Андерсон Т. - Введение в многомерный статистический анализ (1185341), страница 26
Текст из файла (страница 26)
что используется статистика л!!! — лЧт>, которая большс, чем какая-либо другая статистика, полходит для (ь!Н вЂ” (ь!т!. Ошибки наблюдений оказываются пе столь важными при опенке ковариапиопной матрицы. Беннет (1) распространил эту методику на многомерный случай. Этот метод рассуждения может быть использован в более общих случаях. Пусть (х!п~ (а= 1, ..., Мс 1=1, ..., д)— выборки соответственно из совокупностеИ М((ь!г!, Х!) ((=в 1, ..., (!). Рассмотрим вопрос о проверке гипотезы 1т'! (15) где Д!, ..., р — дайные скалярные величины, а 1! — данныИ вектор.
Пусть числа М! пе равны межлу собой. Предположим, что М! ссть наименьшее из них. Пусть 66! МНОГОМЕРНАЯ ПРОБЛЕМА БЕРЕНСА — ФИШЕРА !69 Тогда !»+ ен АГ! р(» )Е ф )61!! + ! ф!!)юи ! !ч! ,еы $' д, ~ ' Ум,ю ! 3 ~' Р,р!!1, (1У) 1=1 ( ' Р'Аг М(у,— Му.)(у,— Му,)'=б„~~ ~ ~ (19) !а1 Пусть у и Я определены соотношениями М, ! У д~ а«а Уа «~ й!х ! а=! ! ! (19) где х(о = (1!'М!) Х х)о, 6-1 А', (дг — 1)8= 1(у,— у)(у,— у) ° а=1 (20) Тогда !ч= А! (У вЂ” р)'О (у — Р) (21) и, = ~~) !т! ~/ †' х1„'1, а = 1, ..., !!г1, (22) 1=1 то 8 можно определить как м (дГ! — 1)8= Х (а. — а)(и.— а)'. а=! Другая задача, относяшаяся к рассматриваемому виду вадач, заключается в проверке гипотезы о том, «то дав является удобной статистикой для проверки гипотезы О; если гипотеза верна, то зта статистика имеет Т1-распределение размерности р с И! — 1 степенями свободы.
Если обозначить (гл з ОБОББ(г(11(Ая Р.ОТАтнстнкл Гуо подвектора имеют одинаковые математические ожидания. Пусть [24) распределен нормально со средним значением [25) и коварнационной мзтрнцей [26) Предпотожим, что каждый из нодвскторов х('1 и х(21 имеет 17 компонент. Тогда х('1 — х(2 распределен нормально со средним значением р(11 — р"1 и коваризционной матрицей ]([ [[К(1) —.р(11) — [Х(2( — р(2 )] [[Х(1) — р(11) — [К(21 — р(21)]'— = — Մ— Х21 — Х( + 2~22. 127) Чтобы проверить гипотезу р('(=р(2', используем 1"-статистику )Ч [х(н — х(21) [он 521 812+ 522) [х(11 х(21) где выборочные вектор среднего значения и ковариационная матрица разбиты аналогично р и л. ЛИТБРЛТУРД 5.1.
Х о т с л л и и г [1]. 52. Р. Бозе и С. Рой [![, [2]; В альд и Вольфов и ц [![; К с н л а л л [4[, стр. 335 — 338; Р а ш [2]; С. Р о й [2[; У и л к с [1О[, стр. 234 — 238; Ф и ш с р [5], [6], [7]; Х о т е л л и н г [1[. 653. Гаррст [1]; Колрсн и Блисс [1]; К. Р. Рао[3[, [7]; Фишер [5]; Хотеллииг [1]; Хсу [1[, 6 526 П. Бозе [3]; Р. Бозе и С.
