Fluegge-1 (1185100), страница 49
Текст из файла (страница 49)
(114.3) Функцию Лежандра с комплексным индексом т = а — 'Е, можно выразить через обычные полиномы Лежандра: л Л=О поэтому в рассматриваемом нами случае должно быть Р б( — созб) = —. Х ( — 1) 5(п л (5+(Ч) Х (ел+1) Рл(с05 ()) (Š— л + й+ (Ч) (!. + л + 1 + 5+ (Ч) ' и, следовательно, Ер(б) =л-'(е+ 2+С+(т))Х Ю С' (5Л+ 1) Рл (СО5 ()) „ллле (Š— а+ 1+(ч) (Е+ 5+1+ $+ (ч) (114. 5) (114.б) 1 Ее=Š— —,(Г. о (114.8) До сих пор мы не делали никаких приближений, и вклад полюсного члена учитывался точно. Теперь мы воспользуемся малостью величин $ и ть из-за которой первый сомножитель в знаменателе дроби (114.6) становится при я=Е очень малой величиной. По этой причине указанный член оказывается значительно больше других членов и в резонансном приближении последние можно не учитывать.
Таким образом, имеем (р(6) ж — (2Е+1) (114.7) Перейдем теперь к изучению зависимости этого выражения от энергии Е рассеиваемой частицы. Положению полюса в точке ). =а, разумеется, соответствует некоторое определенное действительное значение энергии Е, но момент количества движения при этом не является целочисленным и, следовательно„ не соответствует никакому реальному физическому состоянию.
Если теперь предположить, что состояние, отвечающее физическому целочисленному значениюмомента количества движения Е, располагается вблизи рассматриваемого полюса, то энергия такого состояния будет комплексной величиной — ее действительная часть Е„будет близка к Е, а мнимая часть мала, Таким образом„можно напи- сать 3!2 1!. Задачи без учета слоне. Г.
Сферичесни симметричтче потенциала ~ (Е с) + !т! (Ес) = 0 (114.9) Пусть теперь Š— действительная энергия реального физического состояния н пусть она ие слишком отличается от Е„тогда можно написать $(Е)+гЧ(Е) ( ~е е-и (Е Ес) (1!4.10) Подставляя последнее выражение в формулу (1!4.7), получаем ~р(0) = — „Рс(созй) . (114,11) Š— Ее+— е Такому виду амплитуды рассеяния отвечает типичное резонансное сечение рассеяния Брейта — Вигнера: ~Ь(0) Г- (114. 12) !Š— Ее)з+ — Ге а Здесь Е, имеет смысл резонансной энергии, а Г означает ширину резонансной линии, связанную со средним временем жизни промежуточного резонансного состояния соотношением к=гь1Г.
Предположим теперь, что значению энергии Е = Е, на траектории Редже соответствует точка, для которой 6 и т) равны соответственно 6, и т)„тогда для значения 1=Ь+г/, мы имеем г + 9 =се(Ее)+(бЕ ) (Еь — Ео)г 1 (да! и л что с учетом соотношений (1!4.9) и (114.8) дает 6 + !г) = й 'Г (,~~ ) (1 14.13) Оказывается, что производная (г(о!г(Е)л я практически является действительной величиной (см. ниже), и йоэтому $,=0, а (114.14) причем величина т), может служить мерой ширины резонансной линии, Замечание. В случае потенциального рассеяниядоказать, что производная ба16Е вблизи от резонанса является действительной величиной, можно довольно легко: см.
!Зе А!(ого !г., Ееяйе Т., Ро1еппа! Ясамеппй, Дпж1егбат, !965, р. !04. (Имеется перевод: де Альфаро В., Редясе Т„Потенциальное рабсеяиие, изд-во миир", 1966, стр. 136.— !урим. ред.) Если Д вЂ” эффективный размер области рассеяния, а о — скорость рассеиваемых частиц„то, крометого, можно показать, что дауг(Е ж Ц(уиг!. Согласно соотношению (114.2), это означает, что величины $ и т1, рассматриваемые как функции энергии, дол!кны быть связаны равенством 11о. Разложение елнонала 3!3 Д. Приближение Вентнеля — Крамерса— Бриллюэна (ВКБ) Задача 115.
Разложение эйконала Решить уравнение Шредингера, воспользовавшись известным из оптики методом решения волнового уравнения р'и + А'п' (т) и =- О (115. 1) с помощью процедуры последовательных приближений. С этой целью ввести эйконал 5(г), положив гш — З !е! и=ах (!15.2) где Л=-2п1й — длина волны в вакууме, и разложить его в ряд по степеням Л. Показатель преломления п(п) считать медленно ме- няющейся функцией координат. решение. Пусть Л означает волну де Бройля во всех точках, где )г(г) =--О, тогда Л =, р = 'гл2тЕ = Ы. (115. 3) Р Введем далее показатель преломления п (1 ) — — )/ 1 — — . (! 15,4) Условие медленного изменения показателя преломления п озна- чает, что он меняется заметным образом на расстоянии 1, кото- рое значительно больше Л, иначе говоря, а7П! 1(<Л' ! ! ! ! (! 15.5) Подставляя выражение (115.2) в уравнение (115.1), приходим к уравнению Риккати: 2гл Ч 5+(75) п О' Л (1! 5.6) Если бы п было постоянным, то эйконал Я был бы линейной функцией координат и ргЗ = О.
В случае медленно меняющегося и можно ожидать, что по крайней мере на расстояниях порядка Л влияние нелинейности на экспоненту (115.2) будет мало. Так как для любого направления х имеет место разложение 3 (х+ Л) = Я (х) + ЛЗ (х) -(- — Л 5 (х) +..., то вклад нелинейного члена '/гЛ'3" будет мал при условии, что — ° —, Лг5" ~((1, или ~ р*5~(( —.
