Диссертация (1173099), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Действительно, при различных значениях α и имеем: при α = 0 – процесс колебательный незатухающий, система неустойчива.При = 0 – процесс апериодический затухающий, система устойчива. При α ≠0 и ≠ 0 – процесс колебательный затухающий. Декремент затухания определяетсявыражением: = 2=�2Т1 2 3 − 14.Подставляя значение α = 1/2Т в уравнение (3.14), можно убедиться в том, чтостепень затухания зависит только от постоянной времени объекта Т, а частотаможет измениться при изменении величины коэффициентов усиления, что видноиз следующего уравнения: = −2 (B1cost + B2 sin t).793.4. Установившиеся процессы в экстремальных системах автоматическогоуправленияДля исследования установившихся процессов в экстремальных системахавтоматического управления можно пользоваться методом гармоническогобаланса, который обеспечивает получение необходимых параметров с достаточнойстепенью точности.Полагаем, что нам задана структурная схема экстремальной замкнутойсистемы, объект управления имеет выходную величину у, связанную с выходной хзависимостью: = ()2 = ().(3.15)Структурная схема приведена на рисунке 3.12.
Объект расположен междудвумя линейными звеньями с частотными передаточными функциями W1 (j) и W2(j). Структурная схема замкнута через нелинейное звено, которое вырабатываетсигнал и1 определенного знака, позволяющий минимизировать выходнуювеличину объекта у.Рисунок 3.12 - Структурная схема с объектом, расположенным между двумялинейными звеньямиЕсли экстремальная замкнутая система приходит к установившемусярежиму, то все параметры становятся периодическими функциями времени.Поэтому входную величину объекта х приближенно аппроксимируем синусоидой.Основанием для такого приближения являются фильтрующие свойства звена,80имеющего комплексный коэффициент передачи. Поэтому при прохождениисигнала u через данное звено высшие гармоники будут затухать быстрее посравнению с низшими.Следовательно, полагаем, что входной сигнал объекта изменяется посинусоидальному закону: = 0 ,(3.16)где – частота колебаний, которая пока неизвестна; 0 – амплитуда колебаний,также неизвестна.На основании уравнений (3.15) и (3.16) получаем:1 − 2 (0 )2 (0 )2 = (0 ) = (0 )=−2,222где =(0 )2пер −2222– постоянная составляющая;(0 )222 – переменная составляющая, которая имеет двойнуючастоту относительно входной величины х.Рисунок 3.13 - Колебания на входе и на выходе объектаГрафическое изображение колебаний на входе и выходе объекта приведенона рисунке 3.13.Входные колебания объекта можно записать в виде: = 0 .(3.17)81Выходная величина объекта соответствует вектору: =(0 )22 2 − 2 .(3.18)Выходные величины объекта ycp и упер проходят звено с частотнойпередаточной функцией W2 ().
Поэтому на выходе этого звена получаемпостоянную составляющую и переменную, которые определяются следующимивыражениями:22п = ср 2 ;(0 )2 2 −= 2 (2) 2 .2Эти составляющие поступают на вход нелинейного звена, котороепреобразует данный сигнал в постоянный по модулюВыходнойсигнал|1 | = = нелинейногозвенаизменяетсвойзнакнапротивоположный только тогда, когда начинает возрастать входная величина 2после прохождения своего минимума, который является оптимальным.
Полагаем,что изменение знака величины 1 происходит лишь тогда, когда значение 2увеличится на величину σ по сравнению со своим минимальным значением [38, 47,50, 57]. На выходе нелинейного звена образуется прямоугольная кривая с частотой, вдвое меньшей по сравнению с частотой сигнала 2 – входного для НЗ.Амплитуда В данной кривой сдвинута относительно входной кривой на угол ѱ.Условимся считать все фазовые сдвиги ѱ относительно сигнала частоты .Полагаем угол сдвига фаз для частоты 2 , равным ѱ1, тогда сдвиг во времени будетѱ1/( 2), или его можно принимать как сдвиг по фазе ѱ1/2, относящийся к частоте. При этом все углы сдвига фаз на частоте 2 необходимо разделить на 2. Такимобразом, угол сдвига ѱ0 для вектора упер будет не – π/2, а – π/4 :ѱ0 = – π/4.
