Андерсон Т. - Введение в многомерный статистический анализ (1185341), страница 25
Текст из файла (страница 25)
О,1 (,и+) Первая часть (1) являетсн строго возрастающей функцией отношения, и, следовательно, С . Таким образом, нрн 2 1+ г«/и подходяще выбранном и неравенство (1) равноснль~о неравенству С2 ) /г. Так как последнее не зависит от т', то критерий является равномерно наиболее мощным. О пределе нне 5.5.1. Нритической функцией ф(х, А) называетсл функцил, значения которой заключены между О и 1 (включал зти значении) и такал, что ири р ==О М(г(х, А) =и, где а — уровень значимости.
По рзндомизированному критерию гипотеза отвергается с всроитностью ф(х, В), когда х=х и А =В. Нерандоми- 6 г, л«л«р««н 162 Озовшгпнья гьстьтистикл 1ГЛ. 5 зировтшый критерий определяется как критерий, соответ- ствулощяй такой критической функции ф(х, А), которая при- пи .ает лишь апачспия О и 1. Используя лемму Неймапа— Пирсона в форме, удобной для критических функций, полу- чаем следующее следствие.
Следствие 5.5.1. Из всех рандомизированных кри- териев, построенных по наблюдениям х,...., хьг над совокупнослгью глг(р, Х). основанных на статистиках х и А и являющихся инвариантными относительно пре- образований х' = Сх, А' = САС' (С вЂ” невырожденная 'матрица), критерий Т' является равномерно наиболее мощным, Теорема 5.5.2. Среди всех критериев для проверки гипотезы р =О по выборке хп ....
х, из совокупности, распределенной Глг(р, Х), которые являются инвариант- ными относительно преобразований х„*= Сх„(С вЂ” не- вырожденная матрица), критерий Тг является равно- мерно наиболее мощным. Таким образом, критерий Тг лвляетсл самым мощным, по крайней мере, среди всех других инвариантных критериев. Йоказательство. Пусть ф(хп ..., хм) — критиче- ская функция ипвзриаптпого критсрия. Тогда М(ф(хо ..., х )) =М,- л (М(ф(хп ..., х„)(х, А1( (2) Так кзк х и А являются достаточными статистиками для р и Х, то М[., '(хо ..., хн)(х, А! ззвисит только от х, А.
Эго матсматпческос ожидание является ипвариаптом и имеет такую жс лшщпость, как и ф(хо ..., хн). Такилл образом, каждый критерий из этого большего класса критериев можно аамспить равиомощпым критерием из мспьшсго класса (в который входят критерии, зависящис только от .к и А). Следствие 5.5.1 завершает доказатсльство. Те орсма 5.5.3. Из всех критериев для проверки гипотезы 1л = О, постРоенных по наблюденипм хп ..., х, над совокупностью )ч'(р, Х) и основанных на х и А = ~. (х„— х)(х„— х)' с мощностью, зависящей только от Ир Х «л, критерий Тг является равномерно наи- более мощным.
Локазател ьство. Мы хотим свести эту теорему к тео- реме 5.5.1, доказав тождество класса критериев с мощцо- ь 5! пекотОРЫГ сио1чстяА гькиитеиии (55 стью, зависящей от гчр д' (ь, классу иивариаитиых критериев. Для этого иаи потребуется следующее определение.
Определение 5.5.2. Критерий ф(хи ..., хч) называетсл почти инвариантным, если ф(.ки ..., х,) =ф(Схи ..., Сх ) (з) длн всех хи ..., хн, за исключением множеслгва хи ..., хн. мера Лебега которого равна нулю; зто исключае.иое из рассмотрения л~ножество может зависеть от С. Ясно, что теоремы 5.5.! и 5.5.2 останутся справедливыии, если мы распространим оиределсиие иивариаитиого критерия иа тот случай, когда (3) справедливо везде, кроме фиксированного множества хи ..., Хн меры нуль (множества, ие зависящего от С).
