Fluegge-1 (1185100), страница 47
Текст из файла (страница 47)
В математическом трюке Вентцеля в данном, случае иет необходимости, и без него интегрирование по частям дает Ф О ! Г (гр) Мп Кгг(г= — — ~ (г)г)" ып Кгбг. Кз,~ в о Если воспользоваться уравнением (!08.13), то последнюю формулу можно записать в виде и О (г)г) з!и Кг г(г= — — ~ ~4пазрг+ха(г)г)) Мп Кг В о и, следовательно, М ч о (гр) з(п Кг г(г = —,, ( гр (г) жп Кг Ыг. 4пйе Г Кз!хз ) о В случае точечного ядра имеем 2тязА Вз(Кз !, з) ' (108.18) а для протяженного ядра должно быть ((0) =)з(0) Р(К), (108.16) где формфактор г" =-'- г'р (г) 4п Р МпКг А~ Кг (108.17) по существу определяется тем же выражением, что и раньше. то для описания взаимодействия нейтрона с ядром, плотность частиц в котором равна р, можно написать дифференциальное уравнение, аналогичное уравнению Пуассона: г(з —, (г)г) — хз (г(г) = 4пйзр (г) г. (108.13) 298 IД Задачи беэ учета саина.
Г. Сферичеени симметричные аотенциаеы Задача 109. Высокоэнергетическое рассеяние на жесткой сфере (109. 3) Показать, что сечение рассеяния на жесткой сфере радиусом сс для очень больших энергий приближается к значению 2пссс. Решение. Борковское приближение, обычно применяемое в об- ласти высоких энергий, становится несостоятельным в случае сингулярных потенциалов, так как фигурирующий в нем инте- грал расходится.
По этой причине мы вынуждены использовать метод разложения по парциальным волнам, несмотря на то, что сходимость этого метода с ростом энергии ухудшается. Для любого значения 1 радиальная волновая функция вне жесткой сферы имеет вид )(с (г) =1, (йг) соз 6,— пс (lгг) з)п 6, — з!п (иг — — + бс) (109.1) Си и должна удовлетворять граничному условию Хс Ж) = 0. (109. 2) Таким образом, имеем ис(х) и, следовательно, сечение рассеяния будет равно о = †, ~ (21 + 1) з)по бс = †„ ~~' (21 -1- 1) „ С' ~ ), . (109.4) с=о с=о 11 (х) + ос (х) Если энергия столь велика, что х>)1, то бесконечную сумму (109,4) можно разбить на две части. Члены суммы, для которых 1<х, описывают частицы, сталкивасощиеся со сферой (сс1<сссоЛ), и соответствУющие фУнкции 1, и пс можно заменить их асимпто- тическими выражениями: Си 'с ),(х) = сп (х — — ), 2) (109.5) и, (х) = — соз (х — 1, 2/' Членам же с 1> х в классической картине соответствуют части- цы, пролетающие мимо сферы, не сталкиваясь с ней (И ) спИ).
В этом случае функции )с и п, можно заменить первыми членами нх разложения в степенной ряд. Так как при такой замене ) -х'+' и и х-', с с то отношение, фигурирующее в формуле (109.4), оказывается очень малой величиной и всеми этими слагаемыми можно пре- небречь. Таким образом, в рассматриваемом приближении можно написать ж — „', ~, (2)ап!) з)п' ~ — — ') с=о (109. 6) Юр. Высокоэнергетическое рассеяние на жесткой сфере 299 Конечно, все эти рассуждения теряют силу применительно к тем членам, для которых 1жх и где неправомерна ни одна из употребленных пал!и аппроксимаций функций 1, и пе Однако чеи больше величина х и чем больше членов содержит сумма (!09.6), тем меньшую роль играет эта небольшая группа членов и тем, следовательно„меньше ошибка нашего приближения в целом. Преобразуем правую часть равенства (109.6) с помощью тождества ]и Х , , ]ч з!пе (х — у! =з!пах+э!пг — 'соз 2х.
