Овчинкин часть 3 (1181127), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Такая функция называется функцией Блоха. В этом выражении мы фактически имеем дело с плоской волной промодулированной решеточным потенциалом. Постоянный вектор Я)г играет роль импульса электрона. Однако он не является импульсом в строгом понимании этою слова. Действительно, волновая функция свободного электрона Ч' = С ехр(/рг/Я) является собственной функцией оператора импульса р = — /Яч и соответствует состоянию с определенным импульсом. Это есть следствие симметрии пространства относительно сдвига на сколь угодно малый вектор. В кристалле это свойство отсутствует, так как решетка симметричнатолькоотносительно сдвигов надискретныевектора (периоды решетки).
Поэтому волновая функция Блоха не является собственной функцией оператора импульса и величину Я)с принято называть кваэиижнульсояь Что касается целочисленного квантового числа и, характеризующего другие решения уравнения Шредингера при заданном К, то оно носит название ванною индекса. Закон дисперсии электрона в кристалле 8„()с) обладает свойствами периодичности и четности в обратном пространстве 8„()г+Ь) =п„((с) и й„( — К) = й„(К).
Сохранение квазиимпульса электрона в периодическом поле отражает тот факт, что при рассеянии на решетке последняя может принимать импульс только квантованными порциями Я)г' — Ж= ЯЬ (см. задачу 2.)5). Если это условие не выполняется, то рассеяние не происходит и квазиимпульс электрона сохраняется. Указанное условие соответствует брэгговской дифракции и, как будет показано ниже, определяет положение границ зоны Бриллюэна. Для качественного объяснения возникновения ванною характера электронного спектра рассмотрим два предельных случая. /Уриблихгение почти свободных электронов В эюм приближении периодический потенциал считается «малым» по Ятк сравнению с кинетической энергией электрона 8()г) =, где то — масса 2то свободного электрона.
Для значений квазиимпульса, лежащих далеко от границы зоны Бриллюэна, волновые функции практически совпадают с плоской волной, а энергия - с энергией свободного электрона. Когда же величина вектора К почти совпадает с одним из векторов обратной решетки, т.е. когда ()г+ Ь) = )г или (1сЬ) = — Ь /2 происходит брэгювское рассеяние 2 2 3 и распространение плоской волйы с данным К невозможно. Это условие определяет плоскость в /г-пространстве и указывает на способ построения зоны Бриллюэна: из данною узла обратной решетки надо провести векторы ко всем узлам и через середины этих векторов провести перпендикулярные им плоскости. Многогранник минимальною объема, ограниченный этими плоскостями, называется ячейкой Вагнера-Зейтца и соответствует первой зоне Бриллюэна.
494 Если рассматривать одномерный случай, то ири к = ш (пл/а) волновая функция электрона является суммой падающей и отраженной плоских волн. В зависимости от сдвига фаз при отражении получаем две стоячие волны: з(п йх или соз хх. Эти волны отличаются распределением плотности вероятности нахождения электрона в решет- ке: одна максимальна в области узлов решетки, другая — между ними (отметим, что в случае плоской волны плотность вероятности везде одинакова). Это приводит к тому, что нри /с = .«. (ил/а) мы имеем две различающиеся по знаку добавки к энергии электрона и спектр терпит разрыв. На границах зон Бриллюзна возникают щели в спектре и парабола «разбиваетсяь на ряд энергети- ческих полос энергетических зон -2аа -а б +а +2~ /г (рис. 256).
На границах зоны Бриллюэна групповая скорость электрона обращается в нуль, так как мы имеем дело со стоячей волной. В двумерном и трехмерном случаях на границах зоны Бриллюэна цолжна зануляться нормальная компонента групповой скорости электрона (нри условии, что имеется плоскость зеркальной симметрии параллельная этой границе). Рис. 256.
Энергетический спектр электрона в модели почти свободных электронов. Одномерный случай 495 Приближение сильной связи В этом подходе рассматривается друюй предельный случай — в нулевом приближении электроны локализованы на своих атомах и их волновые функции не перекрываются. При учете слабого перекрытия потенциальная энергия электрона в кристалле видоизменяется (рис. 257) иэлектрон получает возможность Р (г нротуннелировать через барьер и перейти й на соседний атом.
Отметим, что это тунис. лированив отличается от задачи, например, ° ~ об а-распаде. Там первоначальное стацио- ъ / нарное состояние становится нестационар- т г ным за счет ухода а-частицы на бесконечность. При этом уровень приобретает конечную ширину. В кристалле же, состоящем из л/атомов,состояниеэлектронаостаетсяста- Рис.
257. Пунктирной линией ционарным и происходит расщепление обозначен потенциал У(г) изолиропервоначально г/-кратно вырожденного ванного атома; сплошной — криатомною уровня на д/ поду ровней. сталлический нотенцивл (/(г) вдоль Рассмотрим сначала задачу о двух двух соседних узлов решетки симметрично расположенных одномерных ямах.
При слабом перекрытии волновых функций решение уравнения Шредингера можно искать в виде линейной комбинации решений для изолированных ям Ч' = с~«рг+ сз«рв В силу симметрии потенциала с) = шсз. Рассмотрим поведение полной волновой функции на стенках ям, обращенных друг к другу. Для четного решения ее кривизна уменьшается, а для нечетного — увеличивается. Поскольку р„= — И (д/дх), то это означает, что для четного решения кинетическая энергия уменьшится, а для нечетного — увеличится.
