шпора (1172604), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

В разложении старшая положительная степень – первая, поэтому - полюс первого порядка. Это же разложение справедливо в области , поэтому оно является разложением в окрестности точки . В нем бесконечное количество отрицательных степеней, поэтому точка - существенно особая.

2.Доказать теорему о дифференцировании изображения

Теорема о дифференцировании изображения. .

Доказательство. . Дифференцируем обе части по .

. Тогда .

Пример. Найти оригинал для изображения .

. Поэтому .

Пример. Найти изображение функции двумя способами.

1. . По теореме смещения .

2. . Дважды применим теорему о дифференцировании изображения: , .

20 билет

1.Сформулировать теоремы связи типа особой точки с видом лорановского распределения. И некоторые доказать

Рядом Лорана называется ряд = + .

Второе слагаемое представляет собой степенной ряд и, как всякий степенной ряд, сходится в круге . Это слагаемое называется правильной частью ряда Лорана и является, как сумма степенного ряда аналитической функцией.

Первое слагаемое называется главной частью ряда Лорана. Делая в нем замену , запишем главную часть в виде . Относительно переменной t

это – степенной ряд, сходящийся в некотором круге . Возвращаясь к переменной z, получим, что главная часть сходится во внешности круга, радиуса r:

. Ряд Лорана сходится в области, представляющей собой пересечение областей сходимости правильной и главной частей. Поэтому область сходимости ряда Лорана представляет собой круговое кольцо . Радиусы сходимости r, R определяются для степенных рядов обычным образом, сходимость на границах кольца также исследуется, как в степенных рядах. Кольцо может быть вырождено, представлять собой окружность, если r = R или пустое множество, если r > R.

Теорема. Для того чтобы была правильной точкой функции , необходимо и достаточно, чтобы функции была ограниченной в окрестности точки .

Доказательство. Необходимость. Если - правильная точка функции , то, доопределяя ее в точке , сделаем функцию аналитической, следовательно, и непрерывной, (тогда ). Непрерывная функция является ограниченной в некоторой окрестности точки .

Достаточность. Пусть функция - аналитическая в проколотой окрестности точки и ограничена в окрестности .

Так как функция аналитическая в круговом кольце , то по теореме Лорана ее можно разложить в этом кольце в сходящийся ряд Лорана . Справедливы неравенства Коши . Рассмотрим . . Следовательно, . Тогда ряд Лорана для функции превращается в ряд Тейлора . Доопределим функцию в точке .Тогда функция станет аналитической в окрестности как сумма степенного ряда. Поэтому точка - правильная точка функции .

Следствие. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности правильной точки представляет собой ряд Тейлора и не содержит членов с отрицательными степенями.

Теорема. Для того чтобы точка была полюсом n-го порядка функции , необходимо и достаточно, чтобы ее разложение в ряд Лорана по степеням не содержало степеней ниже (-n) и содержало слагаемое .

Доказательство. Необходимость. Если точка - полюс n-го порядка функции , то . Разложим аналитическую функцию в ряд Тейлора по степеням и подставим разложение. . .

Достаточность. Пусть . Тогда

, где - аналитическая в точке функция (как сумма степенного ряда). Поэтому - полюс n-го порядка функции .

Теорема. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности существенно особой точки конечной плоскости содержит бесконечное количество отрицательных степеней .

Доказательство. Если разложение в ряд Лорана в окрестности особой точки конечной плоскости не содержит отрицательных степеней, то точка - правильная (доказанная выше теорема) - противоречие. Если разложение в ряд Лорана содержит конечное число отрицательных степеней, то точка - полюс (.доказанная выше теорема) - противоречие. Остается только вариант наличия в разложении бесконечного числа слагаемых с отрицательными степенями.

Классификация особой точки (конечной плоскости) функции по ее разложению в ряд Лорана в окрестности этой точки.

Если разложение функции в ряд Лорана в окрестности (по степеням ):

1. Не содержит отрицательных степеней, то - правильная точка .

2. Содержит конечное число отрицательных степеней, то - полюс , причем наинизшая отрицательная степень определяет порядок полюса.

3. Содержит бесконечное количество членов с отрицательными степенями, то - существенно особая точка .

Это следует из доказанных выше теорем.

Классификация бесконечно удаленной особой точки функции по ее разложению в ряд Лорана в окрестности этой точки.

Разложение в ряд Лорана в окрестности точки , т.е. в области представляет собой ряд Лорана по степеням z: , в котором главная часть, определяющая особенности функции, содержит положительные степени, а правильная часть – отрицательные степени.

Если разложение в ряд Лорана в окрестности точки , т.е. в области :

1. Не содержит положительных степеней, то - правильная точка .

2. Содержит конечное число положительных степеней, то - полюс , причем наивысшая положительная степень определяет порядок полюса.

3. Содержит бесконечное количество членов с положительными степенями, то - существенно особая точка .

Примеры.

1. . Это и есть разложение в ряд Лорана в окрестности точки , т.е. в области , поэтому - полюс второго порядка.

2. . Разложение по степеням : справедливо в области , т.е. в окрестности точки . Оно содержит бесконечное количество членов с положительными степенями, поэтому - существенно особая точка .

3. . Запишем разложение в окрестности точки , т.е. в области .

. Разложение не содержит положительных степеней , поэтому точка - правильная, точнее, нуль первого порядка.

4. . Запишем разложение по степеням в окрестности точки .

В разложении старшая положительная степень – первая, поэтому - полюс первого порядка. Это же разложение справедливо в области , поэтому оно является разложением в окрестности точки . В нем бесконечное количество отрицательных степеней, поэтому точка - существенно особая.

2.Доказать теорему о свертке оригиналов

Теорема о свертке (теорема о произведении изображений). .

Доказательство.

Пример. Найти оригинал, соответствующий изображению

.

21 билет

1.Доказать основную теорему Коши для односвязной области

Интегральная теорема Коши (для односвязной области).

Пусть G – односвязная область, пусть функция f(z) – аналитическая в G функция, пусть L – кусочно—гладкий контур, принадлежащий области G. Тогда .

Теорему можно сформулировать и так: интеграл от аналитической функции вдоль кусочно-гладкого контура равен нулю.

Доказательство.

Применим к каждому слагаемому в правой части равенства формулу Грина. В первом интеграле примем P = u, Q = -v.

(для аналитической функции выполнены условия Коши – Римана ).

Во втором интеграле примем P = v, Q = u.

(условие Коши – Римана).

Поэтому .

Следствие. Пусть L₁, L₂ – две кусочно-гладких дуги в односвязной области G, соединяющие точки A, B. Пусть функция f(z) – аналитическая в области G. Тогда = .

Можно дать словесную формулировку: интеграл от аналитической функции в односвязной области вдоль кусочно-гладкой дуги не зависит от формы дуги, а зависит только от начальной и конечной точек дуги.

Доказательство. Образуем контур . По интегральной теореме Коши

. Но . Следовательно, .= .

Поэтому результат в рассмотренном выше примере не случаен.

Очень важный пример. Вычислить интеграл , где n – целое число, контур - окружность с центром в точке радиусом .

Покажем, что точки z на контуре можно описать уравнением , , - действительное число. В самом деле, , так как . Таким образом, контур - это геометрическое место точек комплексной плоскости, расположенных на расстоянии от точки - окружность с центром в точке радиусом .

Если , то подынтегральная функция – аналитическая внутри контура . Тогда по интегральной теореме Коши = 0.

Пусть . Так как точка z лежит на контуре , то , . Перейдем к переменной . Пусть .

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)