В результате имеем РЛ ге] -м(О ' с !22.212.,'— 2 г 2222.22). 1=О 1=1.5,5 .. Обе суммы вычисляются элементарно и соответственно равны !е] Х (21+!) =- (х+ 1)2 1=О Гя! (21+ 1) = — (х+ 1) (х+2). 1=1, 3, 5 .. 4п ! о = —. ° — х' = 2п!тз, йе (!09.8) что и доказывает утверждение, сформулированное в условии задачи. Замечание редактора перевода. Может показаться странным, что эффективное сечение рассеяния равно удвоенному геометрическому поперечному сечению. Однако этот эффект хорошо известен в классической волновой оптике и объясняется тем, что рассеянная волна состоит из двух частей одинаковой интенсивности; одна из них соответствует волне, отраженной от препятствия, другая обеспечивает образование теви.
Для каждой из них поперечное сечение равно пЩ Подробное обсуждение этого вопроса можно найти, например, в монографии: Морс Ф., Фешбак 1"., Методы теоретической физики, т. 2, ИЛ, ]999, стр. Зб] и далее. Поэтому получаем о= — "., ~ — (х+1)з!и'х+ — (х+1)(х+2)~. (!09.7) Так как наше приближение справедливо лишь при условии х) 1, то в этой формуле достаточно удержать только основной член.
Таким образом, окончательно наша формула принимает вид ЗОО 11. Задачи дее учета слона, Г. Сферичесни симметричные лотенциалы Задача 110. Формула Резерфорда Ч'и+ (7г' — —,) и=О, (110. 1) воспользовавшись стандартными обозначениями: /г= —, х= —, 2йх= — е е, то е,ее 2т (110.2) где е, и е,— величины точечных зарядов, т — масса рассеиваемых частиц, а о — их скорость на бесконечности.
Задача обладает очевидной симметрией относительно поворотов вокруг оси г, поэтому решение зависит лишь от координат, характеризующих положение частицы в меридиональной плоскости, таких, скажем, как г и О, нли же если пользоваться параболическими координатами, то от $ = г — г = 2г з!п' —, .,0 (110.3) т! = г+ г = 2г соз' —. 0 2 ' В целесообразности применения этих координат нетрудно убедиться, вспомнив, как выглядит формула Резерфорда.
Если отвлечься от фазового множителя, то асимптотика решения, приводящего к формуле Резерфорда, должна иметь вид и ~ете+ . а~ее е 1 ! еЖ~ 0 г 5!ле— 2 Отсюда следует, что имеется надежда с помощью разделения переменных и = е'е'о (З) (1!0.4) свести задачу к нахождению функции, зависящей только от одной переменной с. Подставляя выражение (110.4) в уравнение Шредингера (110.1), получаем Уев+ 21й — — — о=О до 2ах де причем на функцию о пока еще не наложено никаких специальных ограничений.
Пользуясь определениями (110.3) и опуская Решить задачу о рассеянии точечного заряда в кулоновском поле другого точечного заряда, воспользовавшись параболическими координатами. Решение, Запишем уравнение Шредингера !10. Формула Резерфорда производные по переменным «) и !р, можно написать до 2$ до ! — — — — г = — 6+ Ч). дг «+Чд«' 2 так что наше дифференциальное уравнение приводится к виду $ —, + (1 — Й5) — „— йхо = — О. (110.5) Это — известное уравнение Куммера, решениями которого являются вырожденные гипергеометрические функции. Решение, регулярное в точке 5=0, имеет вид о=С,Р,( — сх, 1; Й$). (110.
8) Отсюда для волновой функции и, отвечающей задаче рассеянна, получаем и=СР*,Р,( — сх, 1; И$), (110.7) причем постоянную С еще следует выбрать надлежащим образом. Чтобы убедиться в этом, мы должны найти асимптотику волновой функции (110.7) при больших абсолютных значениях чисто мнимого аргумента «Ц ()гс ) О). Здесь имеется одна небольшая математическая трудность, связанная с тем, что в данном случае мы не можем воспользоваться известным асимптотическим выражением Г (с) Г (с) Г (с — а) Г (а) Р (а,с;г)- е '" г + — ()олго ', (1Г08) !г~))~а), !г!))(с(, с~ — и, п=0„1, 2....
