Вихман Э. Квантовая физика (1185110), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Предположим, что имеется пакет электромагнитного излучения с частотой а>, распространяющийся в некотором направлении со скоростью свела с. Нас интересует, обладает ли такой пакет импульсом, и если да, то чему этот импульс равен? Если таков пакет, который мы называем фотоном, обладает некоторыми свойствами частицы, то можно ожидать, что он имеет импульс. В э>ом случае не мешало бы обдумать, в каких опытах импульс фотона можно непосредственно измерить.
В томе П1 нашего курса ") мы узнали, что монохроматпческая электромагнитная волна, переносящая в определенном направлении энергию Е, переносит в том же направлении и импульс 7>=Е7с. Таково предсказание классической электромагнитной теории; и разумно ожидать, что оно сохраняется для электромагнитных квантов. 4. Поучительно вывести связь между энергией и импульсом с другой точки зрения. Допустим поэтому, что соотношение 1>=Е!с «) крауфорд Ф.
Волны.— 3-е нзд.— мл наука, !984, гл. 7. |43 / с — о го'=О» )l У .+.. (5а) Второе следствие — это закон преобразования энергии и импульса частнцы: Š— пр Е'= Используем теперь паши предположения Е = )!ы, Е' = йоз', (5Ь) (5с) чтобы исключить Е н Е' из выражения (5Ь). Исключая из полученного равенства ог' с помощью (5а), получаем - /с — о йы — ор с+" у' 1 — (о,'с)з «) Кнттель Ч., Найт У, Рудерлан М.
Л1еханика.— 3-е изд.— Мз Наука, 1983. Формула для продольного доплеровского сдвига получена в гл. 11, законы преобРазования энергии и импульса — в гл. 12. 144 нам неизвестно, но мы верим в универсальную справедливость связи Е=ггоь Это означает, в частности, что такая связь справедлива в любой ннерциальной системе. Принцип специальной теории относительности требует, чтобы общие соотношения между энергией, импульсом, частотой и направлением распространения, справедливые для егех фотонов в данной инерцналыюй системе, были справедливы и е любой инерциальной системе.
Таким образом, требование Релятивистской ннвариантности налагает оггределенные ограничения на возможные связи между указанными физическими величинами. Идея заключается в том, чтобы использовать этп ограничения и получить выражение для импульса р фотона. Предположим, что в данной инерциальной системе фотон распрострьняетгя в положительном направлении оси х.
Будем счнта!ь его части!цей с энергией Е=-гьго и непзвесчным импульсом Еч Из соображений симметрии следует, что импульс также направлен по осп х. Рассмотрим ту же ситуацию в другой инерциальной системе, которую назовем «штрнхованной». Пусть эта система движется с постоянной скоростью и по отношению к первой, «нештрпхованной» ш меме, и пусть скорость о направлена по оси х. Наблюдатель в штрпхованной системе зарегистрирует фотон с частотоп со', несущий энергию Е'=йдо' и импульс р'. Так как с) и, то и в штрихованной системе фотон будет распространяться вдоль положительного направления осн х'.
й!ы приходим к выводу (из соображений симметрии). что в обеих системах импульс должен совпадать с направлением дгн же !ня фотона. Поэтому можно отказаться от векторного обозначения импульса н писать р и р' для х- и х'-компонент импульса, ид!ея н виду, что другие компоненты равны нулю. 5. Вспомним два следствия из преобразований Лоренца, рассмотренные э оме 1 этого курса «). Первым из ннх является формула для продольного донлеровского сдвига частоты, связывающая частоты гон оу: Решая это уравнение относительно р, находим р == ~ив/с, или (5й) р =Е~с.
(Зе) Это соотношение, разумеется, справедливо в любой пнерцпальной системе, так как наша нештрихованная система не имела никаких особенностей. В частности, оно справедливо и для штрпхованной системы. Мы отмечали уже, что соотношение (бе) может быль зь| ведено также из классической электромагнитной теории, тогда как соотношение (56) — чисто квантовомеханическое: из него следует, что квант света с частотой ь» всегда переносит импульс йв>'с, Эта связь, разумеется, следует немедленно из (5е) и (5с).