Хаптом и Стейиом (см, Л е м а и и (!) ) показано, что в этом случае почти иивариаитиость влечет иивариаитпость (в широком смысле). Теперь мы хотим доказать, что если критерий ф(х, А) имеет мощность, зависая!ую только от Ир Х р, то ои явлчется почти иивариаитиым. Поскольку мощность критерия ф(х, А) зависит только от 5(р Х 'р„то мощность есть М!, дф(х, А) ьи Мс газ с-1хс-1 ф (х, А) = = М тф(Сх, САС'). (4) Второй и третий члены (4) являются просто одиим и теи ьке интегралом. записанным разными способами.
Таким образом, М„~(ф(х, А) — ф(Сх, САС')! =О (5) тождественно по р и Х. Так как х и А представляют полное миожесгво достаточных статистик для р, и Х. то почти всюду г'(х, А) = ф(х, А) — ф(Сх, САС') = О. Чтобы доказать это утверждение, рассмотрим следующее соотношение; — (и- р — и ! 1У ~л~' ° е ~--,(ей 'л н(л-в)'й '(- и))! ~й(а Хйхс(А~О, (5) гл. з ОБОБшеннАя т~.стА гистикА 164 где г(х = )) с1х1, г(А = П г(аг) 1 К-' 2г «иТ«'« "+а «ДГ~1 (Аг 1)~й) 7« Равенство (6) является тождествои отпоситсльио р и з,. Левая часть (6] нрслставляет интеграл от фуш<ции у(х, А), умноженной иа плотность расцрслеления всроятностсй х и плотность распределении вероятностей А (плотность расцределения Уишарта, см.
6 7.2] Замсиии в (6) Х ' иа г' — 20, где 0 = 0', и р па (1 — 20) ' Д Тогда получим 1 1 К / ... /,у(х. А)!у — 20!з "!А; '" ' " Х Х екр ~ — — (зр(У вЂ” 20) (А + Мхх') — 2№'х + + Иг'(! — 20) ' Ф! ~ с1х а'А = — О. 18) 1 --,ч г( -1 Умножая (8) на )у — 20! а екр~ — Фз«(г' — 20) г), полу- (2 чаем 1 К / ... / ~ (х, (А+ Мхх') — Мхх'! ! А !' Х 1 Х схр ~ — —, зр (А+ Фхх')+ -+ зр 0 (А+ Ихх') + МФ'х) г(х г(А О. (9) Это является преобразованием Лапласа функции 'у' (х, (А+гчхх') — 1чхх'! К ) А!' ехр ~ — зр (А+)чхх )~ относительно церсмениык Мх и А+ Ихх'. Так как оно равно нулю, то у(х, А)=О (1О) всюду, аа исключением ли1О1кества меры пуль.
Таким образом, теорема 6,5.3 доказана. 6.6! многомеРнАЯ пРОБлемА ББРенсА — Фин!еРА 155 5.6. Многомерная проблема Беренса — Фишера Теперь мы рассмотрим многомерный апзлог решения 1)! сффс 121 многомерной нроблечы Беренса — Фишера. Пусть 1х11!) (а= 1, ..., АГ1; 1=1, 2) — выборки из совокупностей АГ(р111, Е!)(1=1, 2). Мы желаем проверить гинотезу р1И =р!21. Среднее значение х"1 первой выборки нормально распределено с матсматичсским ожиланисм Мхи) — р! 1! и ковариацион~ой метрикой М (х!'! — р!'1) (х1'1 — ри1)' = — Е . М~ (2) Аналогично. среднее значение х"! в!арой выборки иораеально распределено с математичсским ожиданием Мх!'1 = р12! и ковариационной матрицсй М ( 21 О1) (~!2! 12!) АГ 2' (4) Таким образом, хи! — хчт! ИМЕЕТ СреЛнее значениЕ р!'! — р(21 и ковариационную матрицу (!/АГ1) Е, +-(1/Агз) Е2.
Олнако вдесь мы не можем использовать метод, изложенный в $5.2, Как иа теоремы 5.5.! слслует теорема 5.5.2, так же и из теоремы 5.5.3 следует теорема 5.5.4. Теорема 5.5.4. Оз всех критериев для проверки гипотезы р = О, построенных по наблюдениям хн ..., х, над совокупностью Аг(р, Е) с мощностью, зависящей только от А(р Е р, критерий Тз является равномерно наиболее мощньгм. Теорема 5.5.