Дело в том, что приведенная асимптотическая формула для вырожденной гипергеометрической функции справедлива на комплексной плоскости г с разрезом вдоль положительной мнимой полуоси. Однако эту трудность легко обойти, если заметить, что к комплексно сопряженной функции и' формулу (110сб) можно применять без всяких опасений. Таким образом, имеем е«к 1 1 ! Р (!х, 1; — й$) ( — Й5)-с + — е-Рлг( — сй$)с -!. Г (! — !х) Г (!х) Учитывая далее„что !а у-ы ах ( — Й;)-'~ = (е ' К) =-е 'е-'"!ал! и что Г(1+!'х) = !хГ(сх), находим 1" (! — !х) с«1 с'"" г ,Р,(!х, 1; — (й$) Г(,, )е-' " — х,, „, е- (110.
9) 302 ГД Задам без учета спина. Г. Сферичесни симмстричнпсе нотенниалы Произведем в этой формуле комплексное сопряжение и полставим получа1ощийся результат в правую часть равенства (110.7), положив там С = е ' Г (1 + тря) . (1!О.!О) Если, кроме того, принять во внимание, что а+5=-г, то окончательное выражение для асимптотики волновой функции (110,7) будет иметь вид С( аз+и 1и (Заг з1п* З ) ) и е 1 ( аг-н1п (Заг зсп' З ) ) тм чп е (Ио.
И) 2А Мпз— 0 2 где т)п = агн Г (1-1- !и). (110.12) Мы видим, что рассматриваемое решение действительно имеет стандартную нормировку и отвечает задаче рассеяния. Единственное его отличие от волновых функций, встречавшихся нам в других подобных задачах, — это характерное для кулоновского поля логарифмическое искажение фазы.
Зная выражение для амплитуды расходящейся сферической волны, мы можем сразу же написать формулу Резерфорда для дифференциального сечения рассеяния: и =!7(0) ~'=(' 0 ') =(ф —, (110 !З) 2йз)пз —, ) Мп'— 2 т) 2 Замечание Д При г=О из формулы (110.7) следует„что и=С, поэтоиу с учетом равенства (110.10) имеем (и (0) !' = е л" ! Г (1+ си) (з. Пользуясь известными свойствами Г-функции, последнее выражение можно записать в виде !и(О)!э= -"' — "" = — „," (110н 4 Лля положительных значений и оно всегда меньше единипы, если же 2ли >) 1, то это выражение становится экспоненциально малой величиной.
Вспоминая, что 2л,е, = йа псы, таким образом, видим, что в случае одноименных зарядов вероятность проникновения сквозь потенциальный барьер характеризуется множителем (фактор Гамова), который очень быстро убывает по мере уменьшения энергии рассеиваемой частицы. Замечание 2. Мы вывели асимптотическуш формулу (110.11) в предположении, что Я~с, где с >) 1, а нс в предположении, что Йг >) 1.
Следовательно, !)1, Разложение кулоновской функции по паряиальным волнам 303 она выполняется не для точек, расположенных вне сферы г=с)й, а для точек, лежащих вне параболоида О с 22йг Мп' — =с, или г — а= — . а ' (110.15) Таким образом, эта формула может оказаться неверной даже для очень больших значений г, если только значения угла О достаточно малы. Однако практически это ограничение ве является существенныль В большинстве случаев длина волны не превышает атомных размеров, так что, скажем, !й= 10-' см, счетчик же, детектирующий рассеяние частицы, находится от мишени по краиней мере на расстоянии г= — 10 см.
Таким образом, йг=!О". Пусть далее с ее !Оа, тогда формула [110,15) приводит к значению О= Ю-а, но для таких малых углов вряд ли можно надеяться отделить рассеянный пучок от падающего. Задача 111. Разложение кулоновской функции по парциальным волнам Разложить по парциальным волнам волновую функцию, полученную в предыдущей задаче. Решение. Так как кулоновский потенциал зависит только от г, то кулоновскую волновую функцию с таким же успехом можно найти, пользуясь разделением переменных в сферических координатах. В этом случае она должна иметь вид и = — ~ Сг)(г (г) Р, (соз б), (111. 1) г=о причем радиальные функции ул обязаны удовлетворять уравне- нию и граничному условию )(,(о) =о. (111.2) (111.3) С помощью подстановки уг = (2нг)г+гега'Р (р), р = — 2йг уравнение (111.2) приводится к уравнению Кумыера рР" +(21+2 — р) Р' — (1+1+!х) Р=О, (111.4) (111.5) т)! = агйр (1+1 +!к), (! 11.Т) регулярное решение которого имеет вид Р(р)= — а,,Р,(1+! -)-гх, 21-1-2; — 2йг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
