Журавлев В.А. Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях (1185122), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Это и означает совместимость стационарного состояния и состояния с минимальным производством энтропии. При этом, 0.2. Вариаиионные пршшипы Опгагера, Пригожина. Пионера, Дьнрхаати, Био, Бахарев Глаеи 2 если часть сил Хь(к = я+1, т»+2,..., т) в системе не фиксирована, то — »х" = сопе$ь = 0 и соответствующие внутренние потоки исчезают, а' = 0(й = п-ь1,я+ 2»...,т). Устойчивость состоннин системы с минимальным производством энтропии (стационарное состояние) легко показать, предположив, что нефиксированные в системе силы Хь(1с = в+ 1, в+ 2,..., »и) испытывают малое возмущение дХь около стационарных значений сил Хо.
Тогда линейные законы Онзагера и производство энтропии можно представить в виде 1, = ~ Хч Хо+ ~ Л,ьдХь —,Го+И, ь=» а=и-~-» (» = и + 1, п + 2,, т), м п» К ГеьХОХО + К 1ь.бХьбХ ) О, ьб=» ьб= -ь» Первая сумма в выражении для 0 соответствует минимальному уровню производства энтропии, возникающему в стапионарном состоянии системы, а вторан сумма характеризует отклонение производства энтропии от этого уронил. Поскольку длн необратимых процессов Хь,.дХьбХ1 = ~» бЮ;6Х; > О, ьл=е-~-» 1=и-',» то любое отклонение от стационарного состояния приводит к возрастанию производства энтропии, т.е.
стационарное состояние системы устойчиво. Пгимкчлиив. Каждое состояние системы с минимальным производством энтропии может быть стационарным состоянием, хотя обратное утверждение не является справедливым. Действительно, такая возможность возникает, если не выполняется хотя бы одно из условий, необходимых для вывода теоремы о минимальности производства энтропии и доказательства совместимости стационарного состояния и состояния с минимальным производством энтропии ~10), т.е.
следующих условий: справедливости линейных уравнений и соотношений Онзагера., постоянства феноменологических коэффициентов и внешних условий. 0.г. Бариационние принципь~ Онгагера, Пригожина, Пиглера, Дьпргьати, Био, Бахарев При нарушении отмеченных условий признак стационарности системы опирается на теорему более общего характера (9, 10). Устойчивость стационарных состояний системы обеспечивается положительным приростом производства энтропии в системе по отношению к минимальному производству ее в стационарном состоянии.
Следовательно, любое самопроизвольное отклонение системы от стационарного состояния будет подавляться внутренними потоками, возвращающими систему в начальное состояние. Этот вывод, по существу, выражает обобщение принципа Ле ГПателье на случай стационарных состояний (9, 1б).
41. Показать, что вариационный принцип в формулировке Дьяриати (2.29) не содержит условия сохранения термодинамического аналога плотности функции Гамильтона. 42. Установить эквивалентность принципов Вио (2.35) и Циглера (2.28) для прерывных систем. Ркшкник. Принцип Г>ио (принцип минимальной диссипации) выражается в следующей форме: с дФ вЂ” ЛХл дан — — 0 (1 = 1,2,...,т).
дбь Если параметры состояния аь системы заданы в начальный момент времени го, то в последующий момент 1о Ь Ы их можно определить, используя разложение в ряд Тейлора: ал(1о + ~11) = а(1о) + егь~11+ Вариация первого порядка от этого выражения, поскольку ал(ро) = гопэ1, есть бал(1о + ~11) баь~11+... Суммируем, далее, выражение принципа Био по числу параметров состояния системы и, подставлян в качестве виртуального изменении Ьго параметра состоянии его значение в момент 1о + Ы, разделим результат на Ы : — 1х,) а. = ь. ь=ь Глава з' Поскольку зп П р ПЪ Е баь = ~~~ Еь,аьбад = б4ь(аа)., ь=ь даь ьо=ь в Хьбаь = бВ(ХП): ь=ь то нетрудно найти эквивалентную форму принципа Био: б(Л — хз) = О.
