Fluegge-1 (1185100), страница 48
Текст из файла (страница 48)
(111 6) Нормировочную постоянную а, мы выберем позднее. Асиыптотику решения (111.6) можно найти непосредственно с помощью формулы (110.8) предыдущей задачи. Полагая зоч /!. Задачи без счета саина. Г. С4ерически сим етричные нстенииаеы получаем , е (2/+1)1 /х Подставляя это выражение в формулу (111.4) и выбирая постоянную а, в виде -"— ," (Г«+1+/х)! 2 (2/+1)1 находим, что функция )(,(г) =а,(2нг)/+'е/"',Р,(1+1+/я, 2!+2; — 2Иг) (! !1.9) имеет асимптотику вида Х/ — з)п (/ег — х !п 2йг+ т)/ — — ) .
(! 11,10) /их Теперь наша задача состоит в том, чтобы выразить определенную в предыдущей задаче функцию и в виде ряда (111.!) с функциями у„заданными формулами (111н8) — (111.10). Функция и, записанная в сферических координатах, выглядит следующим образом: а(г, 6)=е ' Г(1+(х)е//исаев,Р,[ — /я, 1; Иг(1 — созб)ч (111.!1) Обращая ряд (!11.1), находим / ) а (г, О) Ре (сов 0) с((сов 0), (111 12) — 1 Если теперь подставить сюда выражение (111.11) и ввести новую переменную х = — И$ = — Иг (1 — соз 6), (111.
13) то нетрудно получить соотношения хх (111.14) /, = ~ ,Р,(1 + !я, 1; х) Р,( ! + .~ ) с(х. (1 11.18) -2/чи При этом мы учли, что с помощью тождества е",Р, (а, с; — х) =,Р, (с — а, с; х) )!!. Разложение кулонаоской функции ло лирииальньик волнам 305 выражение а=е т Г(1+(и) есь"е",Р,( — сх, 1; — х) приводится к виду лх и= — е ' Г(1+сх)есь" сРс(1-~-сн, 1; х). Тзким образом, наша задача теперь сводится к вычислению интегралов /с, в частности, при условии нг)) 1. Это можно сделать с помощью повторного интегрирования по частям, если принять во внимание тождество ,Р,(а„1; х) = — (сРс(а, 1; х) —,Р,(а — 1, 1; х)1. (111.16)сс В результате п-кратного интегрирования по частям Р, в подынтегральном выражении заменится производной с(п Р—,'=(йг) пР',и' (через Рсю мы обозначаем и-ю производную Р, по его аргументу).
Но Р, представляет собой полипом степени (, поэтому процедура интегрирования по частям оборвется на (-м шаге. Детали этого расчета даны в приложении, помещенном в конце задачи, а результат при нг)) 1 имеет вид ~(,~ Р, ( 1)х п=с 1 Е-Слггн-п) х ( . е-"э' ( — 2йг)сн +( — 1)"+' . ( — 2сйг)п-сн~ )Г(1+си) Г(1+л — сн) (111.17) Если п.=О, то оба члена в фигурных скобках имеют одинаковый порядок величины, в противном случае вклад дает лишь второй член.
С помощью приведенного в приложении равенства (111.22) после небольших преобразований получаем ,), ( — 1)с-„„",, ( Г с х( -'""'"'" "' — д( — сс' л( (! — л)1 Г (1+л — !н) ~ п=о и укаэанное тождество следует нэ общей формулы с1 ! — с — 1,Р, (а, с; х) — сР, (а — 1, с; х)1 =,Р, (а, с; х) + —,Р, (а, с + 1; х), если в ней положить с=1; эту формулу легко вывести с помощью соотношений, приведенных в прнложеннн (см.
