Журавлев В.А. Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях (1185122), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Если скорости деформации й д малы, то потенциалы рассеяния есть квадратичная форма Ф* = 0.5А д бй дй б. Подставляя его в общее уравнение вязкой деформации, находим а„"д —— Е,„дзбезб (а,д, у,б = 1,2,3), и, следовательно, феноменологический закон Онзагера для внзкоупру- гой деформации среды есть пал = Собзбезб + ~абзбйзб (а,д, ')'~ в ив т 1~ 2,3), В случае малых деформаций и скоростей деформаций нзотропной среды число независимых упругих констант равно двум (Л,бб-- постоянные Лама), и, следовательно, /1 С = 1 — Л+бб .Уз +2бббз, 12 где,бы,Уз --- инварианты деформации первого и второго порядка: 11 -= вбб (б: — 1,2,3), х.З.
Необративеые процессы в непрерывных и прерывных (вентелъных) систетах121 1 1г = (еодаод е66) (о~ А о — 1, 2~ В); 2 Аналогично, для вязких констант 66,61 Ф = ~ — ге+ 9/ 16 + 2Фг; 1,2 1 61 = Г66, ог = — (еодеод — е66) (й,бг.о = 1г,й). 2 В результате феноменологический закон вяакоупругой деформации сводится к уравнению вод — Аеззс'од + 266еов + гсй66оов + Чйод (сг, ~3, о = 1, 2, 3) . где Гу и — единичный тензор. ГЛАВА 3 Нелинейная термодинамика Известно, что состояния макроскопических систем, удаленных от термодннамического равновесия, не подчнннютсн описанию средствами линейной термодинамики.
формализм которой справедлив лишь вблизи равновесных состояний. Исследование таких систем, направленное на установление зависимости между скоростью протекания необратимых процессов и термодинамическими силами в широкой кинетической области существования, составляет предмет нелинейной термодинамики необратимых процессов. Конкретными объектами ее приложений являются и химические реакции, и налепил в высокоинтенсивных процессах переноса, и биологические системы, Развитие аппарата нелинейной термодинамики идет по пути создания вариационных принципов., обобша1ощнх принципы линейной теории на нелинейную область [9, 10] или рассматривающих новые вариационные формы ]8, 11, 12].
Б этой связи к настоящему времени наибольшее значение имеют принципы Био н Циглера и нелинейная и термодинамическан теория Глансдорфа — Пригожина, в которой дана вариационнал формулировка нелинейных процессов на основе аппарата локальных потенциалов, являющихся выражением универсального критерия эволюции систем ]12]. Поскольку принципы Био и Циглера, справедливые и длн линейных и длн нелинейных процессов, уже обсуждались ранее (гл. 2, З2), то здесь в необходимом объеме приводится только обзор положений теории Рлансдорфа-Пригожина.
Последнии возникла как обобщение принципа минимального производства энтропии на нелинейные процессы. Как оказалось, длн описания систем, удаленных от состоннин термодннамического равновесия, определяющую роль играет не производство энтропии, а скорость его изменении, названная производством избыточной энтропии. Так, если полное 123 производство энтропии в системе Х=~ВЛ =~~ 3ьХь >О ь=1 Р.1) дифференцировать по времени, то можно разделить производство из- быточной энтропии на два слагаемых: П1 ж О, )' ВЛ' = )' 2:,1,ОХ,Л'+ )" 2: ХьО,,1ьЛ' = и г ь=1 1 ь=г у „~а~о„, у у (3.2) о в='~ юьохь, о,в='~ хьиь л=1 ь=1 где первое слагаемое дает вклад, обусловленный изменением термодинамических сил, а второе — изменением потоков. Относительно первого из этих слагаемых в теории Глансдорфа Пригожина доказывается утверждение, по которому производство избыточной энтропии, связанное с изменением термодинамических сил, стремится к минимуму в системе с фиксированными граничными условиями (3.3) Знак равенства здесь относится к стационарному состоянию системы.
Это утверждение, содержащее как частный случай принцип минимального производства энтропии, называется в теории Глансдорфа— Пригон ина универсальным критерием эвол|оции систем. Его формулировка не требует каких-либо предположений о характере связей между потоками и силами, но опирается на гипотезу локального равновесия. При наличии в системах конвективных переносов стационарное состояние в равной мере определяется условиями и термодинамической и механической устойчивости.
Поэтому критерий (3.3), отражающий лишь первое условие, необходимо дополнить путем введения в 124 Озава 8 формализм теории гидродинамических эффектов. Это достигается в результате замены локальной энтропии л функцией л — 0.3Т зиз, где о — вектор скорости течения, и переходом к новой форме критерия эволюции: Учет гидродинамических эффектов, как было показано в [12), приводит к существованию реальных условий, при которых нарушается устойчивость стационарного состояния и малые флуктуапии скорости в переводят систему в новое стационарное состояние, характеризующееся наличием пространственных структур.
