Журавлев В.А. Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях (1185122), страница 18
Текст из файла (страница 18)
129 оЛ. Критерий»еолюлии Гланедорфа — Пригожина где индекс «О» отмечает неварьируемые величины. 108. Записать эволюционный критерий (3.5) длн частной системы, в которой возможен лишь единственный процесс влзкого течения среды. Использовать соотношение д«р. = р ~д»р и линейный закон Онзагера для вязкого течения, пренебрегал «вращательной» вязкостью (см. решение задачи 92). Рцшнник. Запишем критерий эволюции (3.5) с учетом условия д»р = р 'д«ри разложения Р = РЕУ+ Ф: ~! -~) — =де'Р= у Л»гт7 (Р д» +о.д«р) — Ро.д«(Р '~р)— — (Роо+ р17+ ж): д«(«7о) + Ро.
«7 д»р2- сЛ' ~( О. Если пренебречь «вращательной» вязкостью и = О, то линейный закон вязкого течения есть (см. решение задачи 92) й» = — 2т~(~о)' — п,(Д7 о)Ег = = — 20(Яо)„— ~τ— Зг ) (т о)17, где (»7о)» = (то)» + Яр(»7о)Г, Яр(»о) = ~~~ о. Используя этот закон, преобразуем слагаемое — «е: дг(»7о) = = 29(~7о),; д«(» о) + (3„— ЗП) («7 о)«У; д»(«7о) = = пд,((«7о)„: («7о)) + ~1 (΄— ~2П) д,((7о)з, а затем и искомый критерий эвощоции д«~Р = ч ), ('~'.
(1'дго+од«р) — Ро дг (Р 'т7Р)— -р: д,(С7о) + рд,( 7о) + Од,(( 7о)„: (С7о))+ +» («„— е»е) гг» Г + е» (г «) ) ге «». 180 Глава 3 109. Используя результат задачи 108, показать, что из вариационного условия (3,6) при варьировании по скорости о движения, дополнительных условиях о = оо, р = ро, ц = цо. цв = цо. р = ро и фиксированных граничных условиях следует стационарное нелинейное уравнение движения вязкой среды, где о",ро,ф цо,р — неварьируемые параметры.
Рвшвник. Применян теорему Остроградского Гаусса и учитывая обращение в нуль поверхностного интеграла при фиксированных значениях скорости о на границе области и дополнительных условиях е = оо, р = ро, ц = цо, цв = цо, р = р, нетрудно найти выражение локального потенциала системы Ов = ~~3' ( — р'о'р ' 17р — р'о'о': (17о) — р'(7 о)+ Ц ((17о)„: (17о)) + 2~ (Ц'„' — ааЦ ) (Т о) + + ооо, ~ о л1. ( У~,11~ Стационарное значение локального потенциала р при варьировании по о реализует уравнение Лагранжа- Эйлера д.У' д.У' до д(17о) которое в данном случае при учете условий о = оо, р = р", р = р", ц = цо, цв = ц'„' после варьирования есть 2 1 ро ° 17о + 17р — 7 ° 2ц(17о), — 17 цв — — ц) ~7 ° о = О.
8) Поскольку (17о), = то + 17о)/2, где 17о — транспонироваиный тензор градиента скорости, то '7 2ц(~7о), = 17 цв7о+ 17цт о, и, следовательно, искомое уравнение движении среды есть 1 — ро ° 17о — ар+ 17. цап+ 17 ц„— — ц) '7 ° о = О. 8) 3.2. Принципы Био и Циглера для нелинеана1х процессов 131 3.2. Принципы Био и Циглера для нелинейных процессов 110. Используя принцип Био (2.32) — (2.34), исследовать нагрев полубесконечпого тела, занимающего область т > О. Считать тепло- емкость тела линейной функцией температуры: гс(Т) = гсо(1+ Т~Т1), а другие теплофизические свойства тела постоннными в процессе нагрева.
