Андерсон Т. - Введение в многомерный статистический анализ (1185341), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Поэтому а)А22 а!1))аи.г Распределена как ~' (()„/))'яи.г), где 1)())„/1) яи.г) =1 и ~, ° ~'=- — ГГ (ГГ )' = — = — '* —. (28) г l МУ )2 1 1 1 ГНГ' 4Аггй' ~)дч ) а г 112 гн2 г)2 (л) множестйгииыя козФФииигит кОРРеляиии 131 -1 Таким образом (нрн указанных вьиие условиях), а,нАгг а(()((ои.г имеет нецеитральное уг-расиределенне с р — 1 степенями свободы и параметром (2Аггр'/ви.г (см. теорему 5.4.1). !)(ы приходим, таким образом, к слсдуюиией теореме. Те о ре м а 4.4.3. Пусть гс' — выбо))ичный л(нолсественныа' коэффициент корреляции .Кеамду Х) и Х (2)' =(Хг, ..., ХР) выборки, построеннол по И набгюденая.и (хи, х(гг), ..., (х)н, лчь)) Условное уаспределение вели- чинь( [)(Гг((! — )(2)[ [(И вЂ” р)((р — 1)[ при фиксированном х(2) есть нецентральиое Г-распредегение с р — ! и И вЂ” р с)пепенлл(и свободы и паРаметРом ()А2,3'(ои,г.
Условная плотность раснрелелеиня вероятностей величины 1ь = [)сг/(1 — )сг)[ [(И вЂ” р'1(р — 1)[ (ем. теорему 3.4.2) равна -'-йл В'!. г 22 иг — — ( — — — Х ,(1 (И вЂ” Р) Р( — (И вЂ” Р) [ (2 1 Х !2 (3О) 1 "Г (() — 1)У 2(~ ') а! 1' ~ -, ( и — 1)+и [1+-- ; 2 (, М вЂ” и В'= рсг Условная плотность распределения гсличииы [бу = [(И вЂ” ру(р — 1)[(1 — ы) бто) равна 1 йлггй (' е 1 (1 ю)2 ю гв Х 1'(-, (М вЂ” о)( [2 (31) ..
1'~ —,(и — 1)+,, ,,Г1 [ а Для того чтобы получить безусловную иаотиость распределения вероятностей, нужно сначала умножить (31) иа плот- (2) (2), ность раси реде пения ве р оятн остей л ) ), ..., Я~„ ~; тем самым м ы и олу ч и и с овмес тиую ил отиость (р и ,с ) . .. я„ ; затем, 132 ВыБОРОчные коэФФииигнты кОРРГЛЯ1!ии 1гл 1 Так как вектор Я„распрелелеи 12'(О, 222), то ~и~ 1('у~ам,2 (2) а!2!/ Г распрелелеп нормально с пулевым математическим ожнлаинем и дисперсией рг121 '1' Мрг!21г!21'р' М 1/а, ) а, — РХаай — ВХаав 1' и* .
(ЗЗ) ао — рХаар' 1 — р21арТ211 1 — йа Таким образом, (РА22Р%11.2)/()22/(1 — 122)1 имеет у2-раслрелелеине с и степе иячн своболы. Пусть Я2 (1 — Я2) = !р, Тогла рА ф'/а!12 — — <р)(2. Получаем и а" (Ра") = ! 1 ! (' --и — и-1 --и даЕ 2 1 и' е ! 1 2 иа" ' 2!'+2»' 1 иа е 2 а'и о 2 Г( — и) 1 ! — и+и-1 — — и о2 е 2 а!о= Г( — и+а) '8) ! а+а (1+я)' ИНтЕГрнруя ПО ИЕрЕМЕНПЫМ г1...,, Еи, ПОЛУЧИМ Чаетн)Ю плотность распрелелепия вероятностей величины 11т.
Имеем 44! мпожвстввппыи коэееипияпт яопввля4!ии 133 Примеияя этот результат к (31), получаем в качестве плотности распределения вероятностей величины Й2 ! ! ! —, 4я- и+в- ! -гл-р-4! — 44 о~ (422)е()22) Г21 и+44) Г~ — (и — р+ 1)) Г( — л) „.Е 44(Г [ — (р — 1) + я) (35) — 4Р-З! -'(а-р-!1 (йа) 2 (1 йт) 2 Х 'Й"- +'И-' -'1 г1 1 1 -т Х~~йп 2п —,(Р— !); й'Я'~. (38) где Р— конфлуэитиая гипергеометрическая функиия. При четном и — р+! можно получить другую фЭ!амул34 для этой плотности. Имеем 12! 1 а '.-1» Г Ь +э) 0 ~ (и )+44~ д -! -Л+п ' .у! ( д !" Р' 4! — 4-! ч (1144Г42)е ~ 2 ! ) е-е Г( — л) !'(,~ а) ! -"(т )(4У)' ~' ' 4! — гаь'Й!"~ 444! Это распределение получено Фишером в 1998 гол32.