По- этому четный уровень опустится относительно исходного, а нечетный— поднимется. В результате вместо двух вырожденных состояний мы получим два расщепленных невырожденных (рис. 258). Можно также юворить, что при объединении ям область локализации электрона для четного решения увеличилась (вероятность обнаружить его между ямами стала больше), а для нечетного — уменьшилась. Иногда говорят, что изменилась эффективная ширина ям.
Согласно соотношению неопределенностей изменение области локализации ведет к изменению кинетической энергии — делокализация энергетически выгодна. расчет показывает, что величина расщепления пропорциональна )Р, где Р— коэффициент туннелирования через барьер. Такую зависимость можно качественно объяснить тем, что поскольку волновая функция электрона является супер. позицией состояний в отдельных ямах, то для попадания в соседнюю яму электрону достаточно преодолеть только половину расстояния между ямами, (см, задачу 3 1) При рассмотрении задачи об л( ямах волновая функция электрона ипгсгся в виде линейной комбинации атомных вол.
новых функций, причем коэффициенты этой комбинации подбираются такими, чтобы полная волновая функция имела блоховский вид. В результате для исходных з-состояний с волновыми функциями рвт(г) с энергией овт можно получить следующее выражение для закона дисперсии электронов: 4 ((т) = бвт — С вЂ” ~ А (г) е яр (Ляг„) . ч и) б) Рис. 258.
Схема образования симметричного (а) и антисимметричного (б) состояний электронов при сближении изолированных потегщильных ям Здесь С = ~ ) р„,(г) ( (у(г) — (г(г) ) гй' > Π— разность энергий электрона в поле решетки р(г) и изолированного атома У(г) (интеграл перекрытия на одном атоме); А(г) = ~ ~Р~вт(г) (У(г) — Р(г — гв) ) 'Рат(г — гв) гт(г > Π— интеграл перекрытия с другими атомами (интеграл переноса). Т.о. в кристалле атомные уровни сначала понижают свою энергию (за счет слагаемогоС), а затем расщепляются в зону (за счет слагаемого с А). В приближеггии ближайших соседей А(г„) =А = сола( мы получаем: а) для простой кубической решетки 4((с) = бвт — С вЂ” 2А (соз /сха+ ссп ага + соз кта), 49б б) для объемноцентрированной кубической решетки 4()т) = Ювт — С вЂ” 8А соз — осе — соз —, кта «Лт /с2а 2 2 2' в) для гранецентрированной кубической решетки е()с) = 4вт — С вЂ” 4А (соз — соз — + соз — соз — + соз — соз — .
йта йлт Ьа Ь а (глт, )гит) 2 2 2 2 2 2! а) 6) Рис. 259. Изоэнергетические линии энергетической юны з-типа а) приближение сильной свзяи; б) приближение почти сжтбодных электронов На рис. 259 в качестве иллюстрации приведены изоэнергетические линии в приближении сильной связи (а) и приближении почти свободных электронов (6). 497 ПРИЛОЖЕНИЕ 1Ч 1.
Фундаментальные физические константы Постоянные СИ ео = 8,854 1О Ф/м; 1/4яео 9 1О м/Ф )хо = 4я 1О = 12,566 ° 1О Гн/м Скорость света в вакууме с = 2,9979 102 см/с Постоянная Планка Ь = 6,6261.10 эрг с; 8 = — = 1,0546 10 эрг с 2я Гравитационная постоянная 7=6,6726 10 дин см /г =6,6726 1О и Н и /кгэ Постоянная Больцмана /сна К=!,3807 10 ' эрг/Кж0,8617 10 'оМэВ/К Постоянная Авогадро Ь/А = 6,0221 0 моль Универсальная газовая постоянная /1 = 8,3145 1О эрг/(моль К) = 8,3145 Д2к/(моль.К) Постоянная Стефана-Больцмана 2/4 о = яГт = 5,6705" 1Π— 4 4 5,6705 10 -т 4 608 с с см.К м.К Постоянная в законе смещения Вина Ь = 2тахТ = 0,2898 см К Элементарный заряд с=4,8032 10 'сед. СГСЭ=1,60218 1О '9Кл Электрон-вольт 1 эВ = 1,60218 10 зрг Температура, соответствующая 1 зВ Гэв = 11 606 К Атомная единица массы 1 а, е, м.
= 1,66054 10 г (931,494 МэВ) 498 Квант магнитного потока !сверхпроводянгий) Фб« = — с = 2,0678 10 т Гс см2 2е Квант холловского сопротивления /4о = -7 = 25812,806377 Ом е Магнетон Бора иь- = — = 0,92740 10 2о эрг/Гс 2«44с Ядерный магнетон ряд = — = 0,50508 ! 0 ~ эрг/Гс 2я4гс Постоянная тонкой структуры 2 а = „= 7,2973 !О лс ' 137,036 Постоянная Ридберга 4 2 Д = 'и-'2-= « =!09737,3!см 4хб с 4«А4 Боровский радиус г! '= — 7 = — = 0,529!8.10 см 224 — 3 те « Атмосфера стандартная 1 атм = 101325 Па = 1,01325 10 дин/см Объем моля идеального газа при номальных условиях 1Р = 101325 Па; Т = 273,15 К) 1 „„= 22,4141 л/моль Ускорение силы тяжести 8 = 9,80665 м/с Электрон Масса гпе = 9,10939' 1О ~ г л4ес = 0,511 МэВ Удельный заряд е = — 5,2728 10 ед СГСЗ = — 1,7588 10" Кл/кг сл4 Комптоновская длина волны Л, = — = 3,8616 ° 10 см, Л, = — = 2,4263 1О ! см «4,С !Пее Классический радиус 2 гхх = — =2,8179 10 ! см ся«с 499 Протон Масса гир — — 1,6726 10 г = 1,007276 а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
