Гельфер Я.М. История и методология термодинамики и статистической физики (1185114), страница 131
Текст из файла (страница 131)
есйлт 1 Планк также указывает, что он намерен «в ближайшее время в другом месте сообщить более детально свои соображения вместе с вычислениями, а также дать обзор развития теории до настоящего времени». В 1901 г. Планк опубликовал подробности своих вычислений в работе «О законе распределения энергии в нормальном спектре> !44, с.
25Ц. Здесь им был дан первый в истории квантовой теории вывод <формулы Планка>. В общих чертах он сводится к следующему. Вычисляя указанную выше вероятность распределения квантов энергии между резонаторами, Планк находит, что она должна быть равна ()У.(-Р— 1) 1 (М вЂ” 1)1 Р или, согласно формуле Стирлинга, приближенно ()У 1 Р)Ф+Р - 7(нРР Используя далее больцмановскую связь между энтропией и вероятностью состояния Зн-!пи), Планк получает, что Зн-я!па)-йЦЧ+Р) 1п(1)!+Р) — М 1пМ вЂ” Р!пР1 477 или после несложных преобразований и~1„~ и~ 1, и~ так как, согласно квантовой гипотезе, полная энергия осцилляторов бм-И1з =Ре и,.следовательно, Р(И=У(е.
Напомним, что здесь )ч' — число резонаторов (их число достаточно велико и все они одинаковы), У вЂ” энергия, рассматриваемая как сумма дискретных равных друг другу элементов е, число которых достаточно велико и равно Р. Последнее соотношение дает для энтропии одного осциллятора 5=3н/)ч' выражение [~1+ и ~1„~ + и) и п и ~ Далее Планк показывает (мы опускаем эти вычисления), что закону Вина должна соответствовать следующая связь между энтропией и энергией одного осциллятора: 9=1Ф! ) Это означает, что энтропия должна являться некоторой функцией отношения энергии к частоте излученной резонатором волны. Так как указанная связь должна иметь общий характер, то, сравнивая два последних выражения, Планк заключает, что величина кванта энергии должна быть пропорциональна частоте излучения, т.
е в= т1т. Следовательно, для энтропии осциллятора получается выражение и)„( и~ и)„и~ Константы )т и й Планк называет универсальными п остоянными. Дифференцируя последнее равенство по энергии и и используя зависимость бЯ~Ж/=1/О„где 0 — абсолютная температура, он находит, что откуда средняя энергия осциллятора Лч енчдее> как и было найдено ранее полуэмпирическим путем. В «научной автобиографии» Планк следующим образом кратко излагает ход своих исследований с октября по декабрь 1900 гп «Так Лсак для необратимости процесса обмена энергией между некоторым осциллятором и возбужденным им излучением определяющее значение имеют вторые производные энтропии осциллятора по его энергии, то я подсчитал значение этой величины для того случая, когда для распределения энергии спра- 478 ведлив закон Вина, находившийся тогда в центре внимания, и пршиел к тому замечательному результату, что в этом случае обратная величина указанной производной...
пропорциональна энергии. Эта связь была так поразительно простой, что неко~орое время я считал ее совершенно общей и старался обосновать теоретически. Однако шаткость такого понимания скоро обнаружилась перед результатами новых измерений: если для короттшх волн закон Вина отлично подтвердился также и впоследствии, то для длинных волн установили сперва Луммер и Принсгейм заметное отклонение, а проведенные Рубенсом и Курлбаумом совершенные измерения с плавиковым шпетом и калийной солью обнаружили совершенно иное, однако опять-таки простое отношение, что величина пропорциональна не энергии, а квадрату энергии при переходе к большим. значениям энергии и длин волн. Так прямыми опытами были установлены для функции две простые границьи для малых энергий — пропорциональность (первой степени) энергии, для больших — квадрат энергии.
Понятно, что, так же 'как любой принцип распределения энергии дает определенное значение )7 (тэк Плени обозпзчвл обратное звечевке второй производной йт5/бпт — Я. Г.), так и всякое выражение приводит к определенному закону распределения энергии и речь идет теперь о том, чтобы найти такое выражение )7, которое давало бы установленное измерениями распределение энергии. Но теперь ничего не было естественнее, как составить для общего случая величину в виде суммы двух членов: одного первой степени энергии, а другого второй степени энергии, танк что для малых энергий будет решающим первый член, а для больших энергий — второй; вместе с тем была найдена новая формула излучения, которую я предложил на заседании Берлинского физического общества 19 октября "1900 г.