т. 2, стр. 304). зоб 1х, Задачи без учета спина. Г. Сферичеспи симметричные потенииилы Можно показать, что коэффициент в квадратных скобках равен гпх щ(и,— — ) е н, следовательно, .( 1н 2 Г(1+пи) х з!п (йг — х )п 2йг+ т), — — ") . (111.18) Подставляя это выражение в равенство (111.14) и используя асимптотику (111.10) для функции у„получаем Сг = —, (21 + 1) 1ге'чг, (111.19) поэтому окончательно искомое разложение при больших и» при- нимает вид и — — ~ (21+ 1) Ре и~ х ~ав 1пХ Х з!п (Аг — х !п 2йг+ т),— — ) Р, (соз 6). (111.20) Заметим, что в известном смысле волновая функция (111.11) и ее разложение по парциальным волнам аналогичны плоской волне и ее разложению по парциальным волнам.
Если исключить влияние кулоновского поля, положив х=0, то, согласно равенству (111.7), мы будем иметь т),=0, и, следовательно, функция у„определяемая выражением (111.9), перейдет в сферическую функцию Бесселя, а волновая функция и и разложение (111.20) соответственно перейдут в плоскую волну и ее разложение по парциальным волнам. Приложение. Ниже вместо,Г, (а, 1; х) мы будем просто писать Г . Однократное интегрирование по частям дает и Рсуааз~=~ 1 г (Га+г Га) дх= дх = Рг (Гааз — Га) + — Рг (Гает — Га) дх й»,1 Повторяя зту пропедуру 1 раз, получаем ~Р~Гаа,де=~, ( — ) Рг"'Х а=о Х )Гатт ( 1 ) Га ( а ) Га — г 'т +( 1) Га-л~(а ° На верхнем пределе, когда х=о, все Г = 1 и выражение в фигурных скобках обращается в нуль.
Таким образом, у нас остается только вклад от ниж- 112. е(напальное рассеяние него предела, где х= — 2ьйг и аргументы полнномов Лежандра равны — 1, поэтому имеем ~с) ~ ( ) л=о ч= -! (!11.21) Р =,Рт (ех — т, 1; — 2!йг). При йг )> 1 имеет место асимптотическая формула е йт Нн л) е зые 2(йг о-ен, ' ( 2(йг)-ч-!+Ен Г(1+ — (х)( ) Р Р( — +)х) ( Первый член в ней пропорционален (йг), а второй — (йг) т ', В сумме (11!.21) значение ч ограничено интервалом — ! ~еж,л, поэтому ее аснмпто. тическое выражение будет определяться первыи членом слагаемого с ч=л н нторым членом слагаемого с ч= — 1, так что н результате мы получим фор. мулу (111.17), приведенную выше. Значения производных полиномов Лежандра легко получить, воспользовавшись соотношением (1+ т)! Р)(соз д)=-орт(1+1, — 1, 1; 1)= ~ ( — 1)л (! — т)! тн где ! 1 = — (1 — соз д).
2 Дифференцируя обе части этого равенства л раз по 1 и полагая затем ! =О (соз д = 1), находим ег'Ре (!) (1+ л)! л! ( 1)л е(1 л (1 — л)1 лм и, следовагельно рел! 1 е( Рг(!) ! еч (1+я) (а соэ д)л йл (! л)! л! Роо ( В (! + л)1 2л (1 — В л! (11!.22) Задача 112. Аномальное рассеяние Пусть наряду с кулоновским полем предыдущей задачи имеется короткодействующий потенциал (например, ядерные силы или конечное распределение электрического заряда) и пусть й)т(( 1, где )с — радиус действия этих дополнительных сил. Выразить амплитуду рассеяния через дополнительный сдвиг фаз рассеяния. Решение. Если Й)с((1, то благодаря наличию дополнительных короткодействующих сил изменится лишь одна фаза а-рассеяния.
