шпора (1172604), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Теорема о дифференцировании оригинала.

Пусть - оригинал. Тогда .

Доказательство. , так как .

Следствие. Если - оригинал, то .

Доказательство.

… .

11 билет

1. Достаточные условия дифференцируемости функции комплексного переменного (сформулировать и доказать)

Производная функции комплексной переменной вводится так же, как и для функции действительной переменной

.

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде

, то есть - бесконечно малая при . Главная линейная относительно часть приращения функции в точке , называется дифференциалом функции в точке , ( ).

Замечание. Функция двух переменных называется дифференцируемой в точке ( ), если ее приращение в этой точке можно представить в виде

+ + ,

где , - бесконечно малые при ,

, .

Теорема. Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы существовала ее конечная производная в этой точке.

Доказательство. Проводится так же, как и для функции действительной переменной с использованием теоремы о связи функции, предела и бесконечно малой.

Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке , тогда

,

Делим обе части на

. Так как - бесконечно малая при , то по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой, .

Поэтому - формула для вычисления дифференциала.

Достаточность. Пусть в точке существует конечная производная функции . Тогда по теореме о связи функции, предела и бесконечно малой . Умножая на , получим . Следовательно, функция дифференцируема в точке .

Функция называется дифференцируемой в области, если она дифференцируема в каждой точке этой области.

2. Доказать теорему запаздывания

Теорема запаздывания.

Доказательство . Заметим, что =0 при , .

.

12 билет

1. Доказать основную теорему Коши для односвязной области

Интегральная теорема Коши (для односвязной области).

Пусть G – односвязная область, пусть функция f(z) – аналитическая в G функция, пусть L – кусочно—гладкий контур, принадлежащий области G. Тогда .

Теорему можно сформулировать и так: интеграл от аналитической функции вдоль кусочно-гладкого контура равен нулю.

Доказательство.

Применим к каждому слагаемому в правой части равенства формулу Грина. В первом интеграле примем P = u, Q = -v.

(для аналитической функции выполнены условия Коши – Римана ).

Во втором интеграле примем P = v, Q = u.

(условие Коши – Римана).

Поэтому .

Следствие. Пусть L₁, L₂ – две кусочно-гладких дуги в односвязной области G, соединяющие точки A, B. Пусть функция f(z) – аналитическая в области G. Тогда = .

Можно дать словесную формулировку: интеграл от аналитической функции в односвязной области вдоль кусочно-гладкой дуги не зависит от формы дуги, а зависит только от начальной и конечной точек дуги.

Доказательство. Образуем контур . По интегральной теореме Коши

. Но . Следовательно, .= .

Поэтому результат в рассмотренном выше примере не случаен.

Очень важный пример. Вычислить интеграл , где n – целое число, контур - окружность с центром в точке радиусом .

Покажем, что точки z на контуре можно описать уравнением , , - действительное число. В самом деле, , так как . Таким образом, контур - это геометрическое место точек комплексной плоскости, расположенных на расстоянии от точки - окружность с центром в точке радиусом .

Если , то подынтегральная функция – аналитическая внутри контура . Тогда по интегральной теореме Коши = 0.

Пусть . Так как точка z лежит на контуре , то , . Перейдем к переменной . Пусть .

=

по периодичности экспоненты.

Пусть . Тогда

= .

Вывод. = .

2. Доказать теорему запаздывания

Теорема запаздывания.

Доказательство . Заметим, что =0 при , .

.

13 билет.

1. Вывести интегральную формулу Коши

Интегральная формула Коши

Доказательство. По интегральной теореме Коши для многосвязной области

= , где - окружность с центром в точке , радиусом , . Радиус окружности выбран достаточно малым, чтобы окружность целиком лежала в области D. Так как (важный пример в предыдущей лекции), то . Оценим | | =

= | |

(на окружности , , так как . По непрерывности функции ).

. В силу произвольности | | = 0. Следовательно, .

2. Доказать теорему смещения

Теорема смещения. .

Доказательство.

Здесь по теореме об области определения изображения.

Примеры.

Заданы изображения найти оригиналы .

.

.

14 билет

1. Вывести интегральную формулу Коши

Интегральная формула Коши

Доказательство. По интегральной теореме Коши для многосвязной области

= , где - окружность с центром в точке , радиусом , . Радиус окружности выбран достаточно малым, чтобы окружность целиком лежала в области D. Так как (важный пример в предыдущей лекции), то . Оценим | | =

= | |

(на окружности , , так как . По непрерывности функции ).

. В силу произвольности | | = 0. Следовательно, .

2. Доказать теорему о дифференцировании оригинала

Теорема о дифференцировании оригинала.

Пусть - оригинал. Тогда .

Доказательство. , так как .

Следствие. Если - оригинал, то .

Доказательство.

… .

15 билет

1.Доказать теорему о производной аналитической функции

Теорема. Аналитическая функция является бесконечно дифференцируемой в области аналитичности.

Доказательство. Можно показать, что интеграл в интегральной формуле Коши можно дифференцировать по z₀, как по параметру. Проводя это дифференцирование нужное число раз, получим формулу для n – ой производной аналитической функции.

, , ….

. Это - формула для n – ой производной аналитической функции.

С помощью полученных формул (деля обе части на коэффициент перед интегралом) можно вычислять интегралы вида

, .

Примеры. 1. (по интегральной формуле Коши)

2. (по формуле для первой производной)

3. Вычислить . Аналитичность функции нарушается в точках z=0, z=1. Рассмотрим два контура: – окружности с центрами в точках z=0, z=1, радиусами r=1/4. . По интегральной теореме Коши для многосвязной области = + = =

= .

2.Доказать теорему об интегрировании оригинала

Теорема о дифференцировании оригинала.

Пусть - оригинал. Тогда .

Доказательство. , так как .

Следствие. Если - оригинал, то .

Доказательство.

… .

16 билет

1.Вывести формулу для вычисления вычетов в полюсе

Если z₀ – правильная особая точка, то ряд Лорана превращается в ряд Тейлора, в котором нет отрицательных степеней , поэтому =0.

Если z₀ – полюс первого порядка, то разложение в ряд Лорана в окрестности этой точки не содержит степеней , ниже, чем –1 и содержит степень -1. Разложение выглядит так.

. Умножим обе части на .

Перейдем к пределу при , чтобы обратились в нуль все слагаемые в правой части, содержащие целые степени .

- формула для вычета функции в полюсе первого порядка.

В том случае, когда z₀ – полюс первого порядка функции вида

, можно получить удобную в вычислениях формулу для вычета.

= - формула для вычета функции в полюсе первого порядка. Здесь использованы условия .

Пример. Найти вычеты функции во всех особых точках конечной плоскости.

У функции два полюса первого порядка .

По первой формуле

.

Применим вторую формулу

. , .

В том случае, когда z₀ – полюс n-го порядка, то разложение в ряд Лорана в окрестности этой точки не содержит степеней , ниже, чем –n и содержит степень –n . Разложение выглядит так.

Умножим обе части на .

.

Уничтожим степень при коэффициенте дифференцированием, его надо провести раз. Получим

Перейдем к пределу при . Все слагаемые в правой части, содержащие целые степени (второе, третье, четвертое и т.д.) обратятся в нуль. Отсюда имеем формулу для вычета функции в полюсе n – ого порядка:

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)