шпора (1172604), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Теорема об интегрировании оригинала. .

Доказательство. Обозначим . Это – оригинал (проверьте требования к оригиналу). . Обозначим . По теореме о дифференцировании оригинала . Так как , то .

Следовательно, .

Пример. .

.

7 билет.

1. Достаточные условия дифференцируемости функции комплексного переменного (сформулировать и доказать)

Производная функции комплексной переменной вводится так же, как и для функции действительной переменной

.

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде

, то есть - бесконечно малая при . Главная линейная относительно часть приращения функции в точке , называется дифференциалом функции в точке , ( ).

Замечание. Функция двух переменных называется дифференцируемой в точке ( ), если ее приращение в этой точке можно представить в виде

+ + ,

где , - бесконечно малые при ,

, .

Теорема. Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы существовала ее конечная производная в этой точке.

Доказательство. Проводится так же, как и для функции действительной переменной с использованием теоремы о связи функции, предела и бесконечно малой.

Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке , тогда

,

Делим обе части на

. Так как - бесконечно малая при , то по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой, .

Поэтому - формула для вычисления дифференциала.

Достаточность. Пусть в точке существует конечная производная функции . Тогда по теореме о связи функции, предела и бесконечно малой . Умножая на , получим . Следовательно, функция дифференцируема в точке .

Функция называется дифференцируемой в области, если она дифференцируема в каждой точке этой области.

2. Доказать теорему о свертке оригиналов

Теорема о свертке (теорема о произведении изображений). .

Доказательство.

Пример. Найти оригинал, соответствующий изображению

.

8 билет.

1. Доказать основную теорему Коши для односвязной области

Интегральная теорема Коши (для односвязной области).

Пусть G – односвязная область, пусть функция f(z) – аналитическая в G функция, пусть L – кусочно—гладкий контур, принадлежащий области G. Тогда .

Теорему можно сформулировать и так: интеграл от аналитической функции вдоль кусочно-гладкого контура равен нулю.

Доказательство.

Применим к каждому слагаемому в правой части равенства формулу Грина. В первом интеграле примем P = u, Q = -v.

(для аналитической функции выполнены условия Коши – Римана ).

Во втором интеграле примем P = v, Q = u.

(условие Коши – Римана).

Поэтому .

Следствие. Пусть L₁, L₂ – две кусочно-гладких дуги в односвязной области G, соединяющие точки A, B. Пусть функция f(z) – аналитическая в области G. Тогда = .

Можно дать словесную формулировку: интеграл от аналитической функции в односвязной области вдоль кусочно-гладкой дуги не зависит от формы дуги, а зависит только от начальной и конечной точек дуги.

Доказательство. Образуем контур . По интегральной теореме Коши

. Но . Следовательно, .= .

Поэтому результат в рассмотренном выше примере не случаен.

Очень важный пример. Вычислить интеграл , где n – целое число, контур - окружность с центром в точке радиусом .

Покажем, что точки z на контуре можно описать уравнением , , - действительное число. В самом деле, , так как . Таким образом, контур - это геометрическое место точек комплексной плоскости, расположенных на расстоянии от точки - окружность с центром в точке радиусом .

Если , то подынтегральная функция – аналитическая внутри контура . Тогда по интегральной теореме Коши = 0.

Пусть . Так как точка z лежит на контуре , то , . Перейдем к переменной . Пусть .

=

по периодичности экспоненты.

Пусть . Тогда

= .

Вывод. = .

2. Доказать теорему смещения

Теорема смещения. .

Доказательство.

Здесь по теореме об области определения изображения.

Примеры.

Заданы изображения найти оригиналы .

.

.

9 билет.

1. Вывести необходимые условия дифференцируемости функции комплексного переменного

Производная функции комплексной переменной вводится так же, как и для функции действительной переменной

.

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде

, то есть - бесконечно малая при . Главная линейная относительно часть приращения функции в точке , называется дифференциалом функции в точке , ( ).

Замечание. Функция двух переменных называется дифференцируемой в точке ( ), если ее приращение в этой точке можно представить в виде

+ + ,

где , - бесконечно малые при ,

, .

Теорема. Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы существовала ее конечная производная в этой точке.

Доказательство. Проводится так же, как и для функции действительной переменной с использованием теоремы о связи функции, предела и бесконечно малой.

Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке , тогда

,

Делим обе части на

. Так как - бесконечно малая при , то по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой, .

Поэтому - формула для вычисления дифференциала.

Достаточность. Пусть в точке существует конечная производная функции . Тогда по теореме о связи функции, предела и бесконечно малой . Умножая на , получим . Следовательно, функция дифференцируема в точке .

Функция называется дифференцируемой в области, если она дифференцируема в каждой точке этой области.

2. Доказать свойства свертки оригиналов

Сверткой двух функций называется интеграл = .

Свойства свертки.

1. Коммутативность.

1. Ассоциативность.

(доказательство громоздко, см. его в учебнике т.Х1).

1. - оригинал, если - оригиналы.

Самостоятельно проверьте первые два требования к оригиналу. Проверим третье требование.

Пусть . Обозначим .

а)

<

б) .

.

10 билет.

1. Геометрический смысл производной аналитической функции

Рассмотрим комплекснозначную дифференцируемую в точке t и некоторой ее окрестности функцию действительной переменной z(t).

Наличие ненулевой производной означает наличие касательной к графику функции с углом наклона к действительной оси, равным .

Рассмотрим теперь комплекснозначную аналитическую функцию комплексной переменной . Пусть , где - действительное число. Тогда - комплекснозначная функция действительной переменной z(t), дифференцируемая в точке t и некоторой ее окрестности.

Касательная к графику функции, по рассмотренному выше, имеет угол наклона к действительной оси равный .

По теореме о сложной функции , поэтому

. Следовательно, - аргумент производной аналитической функции . имеет смысл угла поворота касательной к кривой в точке при ее отображении посредством функции .

Так как , , то - модуль производной аналитической функции имеет смысл коэффициента растяжения при отображении посредством функции . Все это справедливо в тех точках, в которых производная отлична от нуля.

Если две кривые отображаются посредством аналитической функции , то угол наклона касательной к каждой кривой изменяется в точке z на один и тот же угол , поэтому углы между кривыми сохраняются при отображении посредством аналитической функции (в тех точках, в которых ее производная отлична от нуля).

Отображение, сохраняющее углы между кривыми, называется конформным. Поэтому отображение посредством аналитической функции (в тех точках, в которых ее производная отлична от нуля) является конформным.

Пример. Линейное отображение ( ), как было показано выше, сводится к повороту на угол и растяжению в раз.

2. Доказать теорему о дифференцировании оригинала

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)