и рекомендовал для исследованию Утром следующего дня меня разыскал мой коллега Рубенс и рассказал, что он по окончании заседания еще в ту же ночь сравнил мою формулу со своими данными измерений и везде нашел удовлетворительное согласие. Также Луммер и Принсгейм, которые вначале полагали, что нашли отклонения, Скоро отвели свои возражения, потому что, как сообщил,вне устно Принсгей.п, выяснилось, что найденные отклонения были вызваны ошибками расчета. Последующими измерениями формула излучения также подтверждалась, а именно тем точнее, чем к более тонким методам измерения переходили. Однако формула измерения, если предполагать ее абсолютно тонкую истинность, была сама по себе только счастливо угаданным законом, имеющим толико формальное значение.
Поэтому в день, когда она была установлена, я занялся задачей придать ей действительный физический смысл, и этот вопрос привел меня салюго к рассмотрению связи между энтропией и вероятностью, следовательно, и к ходу мыслей Больцмана. Так как энтропия 5 — аддитивная, а вероятность йт — мультипликативная величина, то я положил просто 5у й1п)У, где я — универсальная постоянная.
При этом я исследовал вопрос, может ли то выраясение для йт, которое получится, если для энтропии 5 подставить значение, соответствующее найденному из закона излучения, быть истолковано как величина вероятности. В результате исследования оказалось, что это в самом деле воз ножно и что й представляет так называемую абсолютную газовую постоянную, отнесенную не к грамм-молекуле или к молю, а к молекуле., Что касается величины М7, то оказалось, что для того, чтобы можно было истолковать ее как некоторую вероятность, необходимо было ввести некоторую новую универсальную постоянную, которую я обозначил через а, и так как она имеет размерность произведения (энергия врелт), то я назвал ее элементарным квантом действию Таким образом, и для излучения было установлено существование энтропии как меры вероятности в больцмановском смысле» [20, с.
16 — 17). Из формулы излучения Планка как следствия вытекали закон Стефана — Больцмана и закон смещения Вина, что было показано самим Планком, а также распределение Вина и Рэлея — Джинса. На рис. ЗЗ показаны кривые распределения интенсивности черного 479 и гп и и 4 " Современные значения зтих постоянных: л=6,626176 1О™ Дж.с; го=!,380662 10-з' Дж/К. излучения в соответствии с законами Планка' (!), Вина (2) и Рэлея — Джинса (3).
Действительно, интегрируя по частотам, получим суммарную плотность излучения абсолютно черного тела: ОЭ виана (/=~ Учат= ~ =пд«. са еачг(ае1 — 1 о о Далее, определяя условие экстремума У, т. е. вычисляя производную пУ/с)Л, можно найти связь между Л и д. Она имеет вид Л 6=Ь, где Ь вЂ” корень определенного трансцендентного уравнения. Поскольку опытные значения констант, входящих в указанные законы, были известны, то, сопоставляя полученные теоретические значения констант с их опытным значением, можно было из двух уравнений вычислить универсальные постоянные (з и /г.
Они оказались равными: /1=6,55 10 —" эрг с, /с=1,346 1Π—" эрг/град". Вопрос о константах Планк подверг специально- Х гп гп' му обсуждению в работе «Об элементарном кванте материи и электричествам В ча- I » г-гнпп с стности, он показал здесь, что коэффициент пропорциональности между энтропией и логарифмом вероятности состояния является универлгп испо гпгпз ге ма сальной постоянной, отнеЧясмпма сенной к одной молекуле.
Планк подчеркивал позже, Рис. ЗЗ. СРавнеиие »Р~~ых РаснРелеле. что хотя константа /с и носит ния Планка, Вина, Рзлся — Джинса имя Больцмана, последний никогда не придавал ей большого значения и не дал ее числового значения. Планк вычислил также заряд электрона и нашел хорошее соответствие между полученным результатом и данными Рихарца и Дж.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