Дополнительный угол сдвига фаз для u2 относительно упер будет:где 2 (2) = 2 (2).ѱ2 =2 (2),2Полагаем, что существуют колебания:821 = −2.(3.19)Отклонение параметра u1 от нулевого значения за малый промежутоквремени будет соответствовать следующему равенству: = 1 − 1 .Минимальный положительный корень уравнения (3.19) имеет, в следующийвид:δ.MСогласно приведенной формуле значение угла сдвига1 − cos2ωt =1(3.20)(0 )2(3.21)ѱ = = arccos �1 − �.2Полагаем, что значение М равно модулю переменной величины u2ω: = |2 (2)|2На основании формулы (3.20) находим угол сдвига фаз нелинейного звена:1ѱн.з = − �1 − �.2(3.22)Знак минус здесь указывает на отставание выходной величины от входной.Высшими гармониками пренебрегаем (ОНЧ присутствуют в сигнале на выходенелинейного звена), учитываем только первую гармонику с амплитудой В 1 .
Дляпервой гармоники угол сдвига по фазе, относящийся к началу отсчета времени,определяется формулой:ѱоб = ѱ0 + ѱ2 + ѱн.з .При этом выходная величина нелинейного звена определяется по формуле:1 = 1 ѱоб = 1 (ѱ0+ѱ2+ѱн.з)где В 1 – амплитуда выходного сигнала нелинейного звена, постоянная по величине.Выходной сигнал нелинейного звена поступает на вход звена с частотнойпередаточной функцией 1 (), которая преобразует его в сигналгде ѱ1 = arg 1 (). = 1 1 () = 1 | 1 ()| (ѱ0+ѱ2+ѱн.з+ѱ1) ,(3.23)Сравнивая (3.18) с (3.23), получаем:A0 = B1 |1 ()|, ѱ0+ ѱ1 + ѱ2 + ѱн.з = −2.(3.24)83Последнее равенство записано на основании предположения, что суммауглов отставания по фазе равна 2π .Задаемся величиной и подставляем ее в уравнение (3.24), в результатенаходим амплитуду А 0 .
Теперь можем определить величину М по формуле (3.21).Затем определяем угол сдвига фазы нелинейного звена ѱн.з по формуле (3.22),после чего можно определить общий угол сдвига фазы:ѱоб = ѱ0 + ѱ1 + ѱ2 + ѱн.з .Рассмотрим приближенный метод определения устойчивости предельногоцикла. Введем обозначение общего коэффициента усиления для первой гармоникипри разомкнутой цепи:об =1 |1 ()|= �0, �.0Если задаваться значениями А0, то можно построить графики ѱоб как функциичастоты .
Для этого обозначим через 0 то значение частоты , при которомобщий угол сдвига по фазе должен равняться 2π. Амплитуда предельного цикла А0определяется на основании условия, что общий коэффициент усиления цепи равенединице:′б = 1.Если увеличение амплитуды А0 на малую величину σА0 вызывает возрастаниеобщего коэффициента усиления К'об, то предельный цикл неустойчив, ввиду того,что ′б > 1:[′об ]0 = ∗0 > 0,0где ∗0 – амплитуда оптимального цикла.Предельный цикл устойчив, если с увеличением амплитуды А0 общийкоэффициент усиления цепи Коб уменьшается, что вызывает затухание колебаний,возвращая систему к оптимальной амплитуде ∗0 :∂∂K об �=�f[ , (0 )]�< 0,�∂A0∂A0 0=∗=∗00Следует иметь ввиду, что приведенные рассуждения об устойчивости84предельного цикла не являются строгими. Однако данное приближение допустимодля инженерных расчетов простейших экстремальных систем автоматическогоуправления.Для более строгого обоснования выбора параметров рассматриваемойструктурной схемы полагаем, что звено, расположенное перед объектом (рис.