Рой [1]; Ле мер [1]; С. Р о и [2[; Т э н г [1]; Ф е р р и с. Г р у б б с и У и в с р [1[; Х с у [1[. 6 э5. Леман, На и ли [1]; С нма и к а [!]; Хс у [10[; 5 6. Б а р а и к и н [1[; Б е и н с т [1[; Г. Джеймс [2[; Ш с ф- фе 2[. Ко всей главе 5. Б хат та ч ар ь я и Нара и ян [!]; П. Бозе; [2]; В а л ь л [1]; Л ю р а н д [1]; К. Р. Р а о [8]. ЗА!1Д»И ЗАДАЧИ 171 1. (в 5.3) Использовать ланные Ь 3.2 для проверки гипотезы о том, что никакой наркотик нс оказывает усыпляющего действия, при уровне значимосюг 0,01. 2.
(б 5.3) Используя данные й 3.2, построить доверительные области лля и с коэффициентом доверия 0,95. 3. (б 5б) Используя ланпые зздачи !7 главы 4, проверить ги- потезу о там, чта средняя длина и ншрнна головы первых сыновей равны соответствующим размераы головы вторых сыновей, при уровне значимости 0,0!. 4. ($5.2) Пусть векторы х„распределены АГ(в+ 5(з, — л), Х), к = 1, ..., А/, где з = (1/АГ) ~и~~ля, Пусть, далее, Ь =- [)/~~~~ (л, — л)т[ ~~~Р х„(г„— а), (Аг — 2) Х = ~~~~~ [х, — х — Ь (л„ вЂ” л)[[х„ — х — Ь (а, — л)[' и Т =-Х(л,— л)тЬИ-'Ь.
Показать, что Т' имеет Т'-распределение с Д/ — 2 степенями сво- боды [Указание. См. залачу б главы 3.[ 5. Пусть х н'Ю получены по Аг наблюлеиням над совокупяо- стью АГ(р, Х); предположим, что х — дополнительное наблюдение нал совокупностью АГ(р„ Х). Покззать, что х — х распрелелен Аг [О, (1 + 1/Дг) Х[. Проверить, что [Аг/(дг+1))(х — х)'Х (х — х) имеет Т'-распре.
деление с Аг — 1 степенями свободы. Как может быть использована зта статистака дая получения упрежденной области для х, полу- ченной по х и Я' (т. е. области, з которую с данным доверием попадает следующее иаблюленне). б. (й 5.3) Доказать утверждение, привеленное в б 5.3.5, что ТЯ-статистика не зависит от выбора С. 7.
Пусть хгп — результаты наблюлений нал совокупностями, распределеннымн Аг(нггг, Хг), я =- 1... Агб г'= 1, 2. Каково будет отношение правдоподобия лля проверки гипотезы Н!» = Пга!? 8. Путем проверки равенства т ть з 2 3 2 з р (' р" /'г)' 1 — р е! с!аз ат а! (1 — р)е 2 3 доказать, что дак Р'=(!ьь Нт) гРХ 'Р больше, чем лла П вЂ”.(Н,). Сравнить мощность ирнтсрня лля проверки гипотезы нг = 0 с мощ.
пастью критерия для проверки гипотезы н, = О, н, —.О. 9. (а) ИСПОЛЬЗуя даНИЫЕ й 5.3.3, ПрОВЕрИтЬ Гинатсву еГН = рГ!ГГ. (б) ПРОВЕРитЬ ГИПОТЕЗУ иг» = Игт', НГзп = Н'тй (гл. з 172 ОБОББ!ЕННАЯ Ю.СТАТИСТИКА 10. Пусть доказать, что р Е р~рн! Х!!~р! !. Найти условня, прн которых зто неравенство обращается в строгое неравенство. (У каза н не. Эта задача является векторным аналогом залачи 8.) 11. (й 5.2) Используя распределение х н свойства Я, доказать, что если спразеллква нулевая гипотеза, то величина Т' аснмптоти- ческн распределена как ут с р степенями свободы. !2.
