Н.Е. Жуковский - О гидравлическом ударе в водопроводных трубах (1163270), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Количество жидкости, прошедшее через сечение В н равное х~о "о~~ О ГИДРАЬЛИИЕСКОМ УДАРЕ трубы и изменение плотности Р, подвинется вправо на пространство АВИА Освободившийся от атой причины объем будет: с~ з)> ~~+к,о з ( Р— Ро 1,р о Сравнивая между собой оба объема и пользуясь соотношениями (3) и (4), найдем, что /2К„1 1.
Из втой формулы определяется искомая величина р — ре приращения давления от удара, которую мы будем обозначать через Р: оо 2йс „ На основании формулы (5) зто равенство преобразуется так: р ссл1 у (16) Мы видим, таким обравом, что приращение давления в трубе от ьидравлическоьо удара прял~о пропорционально скорости, потперянной на ударе, и скорости распространения волны в трубе. Формула (16) может быть точно так же выведена и из теоремы живых снл. Пусть длина трубы есть 1.
Вся живая сила воды, наполняющей трубу, будет: о 2 Д~з 1 о формуле (4): о„Я~; к1ОВ 2кЯо1 РИЯ В) " о 1~ Рс)Р ' о Р еЕ .( еЕ Эта живая сила потратилась на работу расширения трубы и сжатия воды. Так как первоначальное давление р„ уравновешено давлениями стенок трубы и упругости воды, то работу будет производить приращение давления„ которое изменяется от нуля до Р.
Работа на расширение стенок трубы будет по О ~ ИДРАВЛИЧЕ~ КШи УДАРЕ подобным же образом работа на сжатие воды на основании формулы (3) выразится так: —,.~~ Ч Г пКсЧ р тя;Ч вЂ” Рп* (й — й,) = — Р~)Р = — Р'. Приравнивая сумму этих работ вышенаписанной потерянной живой силе, найдем: откуда на основании формулы (5) сейчас же получим формулу (1б).
Величина оса 8 входящая в фомулу (1б), выражает нам высоту столба воды, соответствующую определенному давлению Р. Если выразим эту высоту в футах и разделим на 34 (средняя высота атмосферного давления), то найдем число атмосфер Ь> на которое прирастает давление на каждый фут потерянной скорости. Полагая, что д = 32 футам, а скорость 1 выражена в саженях, получим для определения Ь формулу: )х= — ' 71 1088' (17) По этой формуле составляем табличку величин 6: 2йю Ь следующую теоретическую а ат а дюймах 2 4 6 24 4,066 3,886 3,783 3,287 Первые три числа этой таблипы близки к 4> так что на основании теоретических соображений следует для труб 2, 4 и б" ожидать 4 апх добавочного давления на каждый фут потерянной скорости. й 5. Теоретическое определение вида ударной диаграммы в различных точках трубы.
Задача о виде диаграммы, которую вследствие быстрого прекращения истечения воды будет вычерчивать карандаш индикатора, соединенного с трубой в какой-нибудь ее точке, решается через определение произвольных функций, входящих в формулу (12). Это определение должно быть сделано так, чтобы удовлетворить заданным значениям и и р во всех точках трубы в начальный момент времени и условиям, которыми стеснены е н р при конце н начале трубы, за все время после начала закрытия задвижки.
В начальный момент времени вдоль всей трубы о имеет постоянное значение оо', мы будем сначала принимать для простоты, что и величина ро вдоль всей трубы при этом постоянна н мало отличается от давления в магистрали ', с которой труба соединена (это приблизительно имеет место, когда вода истекает из трубы при мало открытой задвижке) Если - будет время затвора, то от момента закрытия задвижки за время -., скорость е прн конце трубы будет выражаться некоторой функцией времени: о =Лг) зависящей от способа закрывания задвижки.
Эта функция за время -. убывает от о до О. По истечении времени -. будем для всего дальнейшего времени иметь при конце трубы о = О. При начале трубы, считая магистраль очень большого диаметра сравнительно с трубой, будем все время иметь постоянное давление р = ро. Для большего удобства мы будем вместо величины р рассматривать величину Р = р — ро и скажем относительно нее, что она в начальный момент равна нулю вдоль всей трубы и все время равна нулю у начала трубы прн магистрали.
Будем предполагать, что величины о и Р, данные формулой (12), слагаются из суммы величин: вв Р— Рг+Рг г В й 11 будет покавано, как отражается на виде индикаторной диаграммы то обстоятельство, что гидравлическое давление падает от начала к концу трубы. О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДЛРЕ где о, = Р(х — Бг), Р, = рл [ос — Р(х — М)], оз = — Р1 (х + >4, Р,= — р>Р~(х+М).
