Журавлев В.А. Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях (1185122), страница 13
Текст из файла (страница 13)
б |(ф — С*)Л = -б ( ~: (П, — ци),тй жи 1=1 и — 1 -4,1 1- Е (рй — и. ) ~ Лй+ й=л и — 1 +~2 Е айте — 1„).~г(лй ри) Л = ,й=л Ги — 1 = б ) ~ т; рой(рй — лли)+ 1 й=1 и — 1 +2 Е КйР(дл — И.) Я(цй — ди) П =О. л,и=1 При этих преобразованиях считалось, что варьирование вдоль й границы системы не производится и справедлив баланс массы Й-го 90 [вава М компонента в виде рсь = — ~7 ° .Уь (см. (2.1)). Подынтегральное выражение последнего вариационного условия есть термодинамическая плотность лагранжиана в энергетическом представлении для системы с концентрационной диффузией.
В соответствии с принципом Дьярмати варьирование осуществляется по параметрам б(р„— рь) ф 0 при б.7ь = б(рсь) = О. Экстремум функционала реализуют уравнения Эйлера — Лагранжа (2.30): а — 1 рсь. — У ч' 1~1(р1 — р„) = 0 (1 = 1,2,...,п — 1), эквивалентные уравнениям Фика для многокомпонентных изотерми- ческих систем. 71.
Построить уравнения неизотормической диффузии для бинарной среды в системе центра масс, используя вариационный принцип Дьярмати (2.29). Ответ. рог = 1У Агг~ ( 2 ) — 1У 1 где (у), -т=~ 1 г У(" —,Р-') -У Ь Р®, 1а1г = егС1, гс — теплоемкость. Т2. Показать на примере диффузии в бинарной системе, что вариационный принцип Циглера (2.28) в частном случае квадратичной формы потенциала рассеяния эквивалентен линейному закону Онзагера. Решение. Принцип Циглера в представлении через потоки выражается следугощим варнационным условием (2.28): б(д — Л'К) = О, Р = 2Ф вЂ” д = О, где для случая диффузии в бинарной системе справедливо В = —.т ~ ( р,) > О, гр = -т.-'Л Л > О х.Х Неовратииые процессы в непрерывных и прерывных (венте еьных) систеееах91 здесь,У,Н вЂ” поток и химический потенциал одного из компонентов системы, 1, — феноменологический коэффициент.
Варьируя по потокам при постоннстве термодинамических сил, легко найти Коли скалярно умножить левую н правую части этого соотношения на поток,У, то оказывается, что Следовательно, из предыдущего соотношения выводится искомый результат: 73. Рассмотреть задачу 72 для случая системы, в которой осуществляется перенос тепла теплопроводностью. 74.
Используя вариационный принцип Био в форме (2.32), (2.34), исследовать одномерный (вдоль осн х) тепловой нагрев пластины толщиной 1 из материала с теплоемкостью .с и теплопроводностью Л. В начальный момент 1 = О температурное поле пластины однородно, и соответствующую температуру удобно принять за начало отсчета Т = О, а при с > 0 на границе и на оси пластины реализуются условия: Т(х = 0,1 > 0) = Тв, ЙТУс)х = 0 при х = 1, 1 > О. Ркшкпнк. Процесс нагревания пластины целесообразно разделить на два этапа.
На первом в качестве обобщенной координаты с1~ считать глубину проникновения теплового фронта (сус ( 1) и аппроксимировать температурное поле пластины функцией Т = Тв(1 — хУцз)з. На втором этапе в качестве обобщенной координаты суз принять температуру на границе х = 1, а температурное поле в пластине в виде Т = сУз -Ь (Тв — оз) (1 — хУ1)з. Глава й Рассмотрим первый этап. Тепловой потенциал для условий данной задачи (2.32) с учетом температурного поля Т = То(1 — х/Ч~)з есть мр Т ах = РяТоЧ~/1О. 2,/ о Тепловое смещение Н, определяемое как мрТ = — дН/дх с учетом Н(х = Чз) = О, равно хз хз '1 Н = мрТо ~ — — т + — — — ( . 3Ч / Потенциал рассеяния У есть 1 " з 13 ядр То и 2 2 — 2Л " — 630 Л Ч™1.
