Андерсон Т. - Введение в многомерный статистический анализ (1185341), страница 22
Текст из файла (страница 22)
достигается, когда р и Х опре- и лля получения доверительных областей для неизвестного вектора р. Будут рассмотрены также другие применения этой статистики. Для двух выборок Т' — статистика была предложена Х о те л л инго м 11), который получил ее распределение при условии, что справедлива нулевая гипотеза. 2,2! ОБОБгпгннАя го-стАтистикА и ее РАсп2»еделппог 143 делаются оценками наибольшего правдоподобия для р и Х (см. $3.2) р.я =х, (3) Хя = — ~ (х„— х)(х,— х)'. (4) Более того, по лемме 3.2.2 ! -- рм е 2 , (6) шах (.(12, Х )= Х,п (2х)'! рм — М ! (2 1 шах».(ре, Х ) —.— е (2») 2 рм „вЂ” м ! 13 12 отношение правдоподобия равно ! ~ ~~(х» — х)(х„— х)' ~ ! ~ ~Л~~ ~(Х» Ро) (Л» По) ! М (2 Таким образом ! 2 л 1А, (8) 1А+Ф(х — Ро) (х — Ро)'1' где А =~~'.,(х.— х) (х, — х)' =(Лг — 1) В.
(9) Так как 1В) ~0 и в силу формулы (62) приложения 1 В С~ В С 1 — В С 1В О , ~=~В)~ — ВВ 'С~. (16) Если 12=Рс, то по лемме 3.2.2 фУнкциЯ пРавдоподобнч принимает максимальное значение при 1 ъ~ Е =; ~~(х,— р„)(х„— р,а)', » пл. ъ ОГОБ!нем!!хи г' статистика Применяя этот результат лзажды, получаем гчч 1А ! !А+ !)гФ (» — Ио)! !УИ (» — Иг)!'! ~ А1 1 Усу (» —,)' 1 1 1+ Ф(» — ио) А ' (» — ио) 1+ тг((м 1) (11) Критерий отношения правдоподобия определяется критической областью (областью тех значений Л, прп которых гипотеза отвергается) л <)„, (13) где г выбирается так, чтобы вероятность неравенства (13) при условии, что нулевая гипотеза верна, была равна уровню значимости.
Извлекая нз обеих частей неравенства (13) корень степени М/2, переходя к обратным величинам и умножая полученное неравенство на М вЂ” 1, получаем Т )~Та, (14) где (15) Т е о р е и а 5.2.1, Критерий отношения правдоподобия д,гя проверки гипотезы р=рс по выборке объема М из совокупности М(р., Х) дается формулой (14), где Т' оььределяется соотношением (12), х — среднее значение выборки объема М из совокупности М((ь, Х), $ — виборочная ковариационная матрица; Т„выбирается так, г чтобы вероятность неравенства (14) яри условии, что справедлива нулевая гипотеза, была равна выбранному уровню значимости. ь'-критерий Стьюдента обладает тем свойством, что при проверке гипотезы р =0 он инвзриантсн относительно пробразования масштаба.
Если скалярная случайная величина Х распределена М(р., вг), то Х*= сХ распределена М(с(ъ, сгвг), где 'Р= М(х — р„) $ '(х — р„)=(М вЂ” 1) М(х — р„) А '(х — р,). (12) ая ОвОяпггннАЯ Г-стАтистнкА !! РР РАспРеделгниг 145 т. е. имеет распределение того же класса, что и распределение Х. Гипотеза МХ = О эквивалентна гипотезе МХ' = = МсХ = О, Если взять преобразование подобия х„* = сх результатов наблюдений х,. то при с ) О р булет так же вычисляться через х", как г — через х,.
Текин образом, какую бы единицу измерения мы нн выбирали, статистический результат будет одним и тем жс. Аналогичныт«и свойствами облаласт обобщенный критерий Т'. Если случайный вектор Х распределен Аг(р, Х), то вектор Х«=СХ (при !С!+0) распределен Аг(СО, СЕС'), которое является распределением того 2кс класса, что и распределение вектора Х. Гипотеза МХ = О эквипален2нт гипотезе МХ = МСХ = О. Если х„' = Сх есть преобразога«2 нне подобия результатов наблюдений х„, то Т' вычисляется через х' так жс, как и Тз — через х .
Это слелует из того, что х'= — Сх н А'= САС', и пз следующей леммы. Л ем»а 5.2.1. Для любых невырожденных матриц С и Н порядка (р М р) и любого вектора к ЫН 'уг=(С(г)'(СНС') '(Сй). Л о к а з а т е л ь с т в о. (С(г)'(СНС') (Сй) =-й'С'(С') 'и 'С 'Сй =-(г'Н 'й. (Гу) В ф 5.5 будет показано, что из всех критериев, инвариантных относительно преобразований подобия, критерий (14) является равномерно наиболее мощным.
Дадим геометрическую интерпретацию корня степени А((2 из отношения правдоподобия ~ (х„— х) (х„— х)' (18) ~в (х„— Р.,) (х, — П,)' ! в термипах параллелепипедов (см. Я 7.5). В р-мерной интерпретации числитель Л ' является суммой квадратов обьемов 2«тч всех параллелепипедов, главными ребрами которых являются р-мерные векторы, одним концом каждого из которых являегся точка х, а другим концом — точка х„.
Знаменател, 1гл Б Овоэнгв!и!ля г'стлтистикА 146 является суммой квадратов об'ьемов всех параллелепипсдов, главными ребрамн которых являются р-мерные векторы, выходящие из точки це, концами которых являются точки х„. Пусть сумма квадратов обьемов параллелепипедов, построенных на векторах, выходящих цз точки х — «центра» точек л„, — много меньше суммы квадратов обьемов параллелепипедов, построенных на векторах, выходящих из точки (ьа. Тогда чы отвергаем гипотезу о том, что (ьс является средним значением исследуемого случайного вектора.
