Радушкевич Л.В. Курс термодинамики (1185140), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Вывод значительно осложняется при переходе к сложным системам, на чем мы не останавливаемся. $ Б. ИНТЕГРАЛ КЛАУЗИУСА ДЛЯ НЕОБРАТИМЫХ ЦИКЛОВ. ОБЩАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ВТОРОГО НАЧАЛА. МАКСИМАЛЬНАЯ РАБОТА Ранее было отмечено (стр. 72), что обратимый цикл Карно является наиболее выгодным круговым процессом для получения полезной работы. Все другие циклы, обратимые или необратимые вообще, менее выгодны в отношении полезной работы.
Можнолегко доказать,что к.ц.д. р любого обратимого или необратимого цикла при максимальной г Т, и минимальной Тг температурах меньше к. п. д. обратимого цикла Карно при той же разности температур. Рассмотрим сначала произвольный обратимый цикл, изо- Тг браженный на рис. 23, и покажем, что для него к. и. д.
меньше, ч чем к. п. д. некоторого соответ- 88 Глава 3. Второе накала термодинамики Энтроаив и ее свойства ственного обратимого цикла Карно. В случае произвольного цикла для контура этого цикла температура непрерывно меняется от некоторого максимального значения Т, до минимальной ее величины Те. Докажем, что к. п. д. этого обратимого цикла меньше к. п. д. обратимого цикла Карно с температурами Т( и Т,. Для этого опишем цикл Карно вокруг данного цикла так, чтобы температуры нагревателя и холодильника в первом из них были равны максимальной и минимальной температурам, которые встречаются на контуре данного произвольного обратимого цикла, т.
е. равны соответственно Т, и Те. Разделим теперь цикл Карно и вместе с ним данный цикл несколькими.адиабатами на ряд элементарных циклов. Пересечем наш цикл отрезками изотерм, как указано на рисунке. Тогда весь данный цикл будет разбит на ряд циклов Карно с разными температурами, лежащими в интервале от Т, до Ть К. п. д. каждого из этих элементарных циклов равен (о Т(() — Т(() те(о тю Т(() ) 1 Общий цикл Карно также разделен теперь на элементарные циклы, но у всех этих последних к. п. д. один и тот же и равен т)=1 — —. т т, ' Сравнивая поочередно к.
п. д. элементарных циклов на нашем контуре с элементарными циклами, на который разбит основной цикл КаРно, мы видим, что вообще Т))Т((в>Т~п)Те и тт() т, ТЮ Тт ) так как Т, и Тз — максимальная и минимальная температуры. Поэтому (и (, а отсюда следует, что к. п. д. данного произвольного обратимого цикла меньше к. п. д. обратимого цикла Карно, построенного для тех же предельных температур. Таким образом, из обратимых циклов самым выгодным в смысле получения полезной работы является цикл Карно.
Вообще можно сказать, что к. п. д. любого обратимого цикла всегда не больше и в крайнем случае равен к. п. д. соответствующего описанного цикла Карно. Можно сказать, что в цикле Карно теплота во всяком случае используется самым выгодным способом при получении полезной работы. Перейдем теперь от обратимых циклов, которые мы до сих пор рассматривали во всех случаях, к необратимым циклам 6 6. Интеграл Клаузиуеа длл необратимык циклов и прежде всего сравним к.
п. д. обратимого и необратимого циклов Карно. Если при совершении цикла операций налицо имеются необратимые процессы, то вполне очевидно, что это обязательно приведет к уменьшению количества полезной работы, получаемой за цикл. В самом деле, если в машине Карно имеется трение, то часть подводимого к системе тепла пойдет на работу против сил трения, что приведет к уменьшению полезной работы.
Если в системе происходит неуравновешенное расширение вследствие конечного перепада давления, то это приведет к тому, что часть энергии будет затрачена на сообщение кинетической энергии отдельным слоям работающего вещества (например, газа), причем эта энергия в дальнейшем перейдет в теплоту, что приведет к уменьшению полезной работы.
Наконец, при наличии переноса теплоты путем теплопроводности часть теплоты, отнимаемой у нагревателя, будет идти на нагревание частей машины и затем бесполезно рассеиваться. Отсюда ясно, что в необратимой машине Карно всегда будет происходить потеря теплоты и, следовательно, уменьшение получаемой полезной работы. Полезная работа будет совершаться за счет не всей той теплоты, за счет которой она могла бы быть произведена в обратимой машине. Сравнивая к. п. д. необратимой машины Карно 11' с к.
п. д. соответствующей обратимой машины н, мы можем отметить, что во всех случаях 'ц' < 'ц Но всегда к. п. д. представляет собой отношение полезной теплоты О1 — Яз ко всей переданной системе теплоты Я1. Поэтому Е1 — Е; е1 тогда как, если бы эта машина была обратимой, то т,— т, Поэтому е — е т — т, е, < т, или 1 — — <1 — —.