На поверхности тела х = О с момента начала нагрева 1 > О поддерживается постоянная температура Т = Т1. Предполагается, что температурное поле в теле распределнетсн в соответствии с функцией Т = Т1(1 — Х(д)га ГдЕ й — ГЛубИНа ПрОНИКНОВЕНИя В ТЕЛО ТЕПЛОВОГО фронта. Рвшвнив. Примем в качестве обобщенной координаты величину ц. Поскольку теплоемкость ж(Т) задана в функции температуры, удобно ввести моменты теплоемкости. имеющие смысл величин локального теплосодержаннп и локального теплового потенциала: Тг с гв ) сс(Т вЂ” ало Т + 2 со Т о Т1' т., 1 ., 1 Тз гг1 = ) таа7 2гсот + Кгсо Т о 1' и определить температурный потенциал Г, тепловое смещение Н, по- тенциал рассеяния Ф и тепловую силу 7г в ниде Н = Р) ггайх = Ч70РгсоТ~ Ч, — 31 г о Ч Г1, г в1 Н = Р,) ыпх = Р .оТЯ ~ 3 (1 — ~) + 70 (1 — о) ~ х Ф = ~~ )'Нгдх, - 0.0324р~гс,',Т~гт'.у, о Г = ( — ф- — ) = 30РгсоТ1.
Подставляя зти результаты в уравнение Лагранжа — Эйлера (2.32) а легко найти дифференциальное уравнение 0.0324ос) = а,17а где а = Слава Я Л/нор, интеграл которого при д(8 = О) = 0 есть решение задачи о — 2.97у'ай 111. В рамках условий задачи 110 рассмотреть нагрев тела в форме неограниченной пластины толщиной й Считать, что поверхность пластины прн х = 1 теплоизолирована, (дТ/дт),-~ = 0 (см. решении задач 74, 110). 112. Используя вариационный принцип Циглера (2.28), найти общую форму нелинейного закона теплопроводности. Рпрдвнии. Производство энтропии и потенциал рассеяния в системе, где имеетсн единственный процесс теплопроводности, суть В = .70 17 ® > О, Ф = Ж(,70,.7,'). Обращаясь, далее, к принципу Циглера в представлении потоков о10 — Л'(2Ф вЂ” О)) = 0 и варьирун по .То при постоянстве 17(1/Т), можно найти Отсюда следует, что ,=( ю~)в. Объединяя последние два выражении и учитывая, что 2Ф = О, приходим к наиболее общей форме феноменологического закона теплопроводности: Ю.М.
Принципы Био и Циглера для нелинейные процессов 188 Его альтернативная формулировка может быть дана на основе использования потенциала рассеяния С в представлении термодинамических сил (см. (2.28а)): .Угз =2 Х С Х= ы !1римвчлнин. В представлении обобщенных сил и потоков нелинейные уравнения Циглера следуют из условия (2.28а) при варьировании по силам (я = 1,2,...,т), где т — число термодинамических сил. Циглером было показано ~1Ц, что развитая им нелинейная теория потенциальна лишь в случае принадлежности потенциалов рассеяния С к классу квазиоднородных функций. К последним относятся потенциалы, удовлетворяющие функциональному уравнению дХ дС (я =1,2,...,т).
В етом случае законы Циглера приводятся к виду 2С дС ~(С) дХл (й = 1,2,..., гн). Глава 3 что эквивалентно существованию потенциала /' 2С / У(С) и наличию обобщенных соотношений взаимности д1ь д1. дХ, дХь (й,у = 1,2,...,т), Кроме того, по определению диссипативной функции системы справедливо условие дс =-Е ° в=Ед' '- а=1 ь=1 ' дХл Если потенциал рассеяния С относится к классу однородных функций Эйлера т-го порядка, то Г"(С) = тС и уравнения Циглера принимают частный вид 2 дС т дХь (к = 1,2,...,т).
Важный класс однородных функций составляют выпуклые однородные полиномы степени т; С=- ~ Ь,",,„" '" Х, Х,-...Х'*- .О. 2 где суммирование распространено на всевозможные наборы целых неотрицательных чисел оы из,..., о, сумма которых равна т — четному числу, поскольку С ) О;Ь„,',' „, — кинетические иоэффициенты, удовлетворяющие некоторым дополнительным соотношениям в силу требования С ) О (см. решение задачи 114). Таь, если в данной задаче считать С = ТХ4, где Х = ЯЯТ), то уравнение Циглера для теплопроводности есть Хх. Принципы Био и Пионера олн нелинейных процессов 13о 113.
