Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика (1185094), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Криптон завергпает построение Л(-слоя (п = 4) и поэтому по своим оптическим и химическим свойствам относится к инертным газам. Как мы отметили, пятый период, е ачиная со щелочного металла рубидия (к, = 37) и кончая инертным газом ксенолом (Л = 54), целиком повторяет четвертый период и никаких новых особенностей не содержит. ' Кстати заметим, что ферромагнитными свойствами могут обладать злементы, у которых нс скомпенсированы спины и во втором внутреннем слое (41-оболочка). Такси ферромагнитный злемент был открыт в группе релкик земель; нм оказатсн гадолиний (Л=Ь4). Зта й 25.
Строевое саожнмл атомов Квантовая теория позволила также вскрыть особенности заполнения электронных слоев элементов группы лантанидов. Для атомов этих элементов характерно последовательное заполнение глубоко лежащей 41-оболочки (второй внутренний У-слой), начиная от церия (с.=58) н кончая лютецием (с.=71). Поскольку химические свойства определяются в основном электронами внешнего слоя, все элементы группы лантанидов оказываются еще более близкими в химическом отношении, чем элементы, у которых заполняется первая внутренняя оболочка с!.
В связи с анализом группы лантанидов следует заметить, что долгое время гафний !7=72) также относился к этой группе. Однако теоретический анализ, проведенный Бором, показал, что в этой группе не может быть более 14 элементов (возможное число 7-состояний). Тщательные эксперименты подтвердили, что гафний повторяет свойства циркония. Лналогом группы лантанидов в последнем, седьмом периоде является группа актинидов.
Для элементов этой группы, следующих за актинием, начиная с торна (с. =90), характерно заполнение глубоко лежащих 5!-термов О-слоя (!4 элементов) при полностью заполненных бз-, бр-, 7з-термов. Заканчивается группа актинидов лоуренсием (7 =-!03).
Недавно открытый курчатовий (с, =!04) должен по всей вероятности явиться химическим аналогом гафния. Заметим, что элемент 102 вначале был открыт в Нобелевском институте в Стокгольме и был назван нобелием (Ыо). Впоследствии советскими и американскими учеными были открыты другие изотопы этого элемента, а существование первоначального поставлено под сомнение. Вопрос о возможном числе элементов, которые могут быть приготовлены искусственным путем и обнаружены экспериментально, а также вопрос о конце периодической системы пока окончательно еще не решен.
Однако сейчас становится ясным, что граница периодической системы обусловлена неустойчивостью ядер, главным образом относительно спонтанного деления. * Статистический метод Томаса — Ферми. Наряду с приближенными методами, в основе которых фактически лежат методы квантовой механики, развивались, в особенности применительно к случаю тяжелых атомов, статистические методы, основы которых былц заложены в работах Томаса и Ферми. При статистическом подходе электроны атома по аналогии с теорией металла рассматриваются как вырожденный электронный газ при 7=0.
Статистический метод Томаса — Ферми дает, конечно, .леньшую точность, чем метод самосогласованного поля Хартри — Фока, поскольку при статистическом подходе нельзя 2З а. аса 374 Ч А Г Т Ь 111, ТЕОРИЯ МНОГИТ ЧАСТИН учесть многих деталей„относящихся к поведению отдельных электронов. Несмотря на эти общие недостатки, метод Томаса — Ферми игРает существенную роль, поскольку он позволяет достаточно просто объяснить многие важные спойс1ва атома в среднем. Хотя этот метод и не дает возможности обнаружить оболочечную структуру атома, с его помощью были объяснены некоторые важные особенности заполнения электронных оболочек.
Г!осле этих замечаний перейдем к выводу уравнения Томаса — Ферми. В сравнительно тяжелых атомах положительно заряженное ядро окружено облаком отрицательно заряженных электронов, которые частично экранируют электрический заряд ядра. В ионизированном атоме иа расстояниях, превышающих его размеры, потенциал в первом приближении определяется выражением (е - Аг) е, (25.40) где 7.— порядковый номер, а Лг — число электронов. Для нейтрального атома й1=Л, и поэтому Ф =О, т. е.
электроны полностью экранируют заряд ядра. При построении статистической теории следует учесть три вида энергии взаимодействия: 1. Электростатическую энергию притяжения электронов к ядру. Эта энергия связана с плотносгью электронов ро (число электронов находящихся в единице объема) соотношением: )гж, = — ео ~ Р„Ф„с!эх, (25.41) Хее где е = — ео — заряд электрона, а Ф, = — — потенциал.