о Обобщенная термическая сила Р' = (ТобН/3Чг):.=о = мРЧо /3 Используя, далее, уравнение Лагранжа (2.32) с учетом Н, Ж, Е, приходим к дифференциальному уравнению 13, 7 Л 315 30 ' рм Чы)1 — — а=О, а= —. Его решение с начальным условием Ч1(1 = 0) = 0 есть Чз 3.36ъ/ай Время окончания первого этапа нагревания пластины следует из этого решения при Ч1 = 1 и равно 11 = 0.0885Н/о,. Для второго этапа нагревания пластины (1 ) И) с учетом поля темпеРатУР Т = (То — Чз)(1 — х/1)з + Чз аналогично имеем сГ = '1ТОТо + т- ТОЧ2 + ТоЧз) рм1~ 1 з 2 4 '-Р = 313-+(зЧз, 34 и г = 3мРТой 2 с.З.
Необратимые процессы в непрерывных и прерывных (сеятельных) системох98 В этом случае уравнение Лагранжа есть 4.57дзП = То — аз и его решение при дз(г = П) = 0 дается выражением Т с1 — 0.218(с/с1 — 1)) 75. Решить задачу 74, считань что на границе области имеет место условие Т)х = 0,1 > О) = к1, где 1 — константа. Ответ. 1с = 0.0192Р/а, а(1 — 1с) 012 / У12 цз = И вЂ” -2 — + 1 -2 — — 1с1г( с а 1 а Прнмвчлннв. Вариациопный метод Бно широко использовался для решения рида прикладных задач теплопереносаь рассматривающих одномерный и двумерный нагрев 1охлаждение) тел при тепловом ударе и плавлении 1затвердевании), при наличии в системе конвекции и излучения [8, 18, 101 Фазовые превращения, релаксация, химические реакции 76.
Прорывная однокомпонентная система представлена двумя подсистемами (А, В), способными обмениваться теплом, массой и зарядом. Пусть подсистема А есть изотроппый кристалл, а подсистема  — его расплав. Подсистемы разделены фазовой границей (А = В). Построить линейные законы Онзагера в такой системе, учитывая потоки тепла и заряда. Найти выражение потока теплоты, связанного с теплом Пельтье. Определить скорость движения фазовой границы, обусловленную поглощением 1вьгделепием) потока тепла Пельтье па этой границе при пропускании через систему электрического тока плотностью 7 =,7,.
Ршпнцнн. Уравнения Онзагера для рассматриваемой системы имеют вид 70 = -Б00~ (т) ~Ос~ (Т) ~"се~ (т) ~ с~ (т) ' Глава й Учитывая соотношения Онзагера Ь~, = Лес~, преобразуем эти уравнения к форме ее ле Т вЂ” 2 еЯ е ДТ+ Яе е 1 ее Тее Введем следующие обозначения: В = Т/1„, — электрическое сопротивление проводника; с = ! ед/Тйе„термоэлектродвижущая сила при перепаде температур в 1 градус между холодным и горячим контактами проводников; Л = (Бз,1! „' — Ве1се)Т з — теплопроводность; П = А~е/Ае, — тепло Пельтье. В этих обозначениях и при е » ва/Т уравнения Онзагера суть Ьва = — В,У, — еЬТ, У~ = — ЛезТ+ П,/,. Коли система изотермична (ЬТ = 0), то из второго уравнения следует. что ,1„= П,1,. Используя соотношении Онзагера Аве, = А,ез, легко, далее, установип, что П = еТ, и, следовательно, тепловой поток, обусловленаый теплотой Пельтье, есть Уе~ = еТЮе.
