шпора (1172604)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

1 билет

1. Доказать интегральную формулу Коши

Интегральная формула Коши

Доказательство. По интегральной теореме Коши для многосвязной области

= , где - окружность с центром в точке , радиусом , . Радиус окружности выбран достаточно малым, чтобы окружность целиком лежала в области D. Так как (важный пример в предыдущей лекции), то . Оценим | | =

= | |

(на окружности , , так как . По непрерывности функции ).

. В силу произвольности | | = 0. Следовательно, .

2. Доказать теорему о дифференцировании оригинала

Теорема о дифференцировании оригинала.

Пусть - оригинал. Тогда .

Доказательство. , так как .

Следствие. Если - оригинал, то .

Доказательство.

… .

2 билет.

1. Доказать теорему о производной аналитической функции

Теорема. Аналитическая функция является бесконечно дифференцируемой в области аналитичности.

Доказательство. Можно показать, что интеграл в интегральной формуле Коши можно дифференцировать по z₀, как по параметру. Проводя это дифференцирование нужное число раз, получим формулу для n – ой производной аналитической функции.

, , ….

. Это - формула для n – ой производной аналитической функции.

С помощью полученных формул (деля обе части на коэффициент перед интегралом) можно вычислять интегралы вида

, .

Примеры. 1. (по интегральной формуле Коши)

2. (по формуле для первой производной)

3. Вычислить . Аналитичность функции нарушается в точках z=0, z=1. Рассмотрим два контура: – окружности с центрами в точках z=0, z=1, радиусами r=1/4. . По интегральной теореме Коши для многосвязной области = + = =

= .

2. Доказать теорему об интегрировании оригинала

Теорема об интегрировании оригинала. .

Доказательство. Обозначим . Это – оригинал (проверьте требования к оригиналу). . Обозначим . По теореме о дифференцировании оригинала . Так как , то .

Следовательно, .

Пример. .

.

3 билет.

1.Вычет аналитической функции в изолированной особой точке. Вычет в бесконечно удаленной точке. Доказать теорему о сумме вычетов. В том случае, когда точка - существенно особая точка, вычет в ней вычисляется единственным способом – непосредственным разложением функции в ряд Лорана и вычислением коэффициента при –1 степени.

Пример.

Здесь - существенно особая точка. Разложение в ряд Лорана в окрестности :

.

Вычетом функции в бесконечно удаленной точке называется коэффициент , (взятый со знаком минус коэффициент при –1 ой степени в разложении в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки).

Общая теорема о вычетах.

Доказательство. По интегральной теореме Коши для многосвязной области . Вычислим интеграл . Разложим функцию в ряд Лорана в окрестности точки и подставим в интеграл. По равномерной сходимости степенного ряда внутри круга сходимости, проведем почленное интегрирование и используем полученный ранее результат = .

= .

Тогда = .

Теорема. Сумма вычетов функции по всей расширенной плоскости равна нулю.

Доказательство. Выберем контур так, чтобы все особые точки функции лежали внутри контура. Тогда при обходе контура в положительном направлении надо учитывать

особые точки, попавшие внутрь контура, т.е. все особые точки конечной плоскости. По общей теореме о вычетах . С другой стороны, при обходе контура в отрицательном направлении мы должны учитывать только бесконечно удаленную точку и интеграл получится тем же, но со знаком «минус» (свойство интеграла). Поэтому - . Складывая эти интегралы, получим

.

Следствие. Сумма вычетов функции по всей конечной плоскости равна вычету функции в бесконечно удаленной точке, взятому со знаком «минус».

Доказательство. По предыдущей теореме . Отсюда .

2. Доказать теорему об интегрировании оригинала

Теорема об интегрировании оригинала. .

Доказательство. Обозначим . Это – оригинал (проверьте требования к оригиналу). . Обозначим . По теореме о дифференцировании оригинала . Так как , то .

Следовательно, .

Пример. .

.

4 билет.

1. Вывести интегральную формулу Коши

Интегральная формула Коши.