(18) (19) Фаза состояний о, и Р, будет передаваться по трубе вправо со скоростью ~. и будет называться памн правой волной; а фаза состояний оз и Рз будет передаваться по трубе со скоростью > влево и будет называться нами левой волной. О' г, , г ь х Фис 4 представляет выраженную во времени пробега ударной волной длину трубы (фиг. 4). Примем отрезок сБ за половину Если длина трубы есть 1, то функция Р, определяющая правую волну, должна быть найдена для всех значений аргумента от г' до — сс, а функция Рп определяющая левую волну, должна быть найдена для всех значений аргумента от 0 до+ зс.
Дадим здесь графическое построение этих функций, илн, что все равно, построим диаграммы правой н левой волн. Пусть О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ 75 основания прямоугольника аЫе, высота которого будет: со =- сс. Построим кривую с7, ордннаты которой отсчитываются вниз от горизонтали ое и выражают скорости воды у задвижки за время затвора; о = 7 (г) = Р ( — л~), причем абсциссы 1 откладываются по ое от о к е, так что о7'=т. Кривая с1 разделит наш прямоугольник аЬсе на две фигуры (1) и (2). Из этих фигур и складываются диаграммы, которые представляют правую и левую волны.
На фиг. 4 римскими цифрами 1 и П обозначаются упомянутые фигуры в том случае, если их пришлось положить на плоскость чертежа стороной, противоположной той, какой они лежат на плоскости, составляя прямоугольник аЫе. Над горизонталью, проходящей через трубу сЬ, помещена на фиг. 4 диаграмма правой волны, которая составлена последовательно из контуров: (2), (1), (П), (1),...; под упомянутой горизонталью помещена диаграмма левой волны, которая составлена последовательно из контуров:(2), Я, (П), (1),..., причем с,6 = сЬ. Величины с в правой волне даются вертикальными расстояниями горизонтали еИ от точек линии Ьс1сз1з..., а давления Р даются, согласно формуле (18), расстояниями упомянутой линии от горизонтали а6, умноженными на Р7.
Величины е в левой волне даются отрицательными значениями расстояний от горизонтали а6 точек линии сс,~„с,Д, а давления Р, согласно формуле (19), даются отрицательными значениями тех же расстояний, умноженными на РХ. Легко видеть, что построенные нами диаграммы правой и левой волн удовлетворяют всем вышеупомянутым начальным и граничным условиям. Действительно, предположив, что эти диаграммы движутся со скоростью, равной единице (единица скорости по горизонтали с6 соответствует скорости 1 по длине трубы), одна направо, другая налево, найдем для начального момента времени вдоль всей трубы с6 скорость О ГИДРАВЛИЧЕСКОз1 УДАРЕ 76 о= ее и давление Р=О; далее, начиная от момента закрытия задвижки, получим при ней скорость, представленную расстояниями точек кривой с7 от горизонтали еп', т.
е. изменяющуюся по заданному закону 7(г). После полного закрытия задвижки вдоль трубы с6 будет передаваться скорость о=О и давление Р=оср~. В тот момент, когда точка с правой волны подойдет к началу 6 трубы, к атой же точке подойдет и точка с, левой волны. С этого момента начнется сложение положительного давления Р>.6й (см. фиг. 4 под точкой 6), приносимого правой волной, с отрицательным давлением — Р~6ко пРиносимым левой волной. Так как Ы = 6йо то это сложение будет давать для значения Р прн начале трубы величину Р =-О; тоже будет иметь место, когда правая волна будет приносить к точке 6 значение Р, = †.псч., а левая Рз = — о„Р). Когда точка сз правой волны подойдет к точке о, а точка с, левой волны подойдет к точке с (см.
фиг. 4 над точкой с), то при конце трубы с начнется сложение положительной скорости ой, приносимой правой волной, с отрицательною скоростью сйп приносимой левой волной (см. фиг. 4 над точкою с). Так как во всякий момент времени ок= скп то все время при задвижке о= О; то же будет иметь место, когда правая волна будет приносить к задвижке -скорость пы а левая — скорость — о„. Продолжая рассуждать таким образом, убедимся, что за все время после удара при начале трубы будем иметь Р= О~ а при конце о = О. Построим теперь диаграмму индикатора для какой-нибудь точки трубы, отстоящей от конца трубы на расстояние '..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
