Андерсон Т. - Введение в многомерный статистический анализ (1185341), страница 21
Текст из файла (страница 21)
(н) Найтй множественный коэффициент корреляции между Л, н мнои1естяом Ла Х4 и Ла, 137 злдлни (г) Проверить при 1%-нем уровне значимости гипотезу о том, что скорость произполства вычислений нс зависит от трех величин, представляющих собой память на слова, память на осмысленные символы и память на бессмысленпыс символы. 19. ($4.2) Доказать, что н лвумерном случае гм является единственной функцией лостаточных статистик х и т", иннариантной относительно изменения расположения и масштаба (т. е.
относительно преобразований хг„ сглы + И,:, г' †.- 1, 2, с, > 0). 20. (б 4.4) х(оказать утвержление, приведенное в конце б 4.4.2, о том, что )т является единственной функцией достаточных статистик х и 2, инвариантной относительно изменения расположения и масштаба величины лы и ненырожденных линейных преобразований вектора л~„' (т. е. относительно преобразований г1 21. Доказать, что если Пт „~ л — — О, то У Л7 — 2 — (р — ЮгО,„, „,Ф'1 — гтП ч имеет т-распределение с И вЂ” 2 — (р — д) степенями свободы. 22.
Пусть вектор Х =(Хь Хи Хт') распределен Лг(р. б), Условным РаспРелелением Х, пРи Х, = лт и Х'' = лтт' бУлет 12) Л1~пг+ 1т(лт — Рз) + У (л~ ~ — 1~ ~), еы т Д где Оценки величин уз и У опРелелкютса из УсловиЯ (".', ')( )-(,",) показать, что ст.=а„з „(лат з р.!Указание.
Вьгрвйца ° ж, через с, и а.) 23. В обозначениях задачи 22 доказать, что гт аы — — ап — пр1Атт и „вЂ” с (а — и< А а ) г 2 =лц з,...,л сзлттз,." л (У к а з а и и е. Использовать соотношение ац.т „-- (с с') 133 выпорочцып коэеэицнвыты коопгляыин 1гль а 24. 1(оказать, что 1(ат з равно элементу матрицы стоящему в верхнем пеном углу.
23. Используя результаты задач 21, 22, 23 и 24, доказать, что кри1ерий лля проверки гипотезы р з -- О экяинэлентен обыч1т,...,р помУ т-кйнтеРию ПРи 7т — — О. 26, ($4.2.2) Доказать, что при йт= 2 и р= О 1 Р [г=1) =Р(г= — 1) = —. 27. )(опустим. что вектор Х' = (У' Е'), где У вЂ” р-мерный, а Я вЂ” 4-мерный векторы, распределен )т'(1Ь Х), где Пусть произведено М наблюдений пад Х и Ф вЂ” М дополнительнык наблюдений над У.
Найти оценки наибольшего правдоподобия лля н и Х, [У к а з а н н е. Выразить функцию правдоподобия через частную плотность распределения нероятностей У и условную плотность распретеления вероятностей Я при фиксированном У.[ 28. Предположим, что Х распределен дг(О, 2), тле р 1 р Показать, что по результатам одного наблюдения х'=(хь х, хт) можно получить доверительный интервал лля э (с коэффициентом доверия 1 — э), используя в качестве конечных точек интервала корпи т уранпення (хт мк К,) т — 2 (х1ха + хтхз) т + хт1 + ха + хтэ — К, = О, где К, — точка значимости, соотиетствуюшая 7'-распределению с тремя степенями свободы лля уровня значимости т. 29.
($4.2) Пусть Л (г, р) — плотность распределения вероятЛ1 костей выборочного коэффициента корреляции г для данных значевий р и )т'. 1)оказать, что отношение правдоподобия для г янляетси монотонной функцией г, т. е. показать, что если р, > ри то д,(г, р1)/А (г, р ) монотонно возрастает с ростом г.
[Указание. Используя (36), йоказать, что если ОР г1 1 1 1 т ж Р~-;, —,; и+ —,;, (1+ ргу, = у с(1+рг) =Х(гр) -е зчдлчи имеет монотонное отношение правдополобия, то этим свойством обладает и Л (г, р). Показать, что с,сз [(а — 3)э гр+(э+ й)] (1+гр)"' т т дэ а,з=я — 1и п(г, р)— др дг 2 ~ с, (1 + гр)" если (дф/дрдг) К(г, ф) > О, то К(г, р) имеет монотонное отношение правлоподобия. Показать, что стоящая в числителе лвойпая сумма является положительной, поскольку при кажлом э сумма по,т по- 1 ложнтельиа; использовать тот факт, ыо с„,, < —, с„.~ 30. (й 42) Показать, что из всех критериев лля проверки гипотезы р = р, при конкурирующей гипотезе р = р, (> рэ), основанных па выборочном коэффициенте корреляции г, критерий, отвергающий гипотезу при г > с, является наилучшим.
[Указание. Это является следствием задачи 29.] 31. (б 4 2? Показать, что из всех критериеи для проверки гипотезы р = р, при конкурирующей гипотезе р > рф, основанных на выборочном коэффициенте корреляции г, критерий, отвергающий гипотезу при г > с, является равномерно наиболее мощным. 32. (й 4.2) Доказать, что отношение правдоподобия длн г при г>0, р>0 монотонно, доказав, что отношение Ь(г) Л (г, р )/л„(г, р ) монотонно возрастает при р, > р,.