Легко проверить, что эту плотиость можиф ааписать также в виде 134 выеОРО'!ные коэФФИ!и!Гнты кОРРеляции !Гл. 4 Следовательно, плотность равна ! ! ! — ь — (р-а! — !л- р-ь! 77!) г (А!ь) э (! р!)г Г~ —,(и — р+ Ц~ ! [,д! ) " (' — Ит)'") ' . (38) Т е о р е и а 4.4.4. Плотноспгь распределения вероятностей ттг, квадрата мноо!сественного коэффициента корреляции между Х, и Хт, ..., Х„, полученного по выборке объема А[=а -]-1, дается формулой (35) или (36) ]или (38), если п — р+1 четно), где ттг — квадрат соолтветспгвуюигего множественного коэффициента корреляции генеральноа совокупности. Моменты тс равны ! рт)г" - (гс') '[2 и+, ) М)т'" =- Г~ — (и — р+ Ц] Г( п) =о !'~ — (р — Ц+и~Р' о (!г!) 1 —, и+ Р 1 — (р+л — Ц +и~ (1 — !ть) т~~~ 12 ' 1 ~ 2 (39) ! (- и),, О Р.11 ~т (р — И+ РО Г~ —, (и+ Л)+!ь| ЛИТЕРАТУРА й 42.
Гэйеп [Ц; Гэрвуд[Ц; Лэвид[Ц,[2); Кендалл[3], стр. 324 — 347; Кона [Ц; Крамер ]2); К. Пирсон [4], ~5~; Сато [Ц; Сапер, Япг, Кэйв, Ли и Пирсон [Ц; Унлкс [ 0~, стр. 115 — 120; Ф н ш с р [Ц, [2); Ф и ш с р и И е й т с [Ц; Х отела ипг [9]; Х арли [Ц. $4.3, И с с с р л н с [Ц, [2); К е л л и [Ц; К с п д а л л [3], стр. 363 — 379; Крамер [2]; М ай иер [Ц; Ф и ш ср [3); Х олл [1); Хукер [Ц.
9 4 4. Б а и е р д ж и [Ц; И с с е р л и с [3]; Кендалл [3], стр. 380 — 335; К р а м е р [2]; Мора н [1); С. Н. Рой и Р. Вове Ц; У ил к с [3], [1О], стр. 244 — 245; У и шарт [2),' Фишер 4]; Холл [Ц, Ко пссй главе 4: Б а р т л е т т ]Ц; Е з е к и л ь [Ц; Кенни [2)! Мариц [Ц! Симансон [Ц; Фриш [Ц; Эльфвипг [Ц. злллчи ЗАДАЧИ 135 1. ($4.2.1) Начертить график плотности 'Б -'1 л (г) = (1 — гя) 1(-А — 1) Р' для (а) И=3, (б) А!= 4, (в) 5!= 5 и (г) 5!=10, 2.
(б 4.2.1) Используя данные задачи 1 главы 3, проверить гипотезу о том, что Х, и Хэ независимы при уровне значимости 0,01. Конкурирующая гипотеза состоит в том, что Х, и Х, зависимы. 3. ($4.2,1) Предположим, что коэффициент корреляции 0,65 получен по выборке объема 10. Проверить гипотезу о независимости при уровне значимости 0,05. Конкурирующая гипотеза состоит и том, что величины положительно коррелированы. 4.
(й 4.2.2) Предположим, чго коэффициент корреляции, полученныи по выборке объема Ю, равен 065. Проверить гипотезу о том, что коэффициент корреляции совокупности равен 0,4 при уровне значимости 0,05. Конкурирующая гипотеза состоит в том, что коэффициент корреляции совокупности больше 0,4. 5.(ф 4 2.1) Найти точки значимости лля проверки гипотезы р =- 0 при уровне значимости 0,01, если число наблюдений )т' = 15, а конкурирующая гипотеза состоит в точ, что (а) 7 + О, (б) 7 > 0 и (в) 7<0. 6.
