Fluegge-1 (1185100), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Это означает, что центробежный член даже для з-состояний не обращается в нуль. Если бы мы опустили указанный член и пользовались выражением И2, Вьнисление фш ВКБ 327 Решение. При свободном движении г'=О, и в силу равенства (117.18) можно написать (нормировка произвольная) Г =(1 — ~) и ~ (Й( г ~ — и ~~), (~2~.1) Г1 где Л'=1(1+1) и г,=Л/й — классическая точка поворота. При больших значениях г амплитудный множитель этой функции стремится к единице, и его можно опустить при обсуждении вопроса об ее асимптотическом поведении. Интеграл легко вычисляется, и мы получаем т Г~ и 1Г ! — —., дг — — г, 1 —,— 1+агсз!п — — '1.
т 2)' Г~ Разлагая последнее выражение по степеням г,!г ((1, находим !,1~ ~~ п1 Я г ~ — (1 — — —,) + — +... — — '~ — г — — г,. с~.,(, 2 г~7' г 2 Таким образом, функция ВКБ при больших значениях г принимает вид з!и (йг — — яг, + — ) = з!и ( йг — — (Л вЂ” — )) .
(121.2) ! 2 ~ 4) (, 2(, 2) С другой стороны, для точного решения при той же нормировке имеет место формула ;(~ = 1~ (яг) з!п (йг — —,) . (121.3) Выражения (12!.2) и (121.3) становятся тождественными при больших г, если положить — или Л =1+ —, (121. 4) что и означает замену в центробежном члене величины 1(1+1) на (1+'/,)'. Задача 122. Вычисление фаз ВКБ Показать, что асимптотическое значение фазы радиальной волновой функции ВКБ, определяемой условием Лангера (см. задачу 117), где предварительно сделана замена величины 1(1+1) на Л*, Л =-(1+ — '), (122. 1) можно найти с помошью формулы г б,.=-й !пп ~ ~,' 1 — — — —,ц Ь вЂ” ~ 1' 1 — — „,, с~г), (122.2) Г мх 328 !!. Задачи бее рчеспа спина, Д.
Приблилсение ВКБ т. е. как предел разности интегралов ВКБ при наличии рассеивающего потенциала и без него, причем в каждом случае нижним пределом интегрирования служит своя собственная точка поворота. Решение. Лангеровское выражение для фазы б, следует из формулы (117.18), которая асимптотически при больших значениях г дает .!г / р Ле а .
I !а з!и ~ )е д! 1/ 1 — — — е( + — — ~ з!п ! Ь вЂ” — + б Е неге 4 ) 2 с! поэтому Г бе=-)г 1нп ( ~ 1//1 — — — —,, е(г — г1+(1+-) —. (122.3) (у Тождественность выражений (122.2) и (122.3) легко показать, если учесть (см, задачу 121), что интеграл с / Л" Л Г / г' . Л!гс а ) 1/ 1 — — е(г = — ~ 1/ — — 1+ агсз!и — — — З! иесе ! ~ )/ (Л!н)е г ') ма при больших значениях г стремится к выражению — ~ — „— —,1 =г — — ° —,=г — — „(1+ —,) — ' Подставляя это выражение вместо второго интеграла в формулу (122.2), мы убеждаемся, что она приводит к (122.3). Задача 123. Расчет кулоиовских фаз методом ВКБ Определить в приближении ВКБ аснмптотику парциальных волн в кулоновском поле.
Полученные выражения сравнить с точными решениями. Решение. Пользуясь обозначениями — =Йе, ' ' — =н, !+ — =Л, (123.1) ае аа асимптотическое выражение для точного решения (см. задачу ! 1!) можно записать в виде з!п ( )ег — — н ! и 2Ь--1- ч1! ), !а (123. 2) где и! =ага Г (1+ 1-)- !к). (!23.3) е2о.
