шпора (1172604), страница 6
Текст из файла (страница 6)
= 
по периодичности экспоненты.
Пусть 
. Тогда
=
.
Вывод. =
.
2. Доказать теорему об интегрировании изображения
Теорема об интегрировании изображения. Если 
- оригинал, то 
.
Доказательство. Обозначим 
. Тогда 
.
По теореме о дифференцировании изображения 
. Но 
. Поэтому 
= 
, так как 
.
Пример. 
.
22 билет
1.Доказать основную теорему Коши для многосвязной области
Интегральная теорема Коши для многосвязной области.
Пусть кусочно-гладкие контуры 
лежат внутри контура 
и вне друг друга. Пусть 
- аналитическая функция в области между контурами и на самих этих контурах. Тогда 
.
|
D   m A
K   B E
p q r s n  | Соединим контуры линиями AB, CD, EK. По интегральной теореме Коши интегралы по контуру AbpCDqEKmA и по контуру AnKEsDCrBA равны нулю. Представим эти интегралы как сумму интегралов по составляющим контуры дугам и сложим эти интегралы, сокращая интегралы по одним и тем же дугам в разных направлениях |
Складывая интегралы, получим
. Отсюда имеем
. Теорема доказана для случая n = 2. Для n > 2 доказательство аналогично.
Следствие 1. В условиях теоремы при n = 1 будет 
. Поэтому, если в какой-либо точке нарушается аналитичность функции, то интеграл может быть взят по любому кусочно-гладкому не самопересекающемуся контуру, охватывающему эту точку, мы получим один и тот же результат.
Следствие 2. Если кусочно-гладкий контур один раз охватывает некоторую точку, 
.а контур L n раз охватывает эту точку, то в условиях теоремы 
. Докажите это самостоятельно.
2.Доказать теорему о свертке оригиналов
Теорема о свертке (теорема о произведении изображений). 
.
Доказательство.
|
= = |
Пример. Найти оригинал, соответствующий изображению 
.
23 билет
1.Вывести формулу для вычисления вычета в полюсе
Если z0 – правильная особая точка, то ряд Лорана превращается в ряд Тейлора, в котором нет отрицательных степеней 
, поэтому 
=0.
Если z0 – полюс первого порядка, то разложение в ряд Лорана в окрестности этой точки не содержит степеней , ниже, чем –1 и содержит степень -1. Разложение выглядит так.
. Умножим обе части на .
Перейдем к пределу при 
, чтобы обратились в нуль все слагаемые в правой части, содержащие целые степени .
- формула для вычета функции в полюсе первого порядка.
В том случае, когда z0 – полюс первого порядка функции вида
, можно получить удобную в вычислениях формулу для вычета.
=
- формула для вычета функции в полюсе первого порядка. Здесь использованы условия 
.
Пример. Найти вычеты функции 
во всех особых точках конечной плоскости.
У функции два полюса первого порядка 
.
По первой формуле
.
Применим вторую формулу
. 
, 
.
В том случае, когда z0 – полюс n-го порядка, то разложение в ряд Лорана в окрестности этой точки не содержит степеней , ниже, чем –n и содержит степень –n 
. Разложение выглядит так.
Умножим обе части на 
.
.
Уничтожим степень при коэффициенте 
дифференцированием, его надо провести 
раз. Получим
Перейдем к пределу при . Все слагаемые в правой части, содержащие целые степени (второе, третье, четвертое и т.д.) обратятся в нуль. Отсюда имеем формулу для вычета функции в полюсе n – ого порядка:
Пример. 
. 
- полюс 1 порядка, z = 1 – полюс 2 порядка.
.
2.Доказать свойства свертки интегралов
Сверткой 
двух функций называется интеграл =
.
Свойства свертки.
-
Коммутативность.
![]()
-
Ассоциативность.
(доказательство громоздко, см. его в учебнике т.Х1).
-
![]()
- оригинал, если ![]()
- оригиналы.
Самостоятельно проверьте первые два требования к оригиналу. Проверим третье требование.
Пусть 
. Обозначим 
.
а) 
< 
б) 
.
.
24 билет
1.Основная теорема о вычетах и ее следствия
Общая теорема о вычетах.
|
z1 1 z2 2 Пусть функция - аналитическая в области  и на ее границе – кусочно-гладком контуре за исключением конечного числа изолированных особых точек  , лежащих внутри области . Тогда |
Доказательство. По интегральной теореме Коши для многосвязной области 
. Вычислим интеграл 
. Разложим функцию в ряд Лорана в окрестности точки 
и подставим в интеграл. По равномерной сходимости степенного ряда внутри круга сходимости, проведем почленное интегрирование и используем полученный ранее результат = .
=
.
Тогда =
.
2.Вывести формулу для нахождения изображения периодического оригинала.
Изображение периодической функции.
Пусть функция 
- периодическая с периодом Т. Обозначим 
.
Вычислим 
=
. Представим функцию в виде
и применим теорему запаздывания 
.
Примеры.
-
Найти оригинал по изображению
![]()
.
. По теореме запаздывания 
.
2) Найти изображение периодической функции с периодом Т. 
, 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