(ф 4.2.2) Найти точки значимости для проверки гипотезы э =0,6 при уровне значимости 0,01, если число наблюлений д! =20, а конкурирующая гипотеза состоит в том, что (а) р ф 0,6, (б) у > 0,6 и (н) Э ( 0,6. 7. (ф 4.2.2) Составить таблицу функции мощности при у = — ! (0,2) 1 лля критериев в задаче 5. Построить графики всех функций мощности. 8. (б 4.2.2) Сощавить таблицу функций мощности при р= — 1(0,2)! для критериев в задаче 6. Построить графики этих функций мощности. 9. (ф 4.2.2) Используя ланные задачи 1 гланы 3, найти двусторонний доверительный интервал для рж с коэффициентом доверия 0,99. 1О.
(ф 4.2.2) Пусть )т' = 10, г = 0,795. Найти олносторонний доверительный интервал для э [и форме (гэ, 1)] с коэффициентом доверия 0,95. !1. (ф 4.2.3) Использовать л-распределение Фишера для проверки гипотезы р = 0,7 нри конкурирующей гипотезе р чь 0,7 и уровне значимости 0,05, если г = 0,5 и У = 50. 12. (ф 4.2.3) Использовать л-распределение Фишера для проверки гйпотезы р, = р, прн конкурирующей гипотезе я, ф э и уровне значиыости 0,01, если г, = 0 5; Аг, = 40; г, = 0,6; Аг †. 40. 13. (ф 4.2.3) Использовать л-раснрелеление Фишера для оценки я по выборочному коэффициенту корреляции — 0,7 (%= 30), а также по выборочному коэффициенту корреаяцни — 0,6 (Аг= 40). 136 ВЫБОРОЧНЫЕ КОЭФФИИИГНТЫ КОРРРЛЯ!1ИИ (ГЛ 4 14.
(ф 4.23) Использовать х-распределение Фишера для нахождения доверительного интервала для р с коэффициентом доперия 0,95 по выборочному коэффициенту корреляции 0,65 при объеме выборки )т'= 25. 15. (6 4.3.2) Найти доверительный интервал для рю 2 с коэффициентом доперия 0,95, если г,з,т— - 0097 и 5(= 20, 16. (ф 4.3.2) Использовать х-распределение Фишера для проверки гипотезы Рю, — — 0 при коикурируюгцей гипотезе р,т з44= О с уровнем значимости 0,01, если г12 „— — 0,14 и Л(= 40.
!7. Оценками р и Х в задаче 1 глапы 3 являются величины х' = (185,72 151,12 183,84 !49,24), 95,2933 52,8683! :69,6617 46,1117 52,8683 54,3600 ', 51,31 17 35,0533 69,66!7 51,3117 ! 100,8067 56,5400 46, ! 117 35,0533 ~ !56,5400 45,0233 (а) Найти оценни параметров услопного распределения (х,, х4) прн данных (х, х2)' т. е, найти 321311 и 322 1 = 3Л 321311 А2 (б) Найти частный коэффициент корреляции гз4О2. (в) Использопать а-распределение Фишера для нахождения доверительного интервала для рз4 12 с коэффициентом доверия 0,95.
(г) Найти выборочный множес!пенный коэффициент корреляции между х, и (х„х,), а также между х. и (хь х,) (д) Проверить гипотезы о том, ч1о х, не зависит от (хь х ) н х„пе зависит от (хь х,) при уровне значямостн 0,05. 18. Пуст» компоненты вектора Х соответствуют скорости производства вычислений (Х,), способности производить вычислении (Х,), памяти па слова (Х,), памяти па осмысленные символы (Х ) и памяти на бессмысленные символы (Хз).
Коэффициенты корреляции, полученные по 140 наблюденннм (К е л ли [2!), равны 1,0000 0,4248 0,0420 0,0215 0,0573 0,4248 1,0000 0,1487 0,2489 0,2843 0,0420 О,! 487 1,0000 0,6693 0,4662 0.0215 0,2489 0,6693 1,0000 0,6915 0,0573 0,2843 0,4662 0,6915 1,0000 (а) Найти частный коэффициент корреляции между Х, и Хт, считая Л', фиксированной. (б) Найти частный коэф4ннцнент корреляции между Л', ~ Х„ считая Хи Х, и Л', фиксированными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
