- стических корней, данное в главе 13.) 20. Пусть х1,'! (а = 1,...,тт'„) — нзблюденин над совокупностями !т'(р01, Е) (т = 1,..., д). Какой критерий можно использовать для проверки гипотезы гл Р'»' "~~ Улгзл+ 1И а-1 где саа — ланные числз, а т„, р — неизвестные векторыР [Э а м с.
ч а и п е. Эта гипотеза (о том, что математические ожидания лежат в т-мерной гиперплоскости с известными отношениями расстояний) может быть сформулирована в виде общей линейной гипотезы.) 21. Пусть .т„— иаблюление иал совокупностью 1У(Вл„, Х), а = 1,..., )тг. Лопустим, что существует известный фикснровайиый вектор т такой, что Ву = О. Как оценить В? ГЛАВА э ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О НЕЗАВИСИМОСТИ МНОЖЕСТВ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 9.1, Введение В этой глзве множество из р случайных величин с нормальным совместным распределением разбивается на д подмножеств и ставится вопрос о взаввшой независимости д множеств.
Это эквивалептво проверке гипотезы о том, что каждая случайная величина одного множества нскоррслирована с каждой случайной величиной другого. Нахолнм отношение правдоподобия для этой гипотезы, моменты отношения правдоподобия при условии, что нулсвая гипотеза верна, пскоторыс частные распределения и асимптотическое разложение распределения. Будет показано, что в случае лвух подмножеств эта теория тесно связана с теорией, разработанной в предыдущей главе. 9.2. Отношение правдоподобия как критерий для проверки гипотезы о независимости множеств случайных величин Пусть р-мерный вектор Х распределен А((Р, Х). Разобьем Х нз д подвекторов с рн ра, ..., р компонентами соответственно, т. е. Х(п Хи' Х(ш кннтпгии отногявния пялвдоподпгия 315 Таким же образом разбиваются вектор среднего значения и ковариационная матрица (1) (2) (а) ~П ~12 ° ° ° ~12~ ~21 ~22 ' ' ' ~22 (3) Нулевая гипотеза, которую мы хотим проверить, состоит в том, что подвекторы л ), ..., Х(2 взаимно независимы, т.
е. плотность вероятности Х является произведением плотно. стен вероятности Х ), ..., Х~~~. Эта гипотеза (1) а Н: н (х ~ 12, Х) = Ц п (х' ' ) р' ), л и) (4) 1 ! Если Х, ..., л — независимые подвекторы, то л М (Х" — 1ьп~) (Х' — р~~~) = Х(2 —— О, 2~/ (5) (см. 3 2.4), Обратно, сслн справедливо (5), то верно и (4) Таким образом, нулевая гипотеза эквивалентна гипотезе Н ' л;,.
=-5, ('.л| Ее можно сформулировать также как гип(. тезу о (ом, что Х имеет внд Хп О ... О~ о (х ° .. о (В) З(б пРОйеРкА Гипотезы О незАВисииОсти 1Гл 9 Если задана выборка хи ..., хл! из 1т' наблюдений над Х, то отношение правдоподобия равно !пах б(Р, Хо) ) Рдо и!ах б (Р, Х) Р,г (7) где где и Х = — А = —,7„(х,— х)(х„— х)'. а 1 При нулевой гипотезе 7. (Р„Хо) = П 7.1 (Р"', Хн), 1 1 (! 0) (1 1) где и 7 ((ь!и, Хн)=П (йг) 2 ' (х.1! Р!1!)'~-1( и! 1О) 1 1дл~' (12) Ясно, иго о игах (,(12, Х,) — Д Р До 1 ! п!ах Л;(12"', Хп)= !О 1 1 Р1АГ 2 (22) 1Еп 12 1 1 р рг 2 и АР!2 ' — гл! (2") П1хп 1 (13) 1 -- (х.,— !1)'А-1(х.,— !!) (.(р, Х)=,, е 2 ' ' (я) П 1 (22) 2 1т.!2 и 7.(р, Хо) равно У.((2, Х) при Х1) — — О, 1ФЛ а максимум берется по всем векторам р и положительно определенным Х и Хо (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