Примером последних являются ячейки Бенара в конвективных потоках неравномерно нагретого слоя жидкости. Одновременно, как оказалось, существуют условия. при которых возможно возникновение временных структур, представляющих собой упорядочение процессов во времени. Таким примером являются периодические или квазипериодические режимы течения химических реакций.
Далее, используя выражение для производства энтропии (1.14)., построим конкретный вид критерия эволюции (3.4) для п-компонентной системы, в которой происходят процессы тепло- и массопереноса, релаксации и вязкого течения среды при отсутствии внешних силовых полей и поляризации вещества. Подставляя (1.14) в (3.4), после преобразования можно найти а~О' ~ У'„ =в('7 ~ —.Г~ л — г,.Г„' д,(ф) — — Р д, ь=з + ~г, + (с~,"'с) ~ л (ч — ') - в л л (с ~ь)- гА х г'~ — ~зг3~ ) -7г ) — (рве + Р): д~ ~~ ~,) + о ~ ) д~ ~~у. ) Л' < О, 1=~ (3 5) 125 где .«,'-« = рия +,Т«З« Л~' = рая + .Тго Отсутствие свойств полного дифференциала у формы дхО требует при исследовании стационарных состояний систем отыскания таких условий, при которых форма дхО приобретает зти свойства.
Подобные исследования привели Пригожина и Глансдорфа к концепции локального потенциала. Последний нвляется функционалом в пространстве двух множеств функций (1о, Г), соответствующих осредненным стационарным решениям 1о уравнений переноса энергии, массы и импульса и отвечающих локальным значениям флуктуирующих величин.
Здесь 0(Г~«Г) есть локальное производство энтропии, в котором некоторые функции заменены их стационарными значениями в смысле, отмеченном выше. В частности, если нелинейность системы обусловлена зависимостью физических свойств ее от термодинамических параметров, то локальный потенциал есть производство энтропии в представлении термодинамических сил. в котором феноменологические коэффициенты Гб«заменены их значениями Ц в стационарном состоянии: ««« ««« д = / В«П' = / ~ Ао..Х,Х «) = ~ ~ УоХ,Л; и «Д=1 «=1 Пригожиным и Глансдорфом было показано, что скорость изменения локального потенциала вблизи стационарного состояния системы соответствует эволюционному критерию (3.3)«(3.4) и определена полуотрицательно: В р=~ ~ 1;.П«Х;~~ <В.
«=1 Отсюда следует, что локальный потенциал убывает во времени по мере приближения системы к стационарному состоянию и достигает в этом состоянии минимального значения. Условие экстремума можно Глава У записать в следующей вариационной форме, варьируя по флуктуиру- ющим параметрам у системы: б(~рЦ",Яу-у — — Π— > — = О, б~ ~ О.
(3.6) дф ду' у уа Таким образом, реализация нелинейной теории Глансдорфа-- Пригожина состоит в установлении общего критерия эволюции рассматриваемой системы, построении локального потенциала и реализации экстремума его на множестве флуктуирующих величин у при заданных граничных условиях и дополнительных условиях у = уо. 3.1.
Критерий эволюции Глансдорфа — Пригожина 102. Показать, что критерий Глансдорфа-Пригожина приводит к принципу минимального производства энтропии (см. гл, 2, Х2) в частном случае состояний систем, близких к равновесному. Уклзлннп. Использовать линейные законы, условие постоянства феноменологических коэффициентов и соотношения взаимности Онзагера. 103. Доказать справедливость критерия Глансдорфа Пригожина для процесса теплопроводности в системе с фиксированными на границах температурами.
Рпшпнип. Полное производство энтропии в такой системе с объемом У есть (см, (1.14)) Переходя здесь к выражению полного производства избыточной энтропии дОудУ, и выделяя часть ее дОх,УдУ, зависящую от изменения термодинамических сил, преобразуем последнюю с помощью теоремы ЖЕ Критерий эеолюции Гланодорфа — 77риголгина 127 Остроградского †Гаус: Поверхностный интеграл вдоль границ й с фиксированной температурой обращается в нуль, а обьемный интеграл с учетом локального баланса внутренней энергии рхд,Т = — 17 .7гэ, где р,х — плотность и теплоемкостьч принимает вид, иллюстрируюшнй справедливость критерия Глансдорфа — Пригожина: 104.
Показать справедливость критерия Глансдорфа---Пригожина для процесса диффузии в бинарной системе с фиксированными вдоль границ концентрациями. 105. Используя метод локального потенциала Глансдорфа— Пригожина, построить нелинейное стапионарное уравнение теплопроводности. РЕшЕниЕ. Для рассматриваемой задачи критерий эволюции ~3.3) имеет вид Учитывая, что.7гз = 7адоэ~ ~ — ), и используя теорему Остроградского— /1т Гаусса, находим ге= — ) г, ( — )ге га+ — 1 геед,(е — ) !е~г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