И наоборот, (5с) легко получить из (5о) и (5е). 6. Масса покоя о»в фотона равна нулю. В гл. ! мы получнлп о ь щую связь между массой покоя, энергией и импульсом, которая для случая фотона имеет вид (т с»)а Е«р»с» (ба) В соответствии с формулой (бе) правая часть этого равенства обращается в нуль, и мы получаем т,„=О, Этот результат с первого взгляда может показаться несколько странным: если фотон имеет некоторые свойства частицы, то в своей системе покоя он должен был бы иметь массу. Следует, однако, иметь в виду, что для фотона не может быть инерципльной системы, в которой бы он покоился; электромагнитное излучение распространяется со скоростью с в любой инерциальной системе. Таким образом, фотон в состоянии покоя — понятие, лишенное смысла. Можно было бы сказать, что объект, который никогда не может быть в состоянии покоя, нельзя назвать «частицей».
Однако имеется установившийся обычай говорить о «безмассовых» частицах, примером которых служат фотон и нейтрино, и мы следуем этому обычаю. В конце концов, определение слова «частнца» можно считать делом вкуса. Естественно, удобно фотон и нейтрино рассматривать с тех же позиций, что и частицы, обладающие массой. С другой стороны, следует особо подчеркнуть, что фотон «не похож на биллиардный шар», лишь некоторые свойства фотона напоминают свойства частицы. 7. Рассмотрим теперь несколько мысленных опытов, цель которых выяснить, в какой мере корпускулярные представления о фотоне согласуются с некоторыми результатами классической электромагнитной теории. Эти опыты позволят нам привыкнуть к идее, что кванты электромагнитного излучения — фотоны — имеют свойства частиц.
Здесь уместно привести разъяснение. Говоря о «свойствах частицы», мы имеем в виду те свойства, которые приписывает частице классическая физика. В современном понимании словом «частица» называют такие объекты, как фотоны, электроны, протоны, нейтроны и т. д. Строго говоря, «свойствами частицы» являются свойства всех этих объектов. В частности, свойством реальной физической частицы является то, что она имеет волновые свойства.
На этой стадии рассуждений мы не будем рассматривать свойства раальиьдг физических частиц, а ограничимся изучением того, в какой мере этп частицы ведут себя подобно воображаемым йклассическим частицам». 8. Рассзютрим стационарный источник света, испускающий фотоны с частотой м. Направим этот свет перпендикулярно к поверхности идеального зеркала, покоящегося относительно источника света. Классическая электромагнитная теория предсказывает, что отраженпыи от зеркала свет будет иметь ту же частоту ю и чтз поток Ц' Р ис. ИА.Отраыекнс саста от зеркала по волновым предстазпснияи Стоя. ~ая полна перед зеркалом нндуциру. ет и его поаертностн тоня Сила, с которой но ~на дейстауез на зеркало, потпнкаст от н\ ° н годенсгаия ага~нитного поля полны с ттими токами Про нориалы,ом падении Д1 л нне гылуясния Р раано плотности зпсрыш и' и прострпнстае у зер гул,г энергии, падаюп1ий ца зеркало, равен потоку отраженной от него энерппь Лалее.
из классическои теории следует, что падаю.'цее излучение создает давление на зеркало (так называемое давление излучения). Если предположить, чго интенсивность излучения равномерна по всей поверхности зеркала. то давление Р— )у', (8а) где 1)У вЂ” — плотность энергии в поле излучения в пепо редственпой близосгп от отражающей поверхности, Обозначим через Ф плотность потока энерпш па,юкнцего излучения, т.
е, количество энергии, падающей за единицу времени на единичную поверхность зеркала, перпендикулярную к направлению светового пучка, а через Ф' — плотность потока энергии отраженного излучения. Тогда потучим Ф вЂ” Ф'. В единицу времени излучение распространяется па расстояние г, и плотность энергии (8Ь) где первое слагаемое дает плотность энергии, созданную падающим, а второе — отраженным излучением.