г 2. Электростатическую энергию огталкивания между элек- тронами е ~ 1Р,Рх, (25.41а) где Ф,(г) = — ео ! Р', с(зх'. 1à — Г'~ 3, Кинетическую эпергито электронов атома. Так же как и при построении теории твердого тела при абсолютном нуле температуры, средняя кинетическая энергия отдельного электрона согласно формулам (6.12) н (6 13)' связана с плотностью ' Эти формулы были получены нами в предположении, что в каждом квантовом состоянии, характеризуемом ~рема лвантовыми числами, не может быть более двух электронов Таким образом, статистическая теория Томаса— Ферми автоматически учитывает принцип !!аули, нграюнсий фундаментальную роль ь зеорнн слои ных атомов.
й 25 Строснне сложных атомов электронов р, соотношением (Т,р — — Е, ): Т„= тр*ь, о ° где (25.41 б) = й(,' где Л1 — число электронов в атоме. Исходя из вариационного принципа, который при дополнительном условии (25.45) можно сформулировать следующим образом: б (Е + еоФоМ) = О. (25. 46) находим соотношение между полным потенциалом Ф=Ф„+Ф, и плотностью электронов ро. ! ч ро= „,~, (2птоео(Ф вЂ” Фа)) *, (25. 47) где множитель Лагранжа Фо, играюший роль некоторого постоянного потенциала, должен быть найден из граничных у ловий. При выводе последнего соотношения мы учли, что рч, ьрх 1 р*ьбр с)ах о з 7 о о б~ роФасРх = ~ ФтброНах, бМ= ~ брасах, о 1 ро(г)го( ) (а (а 2 ) )г — г'1 ао г (бро1г) оо(г')+ он(г) боо(г')) 2 )г — г'1 сРх сРх' = = — е„) Ф,бр, д"х.
(25.48) лба (25.42) Отсюда для кинетической энергии электронов находим: Т = у ~ р" Ух. (25.43) Таким образом, полная энергия электронного газа в поле ядра, равная сумме потенциальной, состояшей из двух частей (см. (25.41) и (25.41а)), и кинетической [см, (25.43)] энергии, равна: Е = Т + )га —,. + )Г .-ь = рьсрх е ( р Ф гРх-1- — еа ( о ' ~ ""'" . (25.44) =х1 При этом плотность электронного газа должна удовлетворять условию члсть пь твогня многих члстин Подставляя найденное выражение (25.47) для плотности электронов в уравнение Пуассона (в случае сферически симметричного распределения электронов) но )~'Ф = — — гФ = 4яаоро ~го (25.49) Для исследования конкретных вопросов уравнение (25.50) следует решать при определенных граничных условиях.
В случае ионизованного атома граничные условия могут быть заданы в виде Ф вЂ” Фо= — при г- О, ~ее г (25.51) (У вЂ” У) ео Ф= при г =го. го (25.52) Здесь г, определяется условием, что при г=го плотность электронов можно считать равной нулю, т. е. ро(го) =О. Отсюда согласно (25.47) находим: (Х вЂ” М) ео Фо = го (25.53) Принимая во внимание уравнение Пуассона (25.49) [см.
также (25.50)], условие (25.45) можно представи~ь в виде: Г Н =А' о)ог О — Поо) ~ Ь =А'ео. )го о (25.54) Из (25.53) следует что для нейтрального атома (Й=Е) Фа=О, а г,=со. Поэтому вместо (25.54) имеем: еогф г, е(г = лез, Нго о а вместо (25.52) ! нп гФ = О. 1 "о (25.55) Заметим, что уравнение Томаса — Ферми (25.50) имеет одно точное решение 8)ноьо ) о о о о— З"'оео (25.56) в чем нетрудно убедигься, подставляя (25.56) в (25.50), и принимая во внимание, что Фа=сопя(, получаем уравнение Томаса — Ферми, лежащее в основе статистической модели атома, — ~, г(Ф вЂ” Фо)= ~'~, (2лхсзо) '(Ф вЂ” Фо)'. (25.50) й 25. Строение сложных атомов 577 Это решение для иейтральиого атома (Фа=О) удовлетворяет одному из граничных условий при г-+ оо (25.55). Однако второе граиичиое условие при г- О [см.
(25.51)1 при этом ие выполияется. К сожалеиию, решения уравнения Томаса — Ферми, удовлетворяюшие обоим граничным условиям, яе могут быть выражены в простой аналитической форме. П р н и е ч а н н е. Заметим, что численное интегрирование этого уравнения имеет известное преимущество перед численным интегрированием уравнений Хартри — Фока в двух отношениях: во-первых, уравнения Томаса — Ферми знач»пельно проще уравнений Хартри — Фока, во-вторых, это уравнение, а также граничные условия (напрнмер, для нейтрального атома Е = )ч, Ф» О) можно преобразовать к универсальномч виду, не зависящему от Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