Раооет кдеоиоееких 4ае метооом ВХБ 329 С другой стороны, метод ВКБ приводит к результату з1п ((гг — —,+б ~~, (123.4) где е е 6, =- 1пп ! ') )/ й' — — — —, г(г — ~ )/ йе — —,е(г1 . (123.5) Г (м в котором величина т1, определяется равенством (123.3). Переходя к новой переменной х =)гг и полагая Х = х' — 2хх — е.е, можно написать е к ('ре —. ~х ('ркте е ~х~ г г,> х «е к где х,=х+) хе+е,'-'. Учитывая теперь значение неопределенного интеграла )е Х вЂ” =- )2 Х вЂ” х! п (х — х — , ')/ Х) -( ) а ге з 1п х 1' ха -! Х' мы после подстановки пределов получаем б,=-!!Ш ~)ееХ вЂ” )2 Хе — ),е — Х 1П г — х-г- УХ + Ю хе !ге *+ Хе к1 +Х ~агсз1п + — агсгйп — ~ ~ .
г 1' не+ко Предел нетрудно вычислить, разложив это выражение по степеням 1)х. Окончательный результат имеет вид б, = — х+ х 1п)е хе-)-).е+) агсз!и " — х 1и 2х. у хе+к' Таким образом, с учетом соотношения (123.6) мы можем сказать, что в приближении ВКБ гхх тп = х (! и х — 1) -1- хг ~ — 2!, ((г) =!п'к' 1+2'+ загса!п )е! +ге Теперь нам осталось сравнить приближенное выражение ВКБ (123.?) с точным выражением (123.3). Таким образом, мы должны показать, что формула (123.5) является аппроксимацией точного выражения б, =- — х!и 21гг+ Чо (123.6) 3З0 П, Задачи без учета спина. Д.
Лриблинсение ВКБ В приведенной ниже таблице мы даем несколько числовых значений величины т1, для случая х =2. Зноченне П о прнолнжосснн ВКБ печное 0,130 1,237 2,022 2,610 3,074 О, 110 1,222 2,012 2,610 3,076 Вычисление значений Ч, в приближении ВКБ производится непосредственно по формуле (123.7), что же касается вычисления величин Ч„определяемых формулой (123.3), то оно выполняется с помощью соотношений Ч,= агс!8 — +Ч, „ (123.8а) Чо = 4 +!с ()п х !) !2 60 з ..
(123.8б) х 1 1 т) кв = — + х (1и х — 1) — — -1- —. в 1 1 о 4 зх !92хз поэтому разность между этим выражением и точным выражением (!23.8б) будет примерно равна вкв 1 Чо — Ч о 24х' С другой стороны, если Х~> и и )с)) 1, то из равенства (!23.7) следует х х х х' „)вкв сес с ! 2хз ЗХЗ зез в то время как соответствующее точное выражение в силу (123.8а) можно записать в виде х х х хз (Ч вЂ” Ч,) "= — —.+ — —.* сот 7.
2Лз 4хз зхз Разность двух приведенных выражений убывает как х7(123з). Это значит, что при продолжении нашей таблицы (! ) 4) 'мы не получим сколько-нибудь заметных различий между точными и приближенными значениями фаз. Заметим, что ряд (123.8б) быстро сходится при х> 2. Из таблицы видно, что результаты находятся в хорошем ,согласии между собон. В случае 1=-0, когда г=-Х7х=сс',<с1, выражение (123.7) можно разложить в ряд 1З!.
Коазипотонциап Задача 124. Квазипотенциал зз! Вместо переменной г часто полезно ввести новую переменную г=г !/ 1 —— (124.!) (преобразование Сабатьера). Показать, что выражение для фазы ВКБ можно представить в виде простого интеграла по переменной 1, в котором квазнпотенциал !~ (1) = 2Е !и— (124.2) по существу заменяет потенциал (/(г). Решение. Если ввести величину ! +2 (124.3) (припельное расстояние), то, согласно формуле (122.2), выражение для фазы ВКБ можно записать в виде 6, =й!пп ~ ~ 1/ 1 — — — — „ь(г — ~ 1/ 1 — —., ь(г1, (124.4) ь где г,— наибольший корень выражения, стоящего под радикалом в первом интеграле.
Некоторое неудобство этой формулы состоит в том, что предел при г оо имеет лишь разность интегралов, сами же интегралы расходятся, а нижние пределы различны. Эту трудность можно устранить, воспользовавшись преобразованием (124.1), в результате которого первый из интегралов (!24.4) приводится к виду ~ ~//1 — — — —,й'=~ )'!' — Ь'й.