Принцип Циглера (принцип максимальной скорости работы диссипации) имеет следующее представление: б( — Л'Г) = О. Р = (24ь — В) = О. Эта вариационнан форма сводится к предыдущему условию, если считать, что Л = (1+ Л')/2Л'. Следовательно, принципы Био и Циглсра эквивалентны. 43. Показать, что принцип Онзагера (2.13) явдяетсн эквивалентной формой принципа Бахаревой (2.38). 44. Установить эквивапентность принципов Дьярмати (2.15) и Бахаревой (2.38). 45. Дать физическую интерпретацию вариационных форм Бахаревой (2.38), Цигдера (2.28), Био (2.35), Онзагера (2.13), Дьярмати (2.29). 2.3.
Необратимые процессы в непрерывных и прерывных (вентельных) системах Теплопроеодность, диффувпя, злентропроводность 46. Рассмотреть закрытую прерывную систему, состонщую из двух малых подсистем (1,2), считая, что первая из них находится в тепловом контакте с термостатом при температуре лц'~, а вторан З.,с. Неовритипые процессы в непрерывных и прерывньсх (вентельных) еиетелсихбЪ с термостатом при температуре Т(г), причем Т(~) ф Т(г).
Подсистемы соединены капилляром, и каждан из них находится во внутреннем равновесии, хотя по отношению друг к другу они неравновесны и между ними возможен обмен массой и энергией при сохранении объема. Построить баланс энтропии и дать анализ необратимых процессов в такой системе с позиций линейной термодинамики Онзагера. Рпшвннв. Запишем баланс массы, энергии и энтропии в такой системе, используя (1.7) — (1.12): с(ссп(с) + 4сп(г) = О, 1 ( с(г) ( 1((г) ( ( (, (г) с(сгса = с(сна ", с(с ь = с(Аь (2) (2) (г) (г) с1 о(') Н ЕУ(~) (г) ,) о — д о(с),( фг) — '' ' ( (с) р,( (г) с = с + с = () + () (с) ссп () ссп Т Т Т ™ Т Поскольку 4сп(') = — 4сп(г), с(сЦв() = — ссс()ь().
то легко найти скорость изменения энтропии в виде д~ 4Я + с()ь + (О,1 (г) л (г) л (г) РП 1 1 С (г) (г) , +~'(')с (Ттг) ~~)~ ~' 1 ТТтг1 ТТТ113 ' где ,( ()( ) (д(~) Т(') Т(') а + Этот результат можно было получить сразу, используя определении потока и производства энтропии для прерывных систем (115), (1.1б). Далее, при выборе сил и потоков необходимо следить за тем, Глава 2 чтобы они обращались в нуль в условиях равновесия, В рассматрива- емом случае их можно определить в виде / )2) О) ') Хт =— — ~.'~ (ф) = — 1 )зу — )ц- ~ ~ Ап — = ге~но '.
При небольших отклонениях от равновесия можно считать, что между потоками и силами существует линейная зависимость: Ап = т пьпьХп1 + ~шЯХЯ = — ~шип~ ) Т / + л паз~ ) ч / ~ /„ц ') А) = Тс)в Х~~ + ЬЦ<>Х(> = гчж~ (Т) + г~ЦРк (Т) ° /П~ Феноменологические коэффициенты в этих законах должны удовлетворять услониям Ь„„„> О. Едв) > О, Ев,,Еоо — Ьо Ь. гэ > О, А~О = Ь<),„.
Преобразуем термодинамические силы: и ьт )С) л вл~ Поскольку р = и — Тв + ре, где все обозначения общепринятые, а величины взяты удельными, то Ьр = — вЬТ+ вар. Подставляя этот результат в предыдущее выражение для силы Ь))л)Т), легко найти г р') еЬр р+ Тз ЬТ сГзр ЬЬТ -~)т)-- т ' т Т -- т ' Т где Ь вЂ” удельная энтальпия. В результате линейные законы преобра- зуются к виду Х = ~ — ~-— ~-"а~Л~ — ~ хв Т Т сСЗ. Неопратимые процессы в непрерывные и прерывиыз (вентельныз) системаабб Если прерывная система изотермична, т.е.