Построить нелинейный закон, описывающий кинетику фазового превращения фаза' — ~ фаза" в однокомпонентной системе. Использовать вариационный принцип Циглера (2.28а) Рищвиик. Пусть саги'— : .У вЂ” скорость фазового превращения, а 1с'.ро — химические потенциалы фаз; тогда диссипативнан функция системы и потенциал рассеяния в представлении термодинамических сил, обусловленные фазовым переходом, суть (см. задачу 80) хв = Пепе'(По — Я = осер > О., Н* = Н*(~1~с) > О.
Обращаясь к вариационному услови|о 6(в. — Л'го) = О, й"' = 2С*— У = 0 и варьируя по термодинамическим силам Ьр,, легко установить искомый закон фазового превращения 1, д(~д) ) д(~р) Пгимкчлиик. Это весьма обшан форма закона, описывающего кинетику фазовых превращений. Пусть потенциал рассеиния С задан в классе однородных полиномов порядка т (см. примечание к задаче 112). В простейшем случае, когда г = 2, имеет место линейный закон 1 = Х~з~с3р, отражающий, в частности, кинетику роста металлических кристаллов в условиях, близких к равновесию [30).
Если г = 4, то приходим к нелинейному закону 1 = 2100(ЬП)з, который, например, описывает кинетику сверхпроводящего перехода проводника в магнитном поле в условиях, удаленных от равновесия. Так, 1 = 21Ае'(Ос3р(ПН)з(с3Н)з, где слН = Нс — Н; Н вЂ” напряженность магнитного полн; Н, критическое значение Н при температуре Т, когда разрушается сверхпроводнщее состояние. Этот вид закона роста сверхпроводящей фазы был зкспериментально установлен Фабером (31). 114.
Построить нелинейные законы., описывающие кинетику фазового превращения фаза' — ~ фаза" в бинарной системе А — В. Исполь- 136 Глава Я зовать вариационный принцип Циглера и считать потенциал рассеянин заданным в классе однородных полиномов порядка г = 4 (см. примечание к задаче 112, а также решения задач 113. 80). РЕШЕНИЕ, Используем обозначения потоков и сил, принятые в задаче 80, и выпишем выражение диссипативной функции для рассматриваемой системы: У = ПА~~ПА + 2ВЬРВ =,УАХА +,1вХВ ) О. Потенциал рассеяния С в представлении двух термодинамических сил по условию задачи есть однородный полипом порядка с = 4: *: 2%4о ХА + л 24 ХАХв + л 22 Х 4ХВ+ +ьгг ЛвХА+ йзз ЛАХв+ 4'ол Хв) )~ О.
Здесь удобно ввести обозначение лсАВ + лс ВА — лсАВ 22 22 — 22 Требование неотрицательности потенциала рассеяния С означает, что д2С р — 6А4о ЛА + 3йзг Х 4ХВ + Ьгг Хв ) 0 А — — у =ага ХА+ЗЬзз ХАХВ+Ыал ХВ) 0 д'С дгС 4 дгС дХ 4 дХВ дХАО'ЛВ дХ ЧЧХ = 34'зз ХА+ 2ьгг ХАХв+ 34'42 Лв д С АВ .2 Ав .
ВА .2 А В Общий закон, описывающий кинетику фазовых превращений, найден в решении задачи 113 и имеет в данном случае вид ,Уз =2, Ль С* д.й. Принципе> Био и Цигяера >>г>н нелинейных процессов 137 (й = А,В) Подставляя сюда выражение потенциала рассеянии С", приходим к искомой системе нелинейных законов: ~ь = о г = 2~40 ХА + 2~31 ХАХВ + ~22 ХАХВ+ 2~13 ХВг АА 3 3 Ав 2 Ав 2 1 ВА 3 и ,7В = — о —, = 2Ь31 Х,4 + Ьзз Х,>Хи + 2Л13 ХАХв + 2Воя Хвг св 1 Ав з Ав 2 3 вА 2 вв з в составляющих кинетическую диаграмму нелинейного фазового превращения в бинарной системе длн условий протекания, далеких от равновесия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