(1245) Г~ ь Разумеется, это возможно лишь в том случае, если преобразованию 1=1(г) соответствует единственное обратное преобразование г=г(1), т. е. если Г представляет собой монотонную функцию г. Подставляя выражение (124 5) в формулу (124.4) и обозначая во втором интеграле переменную г через 1, получаем Ю 6, =- а ~ )/1' — Ь' ) — — ~ ь(г.
(124.5) ь Последний интеграл еше более упрощается с помощью интегрирования по частям. С учетом тождества л ш и (г! ! д и (!) — — — = — !и— ш У ш 7!. Задачи без учета тина. Е, Мигиитног поле Замечание. В работе Сабатьера [Заьаыег Р. С., [Чночо С!гпеп1о, 37, !!80 (1965)! введено преобразование [!24.1). Метод квазипотенциала был развит в работе Вольмера и Крюгера [1гонтег б,, Кгйагг Н., Р[куз, !.ен., 28А, !'[э 2 [1968)1.
Лополиительные подробности можно найти в статье Вольмера [Уонпмг С., йж Р[гуз., 226, 423 (1969)]. Е. Магнитное поле Задача 125. Введение магнитного поля Получить выражение для гамильтониана заряженной частицы при наличии магнитного поля и показать, что присутствие в уравнении Шредингера векторного потенциала не противоречит калибровочной инвариантности.
Решение. В классической механике показывается ", что при наличии магнитного поля, описываемого вектор-потенциалом А, импульс р любой частицы с зарядо.! е заменяется величиной г Р=р — — А, с (125.!) поэтому нерелятивистская функция Гамильтона имеет вид Е/ = 2 — ~р — —" А ) +еФ [г) + [г (г), [125,2) П ого делается следующим образом. С помощью функции Гамилыона (125.2) находятся канонические уравнения движения из которых затем исключается импучьс, что в результате приводят к уравнению движения ! и г =- е ( $+ — [от[ ! ) .
с В правой части этого уравнения стоит правил~нос выражение аля силы Лоренца действующей на частицу с зарядом е. окончательный результат и рин и мает вид б,= — — йГ— 1 ( Я (!) ! ш )! гз ьл ' ь где функция [,"г (!) определяется равенством (124.2), Если [1'(г) )((Е, то функция [! (!) лишь немного отличается от потенциала 1'(г). В этом нетрудно убедиться, переписав равенство (124.2) в виде (д(!)= — Е[п [1 — +У[)). (124.8) Отсюда в первом приближении следует, что (! (!) = [г (г).
Заметим, кстати, что нули функции [! (!) в точности совпадают с нулями функции [г(г). !го. Введение магнитного поля ззз где Ф вЂ” скалярный потенциал электромагнитного поля, а У(г)— потенциал, обязанный силам неэлектромагнитного происхождения (иапример, ядерным силам). Соответствующий этому классическому выражению гамильтониан получается заменой вектора р оператором (йН) Ч. В результате мы получаем обобщенное уравнение Шредингера — —; — =Нф, в д|е Т д~ где Н= — — Чв+ —,, (Ч А+А Ч)+ —,А'+еФ-,'-1'. (125,3) Ве, ей Так как Ч А ф = $ с(1ч А + А Ччг, где )( — произвольная функция координат и времени, при этом напряженности полей ме =го1 А, 3 = — вегас( Ф вЂ” А 1 (125,6) с останутся неизменными.
Если физические явления определяются напряженностями полей, а не их потенциалами, то эта калибровочная инвариантность должна иметь место и в квантовой теории. Если мы теперь просто подставим выражения (!25.5) в гамильтоннан (125.4), то это, разумеется, приведет к появлению целого ряда дополнительных членов, что нарушит калибровочную инвариантность уравнения Шредингера. Имеется единственная возможность избавиться от этих членов: для этого нужно, чтобы сама волновая функция участвовала в калибровочном преобразовании. Так как произведение фвф имеет непосредственный физический смысл, то оно, так же как и напряженности полей, не должно меняться при калибровочном преобразовании.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