Л (г) может быть записано в внле ~ ~-/т,; '~//Э .я').п„„„,,ч„„,фф,„„и„ф, ~ 'ьф-о фг ффф=е в числителе производной д'(г) является положительным. 33. (й 4.4) Доказать, что при услопии Еф„=вы (э 1,..., л) отношение Яф/(1 — /рт) распределено как Т'/(к/ — 1), где Т~= дфх Я ~х построено по /ф/'=- и наблюдениям над р* = (р — 1)-мерным вектором К со срелннн значением (с/ац) а, [псз = ~~лы) и коваРиациопной матРицей эг? ф — — Хээ — (1/аы) ер с ьг [У к а з а н и е. Яфэ? пРи Кы = х,„РаспРеделеи /ф/[(1/фп) е1„хы, Хю»[. СУществУет ортогональная матрица В порядка л)фн,которая переводит(г»,...,лцэ) в (с, ..., г) и (Кг» ..., Лгл) в (Уть ..., ?;„), /=2, ..., р.
Пусть новые векторы К„' будут (У,„, ..., Урф),[ 34. (й 4.4) Доказать, что параметр иецептрального распределения, рассмотренного в задаче 33, равен (а»/ф») /тэ/(! — /тф). ЗБ. (й 4.4) Найти распределение отношения /тф/(1 — Ят), умножив плотность распределения вероятностей, рассмотренную в задаче 33, на плотность распределения вероятностей а» и проинтегрировав по а». Зб. (й 4.2) /!оказать, что если матрица Х является диагональной, то множества г,/ и ап независимы. [У каза и не.
Использовать тот факт, что гф ипвариантен относительно преобразованин 140 выпОРО'!ные коэФФипиГнты корреляции 1Гл. в масщтаба н что плотность распределения всроятностай наблюдсний зависит только от ан.) 37. (б 4.2.1) Доказать, что если р =О, то Г~ — (й! — 1)~ Г (еи+-) Мг™ )г я Г ~ —, ()У вЂ” 1) + ле~ 38, ($4.2.2) Доказать, что )1(в) и у;(р) являются монотонно возрастающими функциямн р '). 39. (б 4,2.2) Доказать, что плотность распрсдсления вероятностей выборочного коэффициснта корреляции г (данная формулой (34)), равна 1 1 и — 1 з л т 1л-3! «л-1а« (1 в) (! гт) я (1 — ргх)л )Г1 — хв о (у казвина. Разложить (1 — ргл) л в стеяснной ряд, цроинтвгрировать и использовать формулу удвоения для гамма-функции.) ') См.
стр, 100. (!1рилс перев.) ГЛАВА 5 ОВОВ(ценнАя т'-стАтистикА б.1. Введение Одна из наиболее ва>кнь>х групп задач одномерной статистики связана с вопросами, касающичися оценки математического ожилания некоторого распределения, дисперсия которого неизвестна.
Бь>вают случаи, когда по выборке хотят решить, равно ли математическое ожидание некоторому наперед заданному числу, или же указать интервал, в котором находится математическое ожидание. В одномерных случаях обычно используется статистика, являющаяся частным от деления разности между выборочным средним значением х и гипотетическим математическим ожиданием генеральной совокупности на среднее квадратичное уклонение а. Если выборка проиаведена из совокупности Аг(р, ет), то величина 1= У'И вЂ” ' (1) имеет хорошо известное С-распределение с М вЂ” 1 степенями свободы, гле А> — объеа> выборки.
Основываясь на этом, можно построить критерий лля проверки гипотезы р= — р, где ре — заланное число, или построить доверительный интервал для неизвестного параметра р. Многомерным аналогом квадрата величины 1, определенной формулой (1), является величина та = И (х — р,) 8 ' (х — 1ь), (2) где х — вектор среднего значения и $ — ковариационная матрица выборки обьема И. В этой главе будет показано, как можно использовать эту статистику лля проверки гипотез о векторе среднего значения генеральной совокупности р ОЗОЗШИННАЯ ГхСТАТИСТИКА (гл 5 6.2. Обобщенная Т'-статистика и ее распределение 6.2.1.
Те-статистика как функция отношения правдоподобия. Несмотря на то, что Та-статистнка имеет много применений, мы начнем ее изучение с локазательства именно того, что критерии отношения правдоподобия для проверки гипотезы Н: р — ре по выборке из совокупности !ч'(р, Х) основан на Тх-статистике, определенной формулой (2) $ 5.!. Предположим, что чы произвели Н наблюдений х, ..., х ! (!ч' > р). Функция правдоподобия равна -! — — и (х,— 1!) Х (х.— р) х ! ! !2-!!г !. (р, Х ) = —, ехр р!ч (2в)'г Ргзультаты наблюдений нам даны; ь является функцией неизвестных р, Х .
(Мы не будем лелать различия в обозначении неизвестных и параметров.) Отношение правдополобия равно и!ахи(пь Х ') д — ! Л— (2) и!ах Л(Ш Х ') д-! Числитель равен максимуму функции прапдоподобия для р, Х в пространстве параметров, ограничгнном нулевой гипотезой (р = ре, Х вЂ” положительно определенная матрица), а знаменатель — максимуму функции правдоподобия для (ь -! ! и Х во всем пространстве параметров (Х вЂ” положительно определенная матрица). Если параметры выбирать произвольно, то максимум х'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
