Журавлев В.А. Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях (1185122), страница 14
Текст из файла (страница 14)
а= —. РоХ Р": 79. Система, представляьощая собой полупрострапство, заполненное твердым телом с постоянной теплопроводностью Л и теплоемкостью эс, плавится под действием заданного теплового потока .Хсь, Считается, что расплавленное вещество при атом мгновенно удаляется, а тепловой поток непосредственно подводится к границе плавления. Используя принцип Ьио (2.32) — (2.34), найти закон движения границы плавления в глубь вещества, принимая распределение температур в твердом теле в виде линейной зависимости Т = Тн (1 — — 'о ~, где Тн — темпеРатУРа плавлениЯ, дь(4) — глУ- х.
— оьЛ Н ! ~ бина плавления тела, сХ(1) — глубина проникновения в тело теплового фронта, х — координата по глубине тела, Х вЂ” время. Укнзнник. В качестве обобщенной координаты выбрать функпию сХ(с). Глубина плавления ць(1), должна определяться из дополнительного условия — знергетического баланса вида ,Хс1 = (О + мРТн)сн + ТносРд(4 = сопзй где Ц . — теплота плавления, р -- плотность.,м -- теплоемкость. Ответ. Еинетика плавления твердого тела дь(4) находится из совместного решения двух дифференциальных уравнений: ц+ — с)1 4 = а, Мдь + Хг) = совет, 8 где Л 1 - =—, М=(1+ .рт, Р(= -р.Тн. мр' ' 4 98 Глава 2 80.
Построить законы, описывающие кинетику фазового превращения (фаза' — ~ фаза") в бинарной (Л вЂ” В) прерывной системе при стационарном режиме роста. Использовать вариационный принцип Онзагера (2.15). Рьпнвннв. Пусть о — скорость движения фазовой границы, а ел~слоев св~дА:ра: рв,дв --- концентрации и химические потенциалы компонентов в фазе'и фазе", причем сА + сА — — с' + с" = 1; тогда диссипативная функции Ф, обусловленнан массопереносом при фазовом превращении в бинарной системе, имеет вид (1.16): Ф = ТХ = ~ Йсптг(дт — Р„) = 1=А,В = 417па(ЦА ЦА) ~)Фпзв(РВ РВ) Введем обозначения потоков Г; и термодинамических сил Ьр; ХА = дФгиА —— РАпи46 иА = — сА/сА, ЧАЕ = щ ,Ув = Атв = ивтА8„РВ = — св(св, ~РА = ДА РА ~РВ = РВ РВ~ с учетом которых диссипативная функция системы преобразуетсн к форме Ф = ХАЬПА + УВЬрв ) О.
Запишем., далее, энергетический потенциал рассеяния С* в представлении термодинамических сил: С* = ч ~„Е;,.Ьр;Ех~ц = 2ЕАА(ЬИА)'+ 18=А,В +2ЕАВЬЯАЬрв+ 2ЕВАЬИВЬЯА+ 2ЕВВ(ЬРВ) 3 О. 1 1 1 3 Подставляя эти результаты в вариационное условие Онзагера— Дьярмати (2.15) и варьируя по термодинамическим силам при посто- р.З. Неоврати иые процессы в непрерывных и прерывных (вентеланых) систелсах99 янстве потоков, легко найти д(с1ре) д(с) ре рА — ЕАА(~1ВА) — ~-БАВЬдв — ~БВА~НВ) ИВА)+ =(— 1 1 + (рв — 1ВВ(~НВ) — ~КАВУНА — ~БВАлгрп) ~(14В) ) О.
1 1 В силу произвольности вариаций 6(Ьр,,) ф О последнее условие эквивалентно системе уравнений Онзагера есА = — ЙААсА(~1цлА) — БАВсА~ИВ: юсв = — 1 ВАся(сеПА) — л ВВсвсхРсв и соотношенинм взаимности ПАВ = 1 ВА. Кроме того, ААА ) О, ЬВВ ) О, ЛААБВ — А~~В ) О, поскольку С* ) О. Пгимвчпник. Эти линейные законы Онзагера определяют на плоскости температура — концентрация совокупность двух линий. указывающих составы сосуществующих фаз при фиксированной скорости роста и составлнющих кинетическую диаграмму фазового превращения бинарной системы в условиях, близких к равновесным.
Кинетические диаграммы бинарных сплавов в форме линейных законов впервые были получены Борисовым [2Ц. 81. Используя решение задачи 8О, построить линейные законы Онзагера, описгяваю4цие фазовое превращение в частном случае идеальных бинарных растворов. Пренебречь перекрестными эффектами, считая 1,АВ = О. Результаты обсудить с позиций влияния скорости роста на составы сосуществующих фаз. Гаава 2 Укззлнив. Химический потенциал компонента 1 фазы есть йч = 6; — ТЯ, где 6;, В; — парциальные энтальпия и энтропия компонента г; ! = А, В. В случае идеальных растворов ЯА = — Й 1ПСА, ЯВ = — Й )пгВ, 6А = 6В = О. Ответ. 1 — СВ Т '! С(! — СВ) = с АА(! — СВ) ЙТ !и а + сссА ~ 1 — — ~ 1 — СВ ТА ьсе — — ВВВс.я ЙТ !и — „+ Ов 1 — —, (~А, ЦВ, ТА, ТВ теплоты и температуры фазового перехода чистых компонентов А, В.