Ее т, т, Отсюда — ) —, или — < —. е, т, е, т, т, т, 90 Глава 3. Второе начало терлюдинамики. Энтропия и ее свойства — — — < О. От 0е т, т (3,18) Опять отвлечемся от представления о машине и будем рассматривать разные необратимые циклы. Тогда, переходя, как прежде, к сложению нескольких циклов Карно, мы на основании (3,!8) можем написать для сложного цикла: „'~', "",')', "" <О, или в пределе для любого необратимого цикла: (3,19) Это неравенство для всего контура цикла можно заменить общим выражением ~) — '" <О, (3,20) взамен прежнего выражения (3,9) для обратимых циклов.
Мы приходим таким образом к важному результату, что в самом общем случае ф — ",' <О, (3,21) т. е. интеграл Клаузиуса для замкнутого контура или меньше нуля, или равен нулю, но не может быть больше нуля. В таком виде это утверждение представляет собой общую математическую формулировку второго начала термодинамики.
Следствия, вытекающие из этого выражения, будут рассмотрены ниже. Заметим, что сопоставление к. п. д. всевозможных обратимых и необратимых циклов с к. п. д. обратимого цикла Карно приводит к выводу о наибольшей выгоде последнего, так что в отношении технического использования обратимая машина Карно была бы самой выгодной. Все реальные машины имеют меньший к. п.
д. вследствие необратимости и благодаря отличию вида цикла от цикла Карно. Посмотрим теперь, когда работа, совершаемая системой при переходе из одного состояния в другое, является максимальной. Пусть даны два состояния 1 и 2 простейшей системы Из последнего неравенства следует, что приведенная теплота нагревателя в необратимой машине Карно меньше (а не равна, как ранее) приведенной теплоты холодильника. Далее находим 9! а б. Интеграл Клаузиуга длл необратимых циклов (рис. 24), для которых энтропия имеет значения соответственно 51 и 52 Переведем систему из состояния 1 в состояние 2 необратимо по пути АВС и затем вернем ее в прежнее состояние 1 обратимо по пути СОА. Цикл является необратимым и согласно формуле (3,20), для него интеграл меньше нуля, т.
е. в данном случае 2 1 1 б0 +1 Ж <0 1 (необр) 2 (обр.) Но для обратимого процесса при переходе из 2 в 1 имеем: 1 Поэтому предыдущее неравенство принимает вид: 2 д(2 — <5,— 5,. Т 1 (необр.) Отсюда для бесконечно малого изменения состояния — < б5, дД Т или Т((5) Щ Таким образом, взамен прежнего равенства Т ((5 = б((~, которое соблюдалось для обратимых процессов, теперь имеем неравенство и, следовательно, в общем случае можно написать: Тб(5 ) (1Я, (3,22) где верхний знак соответствует необратимым изменениям, а нижний — обратимым. Выра>кение (3,22) представляет собой полную математическую формулировку второго начала в диф- ференциальном виде. Согласно уравнению пер- вого начала б(~= (и+Лье в о находим из (3,22), что в Т б(5 ) б((I + Нрт.
(3,23) Г л Соотношение (3,23) является объединенной формулой первого и второго начала термоди намики. Рис. 24. 92 Глава 3. Второе начало термодинамики, Энтропия и ее свойства Отсюда следует: б!ГГ<т (3 — И. (3,24) Выражение (3,24) показывает, что при необратимом процессе работа, совершаемая системой, всегда меньше, чем при обратимом процессе в данных условиях. Отсюда следует, далее, что работа прн обратимых процессах является м а ксимальной из возможных, т. е. если из состояния 1 система по заданному пути переходит в состояние 2, то при обратимом переходе работа всегда больше, чем при необратимом по этому же пути, Всякое вмешательство необратимости в ходе процесса сказывается на уменьшении работы системы.
В дифференциальном выражении второго начала в форме (3,22) или (3,23) работа с(уй' представлена в общем виде. Если х есть внешний параметр и У вЂ” некоторая обобщенная сила, то в частном случае из (3,23) находим: тг(3> ((7+)' (. (3,25) Когда, например, совершается работа при увеличении объема, то х= ьт и у=р и тогда т (3> Ш+ р((Г. (3,26) Если, кроме того, совершается работа другого рода, не связанная с увеличением объема, то в (3,26) войдут соответствующие слагаемые и поэтому в самом общем случае Т г(5 > с((7+ ~з Аас(аа.
(3,27) Во всех этих соотношениях обратимым процессам соответствует нижний знак. Задачи 1. Как вычислить полезную работу в цикле Карно, пользуясь энтропийвой диаграммой! 2. Доказать, пользуясь вторым началом, что изотерма и адиабата ке могут пересекаться более чем в одной точке. 3. Найти к. п. д. обратимой машины Карно, если температура нагревателя 227' С, а холодилькика 0' С. 4. Найти эитропию ! моля газа, подчиняющегося уравнению Вак-дерВаальса. 5. Применяя выражения полных дифференциалов энтропии, показать справедливость формул: Ст — — Т~ — ) и С =Т( — ) 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