ЬТ = О, но Ьр ~ О, то перенос энергии в системе вызывает поток массы вещества с удельной энергией переноса А~ ~От Ан аппп т.е. с энергией. переносимой единицей массы вещества из одной подсистемы в другую. Если в системе осуществляется лишь перенос энергии, т.е. 1 = О, Усз р': О, то из линейных законов следует заюпочение о том, что в отсутствие потока массы поток тепла вызывает разность давлений Ь вЂ” Хс~т/Ь,„Ь вЂ” и,', с„* — ят "- вт "- ят" где Ц* = и' — й -- удельная теплота переноса. Последнее соотношение описывает известное явление термоосмоса и свидетельствует о том, что при (~' > О более высокое давление развивается в той подсистеме, где температура ниже.
Явление, обратное термоосмосу, называется механокалорическим эффектом, Его описание следует из линейных законов при,1сз = О, Х ф О. Пгнмвчлник. Интересным проявлением термоосмотического эффекта нвляется эффект «фонтанирования» в жидком гелии. Было обнаружено, что если два объема с жидким Не 11 соединить тонким капилляром и нагревать один нз них, то жидкость (сверхтекучий компонент) будет перетекать в нагреваемый объем. Если при этом объем заканчиваетсн узкой трубкой, то жидкий гелий выбрасывается струей, образуя фонтан.
47. Для системы, описанной в задаче 46, провести с позиций линейной термодинамики совместный анализ явлений переноса заряда и массы, полагая, что электрохимический потенциал системы есть О = р.+од, где о заряд единицы массы вещества, со электрический потенциал.
Пгпмвчлнпк. Среди злектромеханических эффектов, содержащихся в решении этой задачи, наиболее примечателен ряд зффек- Глава Е тов, в частности эффект, возникающий в нзобарических условиях (Ьр = О) при фиксированных значениях разности электрических потенциалов между подсистемами: (7,„/7)др о — электРоосмос, где 7,а — поток вещества, 7' — плотность электРического тока; при отсутствии электрического тока (7' = О) и фиксиРованном значении лАР: (ЬР/ЬР) о механоэлектРический эффект; при отсутствии потока вещества (7м = О) и фиксированном значении Ьу: (Ьр/Ьу)л„,-о --. электроосмотическое давление, при отсутствии разности потенциалов (Ьр = О) и фиксированном значении Ьр: О/,7м)л р — о — механоэлектрический гок. Эти эффекты часто реализунзтсн в практических условиях, например прн пропускании тока через жидкий проводник в капиллярах или пористой среде, при движении жидкости через поры или капилляры и т.д.
48. Для прерывной системы, описанной в задаче 46, провести совместный анализ явлений переноса тепла и заряда. ПРИМЕЧАНИЕ. Перекрестные эффекты. содержащиеся в решении этой задачи, носнт название термоэлектрических эффектов, в частности эффект, возникающий при разомкнутой электрической цепи (7' = О) и фиксированном значении перепада температур (вьТ) между подсистемами: (Ьу/ЬТ)7-о . эффект Зеебека; при изотермических условиях (ЬТ = О) и фиксированном значении разности электрических потенциалов (2ьр) между подсистемами: (7г7/7)лт в = П вЂ” эффект Пельтье, где,7г7 — тепловой поток, 7' — плотность электрического тока, П вЂ” тепло Печьтье.
Третий эффект, отражающий связь двух предыдущих эффектов на основе соотношений нзаимности Онзагера, известен как эффект Томсона и выражается в виде 2ир/ЬТ = — ПТ вЂ”,7в7Т '7 '. Он свидетельствует о том, что при прохождении электрического тока в термически неоднородной системе выделяется, кроме джоулева тепла, дополнительное количество теплоты — теплота Томсона. 49. Показатго что молярнан теплота переноса газа Кпудсена есть Ц" = -ПТ/2, и, используя это условие, найти известное соотношение 2.8. Необратимые лроиессы в нелрерывнььх и лрерывных (венте, сьных) системах07 Пнудсена р01/ьсТ10 = р1з1 (ъГТ1з1, связывающее давление и темпера- туру газа в двух сообщающихся объемах.
50. Записать соотношения Онзагера для компонент тензора теплопроводности Л д изотропного кристалла в магнитном поле. Решение. Пусть магнитное поле В параллельно оси вращении х кристалла в правовинтовой системе отсчета, тогда из свойств симметрии среды относительно операции вращения вокруг х для тензора тсплопроводности справедливы соотношения Ле,(В)=Л„„(В), Л,=Л, =Л,=Л,„=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