3.9),является интегрирующим исполнительным, и его выходная величина определяетсяпо формуле:= ±0 |1 | = ±1 ,(3.25)где K1 – коэффициент, постоянный по величине, больше нуля;K0 — коэффициент передачи интегрирующего звена.Инерционное, апериодическое звено первого порядка, на выходе объектаописывается комплексной передаточной функцией:2 () =1,1 + 1где 1 – постоянная времени инерционного звена.Объект может быть представлен двумя звеньями – нелинейным и линейнымс передаточной функцией:илиНеобходимо122+ 2 = (),=осуществить11[() − 2 ].автоматический(3.26)поискзначенияxобеспечивающего экстремум (минимум) выходной величины у.Каждый раз, когда значение величины 2 после прохождения минимумаприрастет на величину σ, знак отклонения у изменится и выполнится условие: = 2 − 2 .(3.27)Уравнения (3.25), (3.26) и (3.27) являются условием реверса экстремальнойсистемы.Если выполним деление (3.26) на (3.25), то получим дифференциальноеуравнение фазовой траектории на плоскости (х, 2 ):85где Т0 = K1T1,> 0.2=±11 1[() − 2 ] = ±10[() − 2 ],(3.28)На основании приведенного выражения (3.28) можно установить, чтоэкстремум 2 при изменении величины х соответствуетусловие: () = 2 .= 0, если выполняетсяПостроим фазовую траекторию на плоскости (х, 2 ), приведенную на рисунке3.14.
Это статическая характеристика рассматриваемого объекта, соответствующаяравенству 2 = f (х).Рисунок 3.14 - График фазовых траекторий на плоскостиПолученная система уравнений второго порядка позволяет изобразить еедвижение на фазовой плоскости в виде изменения начального положения(движения) М0 изображающей точки М1, (рисунок 3.14). Полагаем, что знаквходного сигнала 1 положителен, уравнение (3.28) учитывает этот знак (плюс):������2=±10[() − 2 ].(3.29)Для принятого начального положения изображающей точки разность () −862 > 0 и2> 0 ; это объясняется тем, что фазовая траектория сначала идет кверху –отрезок M0N0.
В точке N0 происходит пересечение статической характеристики с2фазовой траекторией, поэтому= 0. На следующем участке N0N'0 фазоваятраектория опускается вниз, поэтому значение разности () − 2 <0 и2<0. Вточке N'0 фазовая траектория пересекает статическую характеристику, ипроизводная вновь обращается в нуль,2= 0.Рисунок 3.15 - График фазовой траектории предельного циклаНа участке N0′ M0′ фазовая траектория опять идет кверху, и когда разностьординат точек N0′ и M0′ достигает значения σ, происходит изменение знака u1 реверс. В точке M0′ заканчивается первый полуцикл движения изображающей точкии начинается второй полуцикл.
Выражение (3.29) показывает, что значениевеличины х начнет уменьшаться, а точка М будет двигаться по траектории M0′ M1 .В точке M1 вновь изменяется знак 1 , что будет свидетельствовать об окончаниивторого полуцикла. В результате изображающая точка переходит из положения М0в положение M1; после чего начинается второй цикл, который заканчивается в87точке 2 . В результате траектория движения изображающей точки приближаетсяк предельному циклу, когда система входит в режим установившихся колебанийвокруг точки экстремума, который характеризуется равенством координат точек вначале и конце цикла.Для удобства рассмотрения предельного цикла перенесем начало координатв точку экстремума-минимума, как это показано на рисунке 3.15.Для конкретизации рассматриваемого вопроса полагаем, что криваяхарактеризуется уравнением: = − 2 .(3.30)Рисунок 3.15 показывает только половину цикла, так как кривая симметричнаотносительно оси ординат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