Можно дать также интерпретацию в терминах М-мерного пространства. Пусть у! = (хп, ..., хьч) есть 1-й вектор. Тогда ф' Мх! = э =х,„ у'м и ! есть расстояние от начала координат до проекции точки у! на прямую, образующую разные углы с осями координат ( —. '=) 1 1 с направляющими косинусаш! =, ..., = . КоордиугМ ад!/ натами проекции являются (хн ..., х,.).
Тогда вектор (хп — хь ..., хьч--х!) является проекцией у, на плоскость, прохоляшую через начало координат перпендикулярно 'прямой, образующей равные углы с осями координат. Числитель в (18) является квадратом обьема р-мерного параллелепипеда с главными ребрами, являющимися векторами (хп — хо ..., хьч — х,).
Точка (хн — р„,, ..., х!эг — ры) получается перемещением точки у, параллельно прямой, образующей равные углы с осями координат (на расстояние ф'Мрч,). Знаменатель в (18) является квадраточ объема параллелепипеда, главные ребра которого совпадают с вектоРами (хг, — Ра!, ..., хгл! — Ре!). Следовательно, Ленч Равно отношению этих квадратов объемов. 6.2.2. Распределение Т'. В этом параграфе мы найдем распределение величины Т' в общем случае, включая случай, а ' -! когда нулевая гипотеза неверна.
Пусть Т = Г 3 У, где Г « распределен М(ч, Е), а лЗ распределена как ч~~~ ~л.У„, а ! где У,— независимые одинаково распределенныс случайные векторы с законом распределения М(0, Е). Те, определенная в й 8.2.1, является частныи случаем новой величины тэ и здя ововпгяпнля гьстлтистикл н ев плсппядвление 14у получается из нее при 1' = )г И (х — р,„), » = р !» (р — ре) и л=!!г — 1.
Пусть невыроягденпая матрица 0 таковз, что 112:д)'=У, и определим 'г'*=0У, 3' = †.0Я)', »" =-= О». (20) и, =,",дыу, = у'у*'у*, (23) и)=~д„у,'=У)"'~*~д,,ды=о, тгчь1. Поэтому — =иВ и= у'! л Ьп Ь"" ... Ь! бт! Ьаа ... бтл =(и,о... о) бр! бяа бдя и, = и,бп, (24) Тогда (по лемме 5.2.1) Т'= г'*8* 'У*, где У" распределен л П 1»'(»', 1), а пЯ* распределена, как ~ У„Я, = ~~' ОУ„(ОУ„)', я.! гле У, = РЕ, — независимые одинаково распределенные слу- чайные векторы с законом распределения !»'(О, г). Заметим, что» Х !» = »" (Р) !»' = »' »". Выберем в качестве первой строки ортогональной мат- рицы (и порядка (р )г', р) строку с элементами 1 !гп = —,— (! = °" Р).
(21) '~/) жуя Такой выбор возчожеп, поскольку ~ !ут„. = 1. Остальные р — 1 строк можно выбрать методом, указанным в лемме 2 приложения 1. Матрица Я является случайной, так как она зависит от )'*. Теперь положим и=ау', В = Ял8"44'. В силу определения 4) 148 Оиовн(вги!Ая г«.стАтистикл [Гл. а где (Ь )=В '. В силу залач~ 18 главы 2 )! Ф ! Р 1)Ь Ь)! Ь(!)Вгг Ь(!) Ь)!.г, р где В=(,и (25) и Т/п=сг)/Ь)),г, „, р — — У У/Ь)!.г, „р.
Условное распределение В ирн фиксированной [е совпалает с распределе« виси суммы д„У,У',, где при данном [е векторы У,=Ям, «=! являются независимымн н одинаково распределенными с законом распрслеления ("('(О, в'). По теореме 4.3.3 условное распределение величины Ьо.г р совпалает с расоредслением в-(р-!) суммы ~г Ф'„где при данных условиях [У, — независи- «2 мые, одинаково распрелсленные случайные величины с законом распределения М(0, 1); т.
е. Ь)!.г ..., р условно распределен как )(г с и — (р — 1) степенячи свободы. Поскольку условное распределение величины Ьн.г ., р не зависит от Я, то безусловное распределение этой величины совпадает с уг-распределением. Случайная величина У У имеет нецснтральное уг-распределение с р степенями свободы и параметром ч ч = ч Х ч. Поэтому Ут(п распределено как отношение нецентральной величины уг к не зависящей от нее величине уг. Те аре ма 5.2.2. Пусть Т = У $ У, где У распределен !«('(ч, Х), а матрица пЯ не зависит от У и распределена как ~г Я,У„где Х.
независимые, одинаково «! распределенные с,(учайные векторы с законом распределения М(0, Е). Тогда (Т~(п) 1(п — р+ 1)(р) имеет не- центральное Г-распреде(ение с р и и — р+1 степенями свободы и параметром ч Х 'ч. Если ч=0, то распреде,гение яе.(яется цектральным Р-распределением. Такое распределение мы назовем Т'-расвределсннем с и степенями свободы. поименения г -статистики 149 5.31 5.3. Применения Тт-статистики 5.3.1. Проверка гипотезы о том, что вектор математического ожидания равен данному вектору. Вычисление уе. Как показано в 9 5.2.1, критерий отношения правдоподобия для проверки гипотезы р = р„ по выборке обьема М нз совокупности И(р, Х) эквивалентен критерию Если уровень значимости равен а, то берется 100ить-ная точка Р-распределения, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