Интегральная формула Коши

Доказательство. По интегральной теореме Коши для многосвязной области

= , где - окружность с центром в точке , радиусом , . Радиус окружности выбран достаточно малым, чтобы окружность целиком лежала в области D. Так как (важный пример в предыдущей лекции), то . Оценим | | =

= | |

(на окружности , , так как . По непрерывности функции ).

. В силу произвольности | | = 0. Следовательно, .

2. Доказать теорему об интегрировании оригинала

Теорема об интегрировании оригинала. .

Доказательство. Обозначим . Это – оригинал (проверьте требования к оригиналу). . Обозначим . По теореме о дифференцировании оригинала . Так как , то .

Следовательно, .

Пример. .

.

5 билет.

1. Доказать теорему Абеля для степенных рядов (в комплексной плоскости)

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке , то он абсолютно сходится в круге . Если степенной ряд расходится в точке , то он расходится во внешности круга .

Доказательство (аналогично случаю действительной переменной).

1. Пусть ряд сходится в точке и .

Так как ряд сходится в точке , то по необходимому признаку сходимости ряда .

Тогда .

Исследуем степенной ряд на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд из модулей членов ряда. Оценим общий член ряда из модулей.

.

Ряд из модулей исходного ряда сходится по первому признаку сравнения числовых рядов (ряд сравнения – сходящаяся бесконечно убывающая геометрическая прогрессия ). Следовательно, исходный ряд в области сходится абсолютно.

Замечание. Казалось бы, что из признака Вейерштрасса в области следует равномерная сходимость исходного ряда, но здесь , а в признаке Вейерштрасса требуется указать один мажорирующий ряд для всех точек рассматриваемой области, то есть не должно зависеть от . Поэтому равномерную сходимость ряда в области утверждать нельзя. Однако если взять ( не зависит от ), то в области степенной ряд будет сходиться равномерно по признаку Вейерштрасса.

1. Пусть ряд расходится в точке и .

Если ряд сходится в точке , то по доказанному в пункте 1), он должен абсолютно сходиться в точке , следовательно, сходиться в точке . Это противоречит тому, что исходный ряд расходится в точке , следовательно исходный ряд расходится в области .

2. Вывести формулу для изображения периодического оригинала

Изображение периодической функции.

Пусть функция - периодическая с периодом Т. Обозначим .

Вычислим = . Представим функцию в виде

и применим теорему запаздывания .

Примеры.

1. Найти оригинал по изображению .

. По теореме запаздывания .

2) Найти изображение периодической функции с периодом Т.

,

6 билет.

1. Доказать теорему Абеля для степенных рядов (в комплексной плоскости)

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке , то он абсолютно сходится в круге . Если степенной ряд расходится в точке , то он расходится во внешности круга .

Доказательство (аналогично случаю действительной переменной).

1. Пусть ряд сходится в точке и .

Так как ряд сходится в точке , то по необходимому признаку сходимости ряда .

Тогда .

Исследуем степенной ряд на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд из модулей членов ряда. Оценим общий член ряда из модулей.

.

Ряд из модулей исходного ряда сходится по первому признаку сравнения числовых рядов (ряд сравнения – сходящаяся бесконечно убывающая геометрическая прогрессия ). Следовательно, исходный ряд в области сходится абсолютно.

Замечание. Казалось бы, что из признака Вейерштрасса в области следует равномерная сходимость исходного ряда, но здесь , а в признаке Вейерштрасса требуется указать один мажорирующий ряд для всех точек рассматриваемой области, то есть не должно зависеть от . Поэтому равномерную сходимость ряда в области утверждать нельзя. Однако если взять ( не зависит от ), то в области степенной ряд будет сходиться равномерно по признаку Вейерштрасса.

1. Пусть ряд расходится в точке и .

Если ряд сходится в точке , то по доказанному в пункте 1), он должен абсолютно сходиться в точке , следовательно, сходиться в точке . Это противоречит тому, что исходный ряд расходится в точке , следовательно исходный ряд расходится в области .

2. Доказать теорему об интегрировании оригинала

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов ответов (шпаргалок)