Вместо асимптотической формулы (111.!0) предыдущей задачи мы теперь имеем формулу )(, — ~ А ейп (йг — х !п 2йг+ по+ Ьо), (112.!) 308 П. Задачи йеэ учета спина. Г. Сферичесни симметричные потенциалы где б,— дополнительный сдвиг фазы рассеяния. Это выражение мы должны сравнить с первоначальной формулой для точечного заряда: Х, з!п (нг — и 1п 2йг+ 21,). (112,2) Их разность Х о .(е! !пе-и !о 22е+чо! (Аееео — 1) — Е-е!Ь'-и ы ьы+чо2~ о о х (Ае-"о — 1) ) должна содержать только одну расходящуюся сферическую волну, следовательно, должно быть Ае-ее =1 (! 12.3) Х вЂ” у —, (22мо 1) е! !ы-и!о 2ле+чо!.
(112.4) о о 2! Таким образом, необходимо дополнить правую пасть равенства (111.20) новым членом — а!по (Х, Х,), Заменяя далее разложение (111.20) выражением (110.11), получаем для рассеянной волны формулу вида ! !пе-и !и 22е+2чо! и -Еи !и о!и*— и + е 2 — ! (22!ее — 1),(112,3) рао 2йе 0 5!нов 2 позтому амплитуда рассеяния теперь равна и -еи !о о$о' — ! ~(0) = — й '+ — „,(е — 1). (112.3) 22 о!нов 2 Следует отметить два обстоятельства: во-первых, дополнительный член не зависит от угла рассеяния и сильнее всего скажется при больших углах, где собственно резерфордовский член мал; во-вторых, в сечении рассеяния ~1(6) )о теперь будет присутствовать интерференпионный член резерфордовского и аномального рассеяния.
Задача 113. Преобразование Зоммерфельда — Ватсона Пусть амплитуда рассеяния ~ (О) = ~~ (21+ 1)~еР! (соз О) (1 13.!) ! о записана в виде контурного интеграла в плоскости комплексной беременной 1 в предположении, что каждый член суммы (113.1) 310 П. Задачи без учета спина. Г. Сдмричаки симметричные патенаиалы этн полюсы располагаются в точках Л= а„и пусть вычеты функции 1(1) равны в них Р„, тогда вклад полюсных членов в амплитуду рассеяния будет иметь вид л Что касается интегрального члена, то с помощью замены переменной Л=(р, где у — действительная величина, его можно записать следующим образом: (113. 7) Мы видим, что амплитуда рассеяния 1(б) действительно разбивается на две существенно различные части: 7(()) =)р(б)+)а(б).
(1! 3.8) Замечание. Полюсы амплитуды рассеяния 1(1) в плоскости комплексной переменной ! называют полюсами Редже, а линии, по которым они перемеща. ются в этой плоскости при изменении энергии,— траекториями Редже. Важность полюсов Редже обусловлена тем, что они дают в наше распоряжение альтернативную возможность описать взаимодействие между станкина!ощимися частицами, которое обычно описывается с помощью потенциала.
Если положение полюсов ап и вычеты з них амплитуды рассеяния (!и известны, то рассеяние ыожно описать с помощью этих параметров. Этот метод, по-видимому, должен быть особенно удобен в физике элеыеитарных частиц, так как экспериментальные данные свидетельствуют о наличии резко выраженных резонансных состояний (промежуточные частицы или резононы). Конечно, там прихолится иметь дело с очень высокими энергиями, и вся теория должна быть сформулирована релятивистским образом.
Что касается нерелятивистской теории, то ее можно использовать в ядерной физике для описания компаунд-ядра. Задача !14. Полюс Редже Пусть при данном значении энергии полюс функции 7(1) располагается вблизи физического значения 1, вапример вблизи 1= 1., где 1,— целое число. Какая физическая ситуация описывается этим полюсом, если значение энергии подвергается небольшому изменению? Решение.
Мы будем рассматривать вклад в амплитуду рассеяния от одного-единственного члена суммы (!13.6), который, опуская индекс п, можно записать в виде 1р(б) = 21эсх (114.!) В этой формуле сс = 1. + —, + - + ч), ! (114.2) 1)4. Поееж Редже З!! а оба действительных числа, $ и сь предполагаются малыми (($((<1, (т))< 1). Таким образом, имеем соз яа = ( — 1)е з!и и ($+ (5)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