Пусть Х'Б = (УО1, Х1~! ), ! = 1, 2, гле Ун' н Я!Π— соответ- ственно р н д-мерные векторы, распределен М (рщ, Е), гле !,!О'! р! ! ~~лг Вш/ л По выборке из М; векторов Х!'у, /= 1, 2, найти отношение правло- полобня (илн эквивалентную Т'-рэспрелеленную велнчнну) лля про- верки гипотезы Н!!! р!Ш прн условии, что р1„" = р!з!. ! У к а з а- н н е.
Выразить плотность распределения вероятностей отношения иравлаполобня через частную плотность Г!!! н условную плотность Я! ' прн данном У!!Ч 13. Найти распределение величины, полученной в предшествую- щей залаче, при условии, что справедлива нулевая гипотеза. 14. Применяя рассуждения, аналогичные тем, которые нсполь. ковались прн рассмотреннн (11), показать, что Тт/(М вЂ” 1) = Мх'А 'х = Мх'В !х/П вЂ” Мх'В !х) „ где В = ~„х,х,.
15. (й 5.2.2) Показать, что ТЦ(М вЂ” 1) в задаче !4 можно запи- сать в вилс //э/(! — //я). Соответствующне величины приведены в таблице 4. 16. (б 5.2.2) Пусть /1т ~~~~ и„х,' (~~~~ х,х,') ' ~~Р и„х, 1 — //т ~ и, '— ~' и,х,'(~' х,х„') ' ~Ч~', и„х. где н, ..., и — М чисел, а х, ..., х — независнмые одинаково !' ''' Ф !' ''" А! распрелеленные случайные векторы с законом распределения М(0, Х). Доказать, что распределение величины Вт/(! — Вт) не за- висят от иг ..., и .
[У к а з а и и е. Суп!ествует ортогональная матрица С йорялка (п Х и), которая переволнт вектор (иг ..., и ) !' " !к в вектор, пропорциональный вектору (1/ М, ..., 1/УМ) 1 17. (й 5.2.2) Используя задачи !5 н !б, показать, что (Т'/(М-1)) ((М вЂ” р)/р! имеет Гл,„,~-распределенне (прн условии, здцдчи кто справедлива нулеезя гипотеза). [У к а зз н ие. Это анализ, соотиетствувн(нй геометрическому доказательству Х о т е л линг а [1)[ Таблица 4 т»» !/ 7~» я<я< 15.
(ф 5.2.2) Пусть Т'= )!<х'5' <х, где х и Ю вЂ” среднее значение и козариационная матрица выборки объема Л< нз совокупности Ф(р, Х). Показать, что распределение ут не изменится, если <» заменить нз д' =(т, О, ..., О), тле тт-.— р Х 'р, и .'. заменить на й 19. (ф 52.2) Пусть и = [Тт/(!ч' — 1)Ц1+ Т'/(Л< — 1)[.
Показать, ято и=тУ'(УУ') 'Ут', тле у = (1/)т М, ..., 1/)< <!<) н ч, 20. (б 5.22) Пусть ч<ч< ч< = ч< — —, Ч< — — ч; ч<ч ч =ч<, ч у» »в Т вЂ” ч<, ч,ч,' ч В = ~~Рх,х.' Т» »ч' — 1 а<« —— т' я„я„ <г< Атт = ~ «<я<я<я< а„~ л„ Р' ! р — 1 ОЕОБШИИИАИ тч-СТАТИСТИИА (гл. $ 174 з(оказать, что (! = з + (1 — з) те, где (Тч ) (Тч!) а *ч ч ч 1 ! чч 1 те — Т* Тчуч Ф ° ч' ° ч! ! 'Фтчт ... чтч * ч, [Указание. Пусть 1 0 ... 0 — — 1 ...О ч ч — — 0...1 Ч1ч! тогда ЕУ= У'.) 21. (З 0.2.2) 1(оказать, что ы распрслелси как квалрат множе. ствеиного коэффициента корреляции между олним нсцентрироваииым вектором н р — 1 нецситрированнымн вектора!Са и (М вЂ” !)- мерном пространстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
