Н.Е. Жуковский - О гидравлическом ударе в водопроводных трубах (1163270), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Назовем через и модуль упругости воды (отношение увелнчивания давления к уменьшению объема, отнесенное к единице объема)„ через ро †давлен до удара и напишем: р — р = Эту формулй вследствие малой изменяемости плотности можно представить еще так: о — р р — ро= — —,Е ро (3) Вообразим теперь (фиг. 3) бесконечно тонкое полукольцо аЬ, представляющее половину части трубы, отрезаемой нашими сечениями А и В при их бесконечно близком расположении, и выразим, что силы упругости, развивающиеся в сечениях а Гу Гипоаоа г.. ' '» и (г этого полукольца, равны сумме проекций сил давления жидкости на средний радиус полукольца: 2гггхеЕ "=2йгггх(р — ро), Ео о где е — толщина стенок трубы, а Š— модуль упругости ее вещества. Вследствие малой изменяемости )х' написанное равенство может быть представлено в таком виде: еЕ р ро А й (К г'о)' (4) о Определяем величины р и К из формул (3) и (4) и подставляем нх в форму~у (2): Если для сокращения письма положим, что (5) 2й„р„ р й еЕ то написанная выше формула представится в следующем простом виде: дс б(р дх б(1' ' (б) Формулы (1) и (б) решают вопрос о распространении ударной волны в трубе.
Раскрывая в них полные производные по времени, будем иметь: дп др др йгр едх д1 дх ' Согласно способу исследования, который предложил Кгетаппг, умножаем первое из этих уравнений сперва на 1ь потом г Кге пг а п п, 0Ьег г21е Гогхрйапаппя еЬепег Ьпбхагецеп воп епг2йгеьег БеЬгагпвппйвггебхе, Севапагаене аиггегйе, 1376, б. 145. заа. 2388 — н. н. жуковский, т. тн„ О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ бб иа — >о и оба раза складываем со вторым. Получаем: д, д д, (Р ~ Робо) — (л+ и) д (Р+ Роли)~ д .. д — (Р— о 1п) =-- — (~ — п) —. (Р— о лп), д~ о -- ' д ,о (8) Введем для сокращения письма обозначения: 25 = Р— Ройс, Р+ 'олп (9) и заметим, что на основании формулы (8) д5 д5 — Ь = — (д — ( — )дг), дг дх дг дг д5 дх — й =- — Их+ (1+ о)й1.
д5 да = — дх+ дх (10) дг дг = — Нх+ дх Ро + "о"о' — — — ' П* — '1О (11) Р~Ж(хт Ю где Г и го — некоторые произвольные функции, а постоянные величины н множители прибавлены для удобства дальнейших выводов ° Эти уравнения показывают, что значение функпии 5 переносится вдоль трубы в положительную сторону оси Ох со скоростью волны 1 — и, а значение функции г переносится в прямо противоположную сторону со скоростью > + о.
Обе зти скорости не равны между собой и переменны вследствие изменяемости п; но в рассматриваемых нами опытах о не более 10 футов, тогда как постоянная величина л, как будет показано ниже, около 4200 футов. Вследствие этого мы можем, делая очень малую ошибку, сказать, что значения обеих функций 5 и г переносятся: одна в положительную сторону оси Ох, а другая — в отрицательную сторону ее с постоянной скоростью >.
Эта мысль выражается математически следующими формулами: О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ Е 5 Зная з и г, мы можем на основании формулы (9) определить во всякой точке трубы и во всякое время о и р. Этн функции будут: и =-= Г(х — И) — Р;(х +~Ху, р — Ро = Его — Р'(х — >,1) — Р;(х+ М)) Ро1. ) (12) Входящие сюда произвольные функции Г и г; должны быть определены по начальному состоянию течения жидкости н по граничным условиям в концах трубы. Скорость распространения ударной волны 1 будет дана формулой (5). Если бы стенки трубы были нерастяжимы, то мы должны были бы положить Е= оо и тогда получили бы для скорости ударной волны величину: / Ау (-) где 1 — плотность жидкости, отнесенная к весу„ а о — напряжение тяжести.
Это и есть скорость распространения звука в свободной жидкости. Если же, наоборот, мы бы имели несжимаемую жидкость, то надо бы положить 1= 'о, и мы нашли бы формулу: (14) л = которую вывел йеза1 для скорости распространения изменения давления несжимаемой жидкости вдоль упругой трубки.