82. Решить задачу 81 в приближении регулярных бинарных растворов. Сделать вывод о поведении линий двухфазного равновесия в зависимости от скорости фазового превращения. УКАЗАПИЕ. Для регулярных растворов справедливо Я; = — Й !псо 6; = (1 — с;)з6, (1 = А,В). Так, для компонента А можно записать 6А С Вбсм.' 6А Г В6см + 4А(1 -!!ТА); 54 = — Й !п(1 — сн), ЯАа = — Й !п(1 — сц)~ где ТА,4„!А --- температура и теплота фазового перехода чистого компонента А: 6с — теплота смешения сплава. Ответ. П(1 — СВ) — ВАА(1 — СВ) (С Вбсм — С В6 м+ юсн = Впнс' ((1 — с' )'6„', — (1 — св)з6а -1- хчоь Необратимые процессы в непрерывных и прерывных (венте гвных) системах101 83. Рассмотреть термодинамическую систему, в которой осуществляется пропесс последовательной кристаллизации бинарного сплава, характеризующейся наличием развитой (дендритной) фазовой границы.
Используя интегральный вариационный принцип Дьярмати (2,29), построить систему уравнений переноса энергии, массы и импульса в области двухфазного состонния системы, представляющего собой совокупность растущих кристаллов-дендритов и окрунсающей жидкости. Считать, что в двухфазной области выполняется гипотеза квазиравновесия. Это означает, что выполняются условия равновесия в пространстве температура-концентрация-давление (Т вЂ” с — р) в жидкой части области и на поверхности растущих кристаллов, а в объеме кристаллов диффузионные процессы полностью заторможены. РЕШЕНИЕ. Скорость изменения энтропии в области развитой (дендритной) фазовой границы определнетсн соотношением Гиббса 1 р ров = р —,,с)си — р,—,4е — р —,с)сс, Т Т Т где 1с "- локальный химический потенциал второго компонента системы в жидкой фазе, Т,р температура и давление в двухфазной области сплава.
Скорость изменения внутренней энергии 4и и удельного объема дсо в двухфазной области сплава и скорость изменения концентрации второго компонента сплава 4с в жидкой части двухфазной области обусловлены локальными изменениями и действием источников энергии ЩЗ, обьема Ьо(3 и массы легирующего элемента сплава (1 — Й)сД, т.е. с1сц — + (сл+ 6~3)', Ао — + (сто)3)., сйес — + фс)' — йс)), где с,1, Ья — теплота и изменение объема среды при фазовом переходе; )с — коэффициент распределения второго компонента сплава: () производная по времени; Д(г,1) единичная ступенчатая функция пространственных координат и времени, обращающаяся в нуль в твердой и равнан единице в жидкой частях двухфазной области сплава.
102 Глава 2 Запишем, далее, потенциал рассеяния в представлении действующих в системе термодинамических сил ~7 ) Т), — т7 ~~,), з7 ~Т): '= ""(') '(И +ЙОД (К~). (К~) +ТАЯ (Я~). (К~) > 0 где Йг1г7,Йьь, Й р — феноменологические коэффициенты. Паличие здесь Д(г,1) означает обращение в нуль коэффициента Йьь в твердой части двухфазной области., где соответствующий перенос массы заторможен. Подставляя выражения для рв,С в вариационное условие (2.29).
легко найти в 1' Ри —, + РЧ)Д вЂ”, — Р((3с)'4+ Рйс~3Й вЂ” РЬвГлй— р1 Т Т 7' Т Т вЂ” -'1а(а)) — гав(а~в) — вр(ав) )вг=о. Это условие эквивалентно системе уравнений переноса в двухфазной области сплава, соответствующих уравнениям Паграюка Эйлера (2.30) при варьировании по параметрам 1/Т. — 1л7Т, р7Т термодинамических сил: рмТ+ рф3 — и Ли7' = О. фс)' — 1ссД вЂ” ~7 В)Л7с = О, и, р) — 'р' гп и 'р'р = О, где Л = Йдг7Т з -- тсплопроводность; рг = ди/дТ вЂ” тсплоемкость; 0 = ЙььТ зр з(дал!Ос) коэффициент диффузии; т' = Йрр1ле локальный коэффициент проницаемости двухфазной области: по 1зр/р: взр — скачок плотности среды при фазовом переходе; ров динамическая вязкость расплава.
хуло. Неооратиесъъе процессы в непрерывнъъх и прерывных (вентелъных) систехсах1 03 Осредняя эти уравнении вдоль произвольной изотермической поверхности Й в двухфазной области сплава (в соответствии с гипотезой квазиравновесия величины Т,р, с остаются постоянными вдоль Й), получаем искомую систему уравнений переноса р.т+рОО-тУ.Л РТ=О, (пс) ' — йсЧ) — ъ . ВО т с = О, оъ) + ~ ' И 'ъ'р = О где я — : Й '] )ъ(т,1)ЛЙ унарпая корреляционная функции двухй фазной области на произвольной изотермической поверхности; яъ = Й ' ] гсъ'дй — коэффициент проницаемости двухфазной области.
й Приведенная система уравнений незамкнута и в соответствии с условиями варьирования должна быть дополнена одним из соотношений г) = ~ъ(Т)ъ О = )з(с), и = (з(Р) или альтеРнативным УРввнением состояния ~(Тъсьр) = О. ПРИМЕЧАПИЕ. Система четырех последних уравнений (включая уравнение состояния двухфазной области) формулирует контииуальную теорию кристализации сплавов, основанную на гипотезе квазиравновесия (уравнение состояния). Первая формулировка теории была дана Борисовым [22], последующее обобщение ее проведено в работах (23, 32]. 84. Провести решение задачи 83 для случая кристаллизации йкомпонентного сплава.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