4 впервые доказана С и м а и к а [11, Результаты и локазательства, нривсленпыс в этом параграфс, слсдуют из работы Леманна (мимсографичсская запись). Х с у !101 получил оптимальное свойство критерия Т', касаюшссся усреднения мошности но р н Е. ОБОБЩЕННАЯ Га-СТАТИСТИКА <гл. 3 так как <т, жа ~ч'„', (х~<> — х<<>)(х<н — х<<>)'+ ~ (х<г> — х<г>)(х~~> — х<г>)' (5) а ! а=! уже не имеет распределения Уишарта с ковариационной матрицей ДМ!) Х<+ (1(Мг) Хг. Если М, = М, = М, то, очевидно, можно использовать критериИ Тг. Пусть у =х<'> — х<'> (нумерация наблюдениИ в обеих выборках считается независимой от самих наблюдений). Тогда уа будет распределен нормально с математическим ожиданием 1ь" > — р'г' и ковариационной матрнцей Х, +Х,н нс будет зависеть от уз(3+а).
Пустьу= ~~'.~ у<Я= аа! = х<'> — х<'>. Определим 8 соотношением (М вЂ” 1) 8.= Х (уа — у) (у„— у)' = а=! = ~ч'"„(х<<> — х<г> — х<'> + х<г>) (х<<> — х<г> — х<'> + х<г>)', <6) а Тогда для проверки гипотезы р" > — )а<г> = <) удобно использовать статис>нку т =Муз-'„, (<) которая имеет Тг-распределение с М вЂ” 1 степенями свободы. Следует иметь в виду, что сслн известно Х, = Хг, то предпочтительней использовать Тг-статистику с 2М вЂ” 2 степенями свободы. Таким образом, нри построении критерия, не зависящего от двух ковариационных матриц, мы теряем М вЂ” 1 степеней свободы. Теперь обратимся к случаю, когда М, + Мг.
Пусть для удобства М, < Мг. Положим А', <ча а> 1 Та! о=1,..., Мн Математическое ожидание у. равно ГЛ~, г, Л~ < М, МУ (А<<> ~< )А<г> . — „=. Р<ю а 1аю> )а<<>,<г> 19) б б1 ЙноГОМБРЯАЯ НРОБлемл БГРГнсл - Фи!ПеРА 167 Ковариациоииая матраца величин уа и уа равна Таким образом, удобной статистикой для проверки гипотезы р!!! — р!!!=0 является статистика, имеющая Тг-распределе- ние с гм' — 1 стеиеними свободы: 2 -- Д1гу'У 'у, (11) где М, у=- — ~ у.= — х!'! — х!'! М! а'а! а .! (12) и М, (М, — 1)З="'(у.— уиу.— у)'= ! М, Г М, ,г:~ а ! а=! М! аа! М(у, — Муа)(у,— Му,)'= — й! 1(х!г! р!н) — а/ — ' (х!г! — р!г!) + М, № )', а „„,! .! т,.а аа!) х УММ ! Ю, б т=! [ж-- "1-к'-'! -- "!' М, № иа + — = — — Ъ. (хгг! — р!г!)' — —,~ (Х!г! — р!г!)' т=! т:1 АГ! = й„бу,! + ~1! й„,~г+ г Г 1 2 / М,, М, Дб~ Мат +Х вЂ” 2 — + р' -г Мг Мг ~ Мг а1!А!г УМ!)МгМг ~~И ~ =Ь„,,(Х,+Ма Х,).
(1О) овонщеннля у~-стлтнстнкл (гл а В терминах и„=х!г! — ~/И,(Ц:6~! (а =!... „)ч!) это послсднее равенство может быть псреписано так: (14) где Эта метолика была предложена Ш е ф ф е (1] для олномерного случая. Шеффе показал. что в олпомерпом случае эта метолика лает кратчаИшис доверитсльпыс интервзлы, какие только можно получить с помощью Г-распределения. Преимущество этого метола состоит в том.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