В предположении сжимаемости жидкости и расширяемости стенок трубы мы получаем формулу (5), которой можно дать следующий простой вид: (1 5) Это есть формула, которую дает Ког1еооец для распространения звука; сказанное доказывает, что ова может быть применена и к гидравлическому удару. Заметим еше, что вошедшая в наш анализ формула (4) является приближенной, так как при выводе ее мы не обратилн внимания на силы упругости, развиваюшиеся в сечениях 5о нашего полукольца, перпендикулярных оси трубы, и на силы инерции вещества полукольца при его движении. Первое обстоятельство не должно оказывать заметного влияния при наблюдениях над водопроводными трубами, так как последние стыкаются из большого числа отдельных частей, которые могут быть рассматриваемы, как упругие кольца конечной длины.
Что касается сил инерции вещества трубы, то при имеющемся в наблюдениях времени затвора влияние этих сил является совершенно ничтожным сравнительно с аффектом сил упругости трубы. Действительно, если принять во внимание силы инерции вещества трубы, то формула (4) должна быть заменена следующей: где о, — плотность чугуна. Время закрытия задвижки, при всем нашем старании сделать его по возможности коротким, не могло быть сделано и'Ж менее, как 0,02 секч поэтому за наибольшее значение —., йз надо считать величину: 2(Ф вЂ” )~о) (0 02), — — 5000 (Й вЂ” Ао).
Подставляя вто в вышенаписанную формулу, представим ее на основании формулы (14) в таком виде: Р Рс = 27е()т )се)~с У + 2)т — ' 5000 о о Ро Для трубы в 2" в диаметре >,, как будет показано в конце этого параграфа, около 1834 саженей, так что — = (154 056)з, )~о ! 5000 "~ = — 7,8 5000= 6500. О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ йг = 673 сажени. Что касается скорости >.„ то она определяется по формуле (14) и выходит различной для труб различных диаметров, потому что дробь е 2~о входящая в упомянутую формулу, по правилам, установленным в практике, берется тем менее, чем диаметр трубы более. В таблицах, данных на Московском водопроводном съезде, имеем для труб, употребляемых в России, следующие соотношения между диаметром и толщиной: Вычислим скорость Хз для трубы диаметром в 2» и выразим эту скорость сначала в м.
Модуль упругости для чугуна, из которого делают водопроводные трубы, можно принять около 1 000 Ооо кг ~слав или 10гс кггг.из, так что Е=10!О. в дюймах в дюймах 10 32 11 32 13 б 32 22 32 Полагая в формуле (14): гх=9,8, 1=1000, Второе число, выРажающее влияние инерции, является совершенно ничтожным сравнительно с первым. Этим объясняется то обстоятельство, что при всех наших наблюдениях индикаторы ни разу не обнаруживали давлений жидкости, передаваемых по трубе с двумя различными скоростями, о которых говорят 1ашЬ и проф.
Громека. Величина лг представляет скорость распространения звука в свободной жидкости, т. е. в нашем случае в воде. Эта скорость, как известно, равна 1435 лг или б73 сажени, поэтому мы будем брать: 70 О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ найдем для трубы в 2" по приведенной таблице: 1 . /10" 98 10000.г— '2 1/ 8 4/ 102 8 Таким образом для трубы в 2" в диаметре >а=1834 сажени. Если эту величину >2 умножим соответственно на то получим скорости «2 для труб в 4, б и 24"; пользуясь же формулой (13), определим по >ч н 12 величину >. В нижеследующей таблице даны величины >2 и >, для труб четырех рассматриваемых диаметров. $4.
Теоретические опре- деления наибольшего увеличения давления во время гидравлического удара. После момента закрытия за- 217, в дюймах в саженях в саженях 2 ~ 1834 4 1 1360 632 604 588 511 движки в точке О прн конце трубы (фиг. 3) вдоль трубы будет, как ясно из сказанного в В 2, передаваться со скоростью 1 фаза, соот- 6 1207 24 786 поместится в пространстве между сечениями В и А, потому что во время й точка, с которой начинаются деформация ветствующая скорости нуль 'и наибольшему подъему давления р — ро. Пусть сечения А и В в нашей трубе расположены в данный момент времени так что в сечении А скорость жидкости есть нуль и давление есть наибольшее давление р, а в сечении В скорость жидкости есть о и давление есть давление до удара ро (мы предполагаем сначала для простоты рассуждения, что давление до удара одинаково во всей трубе).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