Таким образом, плотность по- тока энергии и давление излучения связаны формулой Р=-'И сс, (8с) следующей из (8а) и (8Ь). 9. Рассмотрим теперь этот опыт с помощью представления о фотонах. Нусть, например, на единичную поверхность зеркала падает 146 /4/ фотонов в единицу времени. Каждый фотон несет энергию Е= =!рой и импульс р=лга/с. После столкновения с зеркалом каждый фотон меняет знак импульса (мы считаем зеркало бесконечно тяжелым, так что оно остается в покое); таким образом, каждьш фотон на т Рис. ВА. Отражение света от зеркала по корпускулярным представле" пням.
Давление излучения воаника. ет в результате отражения фотонов от зеркала. При нормальном паде. нии импульс фотона меняет направление на обратное. Соотношенве мев ду давлением излучении и плотностью энергии ест,ется тем же, по и в волнозоб теории !рнс. 8Л! г7адатиугге фотона! — — Ф- — Ф вЂ .Ф- 44--Ф Вар антенные фоагоны передает зеркалу импульс, равный 2р. В этом примере давление излучения объясняется бомбардировкой зеркала фотонами. Давление излучения Р равно импульсу, переданному единичной поверхности зеркала за единицу врех!ени, и мы имеем Р = 2й/р = 2й!Йб/с. (9а) двныуиуееодг гарна га ! ! ! ! 4 и //адагооуай Фотон Ф--- Отратенный фон!он С другой стороны, плотность пото- ка энергии 40 = /тру! рб, (9(г) а плотность энергии (фотоны дви жутся со скоростью света) йр = 2й/йаб/с.
(9с) Рис. збА. По законам упругого сто >ю о. авива энергия Е' отраженного 4,!гона будет меньше энерги и Е падаюшег 4ютона. если зернало движется от источника. Сдвиг частоты можно найти нз соотношении Е=ьы и Е' 4-Хмс Предположив, что масса зеркал а бесконечно эслнка, полу!и» тот ке результат, что и в золновоб теории 4ри . ! ШЛ! Из формул (9а) — (9с) следуют соотношения (8а) — (8с), и зто значит, что в рассмотренном опыте фотонная и волновая картины излучения согласуются.
10. Перейдем теперь к более сложному опыту. Пусть источник света покоится в лабораторной системе координат и испускает фотоны с частотой бз, которые падают перпендикулярно на поверхность зеркала, удаляющегося от источника с небольшой скоростью о. Предположим, что масса М зеркала очень велика. (Мы считаем скорость о малой и массу М большой, чтобы иметь дело с перелятивистской задачей.) Рассмотрим, чтб произойдет с точки зрения фотонных представлений при столкновении одиночного фотона с зеркалом. Ло столкновения фотон имел энергию Е=Ьбб и импульс р=ургб/с, после столкновения его энергия равна Е' и импульс р'=Е'/с.
Законы сохранения энергии и импульса имеют вид р+ Мо = — р'+ Мо' (импульс), (10а) Мра, Мо" Е+ 2 = Е'+ — (энергия). (10Ь) 3десь мы приняли во внимание, что скоРость зеркала до столкновения слегка отличается от скорости после столкновения; направление движения остается, однако, неизменным. Отраженный фотон движется в обратном направлении, поэтому в равенстве (1Оа) р' входит со знаком минус. Частота отраженного фотона с»'=Е'/сс. Равенства (10а) и (1ОЬ) можно переписать в виде Ь» дс» — + Мо = —, + Мо' (импульс), (10с) ~~+ 2 ~~ + 2 (энергия)' (10а) Исключая о' из обоих выражений, получаем для разности частот с., 1 /$1» /1 (с» — с» ) = — й (с»+ ы ) + —, ~ — ! (с»-~ — 63 )», (10е) с 2М~с/ В предельном случае бесконечно тяжелого зеркала второе слагаемое в правой части (1Ое) исчезает и мы получаем 1--с/с ОЗ' =с» —,— -;-, (101) 1-с с)с' Так как о/с мало, то можно разложить (101) в ряд по степеням о/с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