2а 1 ! 11 и !Обо зы !/. Задачи бее учета спина. Д. Приближение ВКБ В этом случае первый член уравнения Риккатн (115.6) мал по сравнению с двумя другими членами, поэтому в первом приближении оно заменяется уравнением эйконала: (то) =" . (! !с у) Разложим теперь эйконал в ряд по степеням безразмерного параметра Х/2н!!. Мы имеем (115.8) причем (115,9) Подставляя это разложение в уравнение (115.6), получаем сле- дующую систему равенств: (75~) — л = О, 17%+2рФо. %5о = О, 19 5о+(~Во) +2~73о ~Во=0 1~'5, + 2ро, уЯ, + 2рЯ, рЯ, = 0 и т. д.
Эти равенства содержат только производные искомых функций, поэтому мы можем ввести безразмерные векторы У» = чо' (115.11) Выражения вида )р*~„ = !(т у„) будут тогда представлять собой безразмерные днвергенции век- торов у„, а равенства (115.10) приобретут внд у,'=и', 1 У У.= — 2 1(7 Уо) У, У.— [1(т У,)+У,1, 1 Уо У„= — — [1 (~1 У,) -(-2У, УД 1 и т. д.
С их помощью можно последовательно определить нсе векторы у„, через которые, согласно (115.11), величины З„выражаются в квадратурах. В заключение заметим, что вопрос о граничных условиях пока остается открытым. 116. Применение метода ВКБ к радиальному уравнению 315 Задача 116. Применение метода 1!КБ к радиальному уравнению Развитый в предыдущей задаче метод применить для нахождения радиальной волновой функции в случае сферическн симметричного потенциала. Решение. Если эйконал зависит только от одной переменной г, то волновое уравнение )1 + Я ' (г) )(, = О, (! 16.1) где (з ' (г) = "' ( 1 Е 122 2 ) 211)(+) Ф»еа ) ' 2тЕ н»= —, й» (116.2) с помощью подстановки »а» .
— а и) 2а у,=ел (116.З) приводится к уравнению Риккати (1! 6. 4) Разложение 5=5,+ — '. 5, +( —;. )'5,+ .. (116.6) по степеням безразмерного параметра е —.= — (( 1, (116.6) где И вЂ” аффективный радиус области взаимодействия, позволяет получить следук2щую систему равенств: (1 16. 7) После введения безразмерных функций у„(е) = 5' (г) (116.8) 11» 5'5» = 5252 = 5,52 = П» 22 1 — — 1т5", 2 п' — — [)25",+5 ], — 2 [1г52 +25;52] и т. д.
318 гл Задачи бев учета спина. Д. Припеижение БКБ зтн равенства принимают вид у 1)7 о Уо Уо 1гуг+ угг 2уо Нуг+ 2угуг 4 2уо С их помощью мы можем последовательно выразить функции у„(г) через функцию у„(г) и ее производные: Уг Уг = з / 2 Уо 4 ~ Уо 2 Уо ~ в; у= — — ~ — — 6 — '+6 — ~ит.д. гч Уо Уоуо Уо 3 з о з с) 8 уо Уо Уо Если (116.10) — действительная величина, то действительными будут и все функции у„(г), а так как мы разлагаем функцию Я по степеням чисто мнимого параметра е/1, то последовательные приближения Я„будут попеременно то действительными, то мнимыми и будут давать вклад то в фазу, то в амплитуду радиальной волновой функции )(с(г): с Хг(г)=ехр) ( —,уо+уг+ —,уг+~ —,) уз+" ~ р (11611) Если мы изменим знак величины у„то нечетные функции у,„„ ие изменят своего знака, а следовательно, не изменятся и амплйтудные поправки, четные же функции у,„измеият свой знак, так что в результате у нас получится комплексно сопряженное решение.
Таким образом, развитый метод позволяет найти фундаментальную систему решений. Задача 117. Граничное ВКБ- условие Лангера Рассмотрим потенциал, соответствующий силам отталкивания. В классической точке поворота г=г, решение ВКБ имеет особенность, что не позволяет сформулировать граничное условие. Эту,трудность можно обойти следующим образом. Заменим,дифференциальное уравнение, имеющее в качестве своих точных решений функции ВКБ, другим дифференциальным уравнением, которое, во-первых, согласуется с уравнением Шредингера вблизи 117. Граничное ВЛ внус»овне Лангера 3!7 классической точки поворота и, во-вторых, согласуется с дифференциальным уравнением ВКБ во всей остальной области.
Эту программу проще осуществить, используя в качестве независимой переменной вместо г величину е х=- ~ Я (г) с(г. (117.1) Решение. Так как в классической точке поворота выражение обращается в нуль, то функции ВКБ, =о- -«(* (о«>е ). (1!7.3) се имеют сингулярную амплитуду при г=г,. Нас интересует решение, конечное в точке г = г;, это позволит нам продолжить осциллирующее решение из области г>т, в область г(г„, где оно должно экспоненциально убывать. Замену переменной (117.1) нетрудно сделать, заметив, что с!г с!» ' После указанной замены радиальное уравнение Шредингера принимает вид Х+ФХ+Х=О (117.4) где точкой обозначено дифференцирование по переменной х. С другой стороны, функции ВКБ, и т)-~1,еэе» (117.5) образуют фундаментальную систему решений дифференциального уравнения й+ ~Яе — — — + — — )и=О, г з д' 4 Де 2 ЯЗ (117.6) где штрих означает дифференцирование по переменной г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