Пусть ток плотностью,Уе подводится к рассматриваемой системе; тогда, если система нзотермична ~Т = Ть), возникает двнл1ение фазовой границы со скоростью ~П Тлел, — И' ТьаЯ, оев — = ' ., й ' при ТьеЮ,»И~. а рО ' р1~ Это выражение следует из условия теплового баланса на фазовой границе вар = Ге1 — Иг, здесь и выше Ть и Ц температура и теплота фазового перехода; р — плотность твердой фазы; И' = ~~У(г~1г+гз1з)/2 — джоулева теплота, переходнщая в равных долях к окружающей среде и к фазовой границе; ты гз —. удельные электрические сопротивления жидкой и твердой фаз. Максимальная скорость движения фазовой М.З. Невпратильые првиессы в непрерывных и прерывнььх (венте ььных) систельах95 границы реализуется прн условии дн/Ы, = О.
Отсюда легко найти ве- личину тока,У,"и, обеспечивающую и(й; "') = о г1ь1 + 12ь2 2 2 1 х. ~,сг 2р®гЛ+ гзЬ2) 2 Ж' ' Пгнмвчпнпв. Наличие эффекта Пельтье, нвляющегося источником (стоком) тепла, позволяет проводить рост (плавление) кристаллов в изотермических условиях. близких к равновесным. Такой метод был предложен А. Ф. Иоффе (20) и имеет практическое значение для выращивания кристаллов полупроводников, у которых тепло Пельтье составляет заметную долю теплоты кристаллизации. 77. Используя вариапионный принцип Био (2.32), (2.34), определить кинетику роста плоского кристалла из расплава с гладкой границей раздела фаз. Считать, что система неограничена в направлениях О. х и ограничена в направлении роста 0 < х < й В начальный момент (ь = 0) она находитсн в жидком состоннии при температуре Т = То, а координата фазовой границы ~ совпадает с границей системы ~(Р.
= 0) = О. При 1 > О на охлаждаемой поверхности системы (х = 0) реализуетсн постоянная температура Т = Т1 < То. На оси системы х = 1 выполняются условии симметрии дхТ = О, а фазовая граница х = С являетсн изотермической (Т = Ть). Считатьн что в системе отсутствует перегрев расплава (Ть = То) и движенпе фазовой границы связано с выполнением упрощенного знергетического баланса Л д Т = рбь2дс~, где Л вЂ” теплопроводность кристалла, р — плотность расплава, ьс — теплота фазового перехода. Рвшвпнв. Если ввести относительную температуру Т ь Тв — Т и считать текущий (в процессе роста) поперечный размер кристалла ~(~) обобщенным параметром, то уравнение Эйлера — Лагранжа (2.32) можно записать в следующем виде: с)П сдф, дГ =о Глиеа 2 где -д — — — хр ) Т--Гк йл, —.
= т ~ Т-~ — Ягог1т., дСг ' д2 дф 1' д.Р о д( о ~~~ — рб~ — р~- 3'Тд,,,7„= фМ = -,1д.Т. дГ д*, дГ 4 Распределение температур в области кристалла О < ш < ( будет аппроксимироваться выражением Т = То(1 — и/С)); тогда оказывается, что д(7 хрТ ( хр Т1 ) да' Л '( 3 315 ф=„,и~-'((, г) „((, гк) ) Подставлян зги результаты в уравнение Эйлера .-- Лагранжа, приведенное выше, приходим к дифференциальному уравнению, решение которого определнет кинетику роста кристалла: 1+ (7/ЗОМ) М + (13/315М) + (1/3) ' Т вЂ” 1оТо — Ты М= х(То — Тг) ' рх Пгимкчлник. Приведенная здесь задача относится к нлассу известных задач Стефана, Вариационный принцип Био применялся к решению их в работах Био (8) и Самойловича [19].
78. Решить задачу 77, используя вариационный принцип Био (2.32), (2.34) и считая, что на неподвижной границе системы (х = О) реализуются условия вида ~ = Лд.Т~., = -ТДГ, а температурное поле в растущем кристалле соответствует распреде- лению г='~ (~ — -') . 2.,7. Неовратимые процессы в непрерывных и прерывиых (вентельнььх) системах97 Ответ. 99 3349 з / П ~ Л вЂ” М~+ ( + М 1п. 1 1+ —,— ( = 7аХ, 11 121 ' 1 60 ЛХ( (сЛ Л М= —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
