Лекции Капустина 3 поток 2008 год 110 страниц (1159914), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Метрические и нормированные пространстваОпределение 1. Множество называется метрическим пространесли каждой паре (, ) элементов этого множества поставлено всоответствие неотрицательное число (, ) (называемое метрикой илирасстоянием между элементами и ), удовлетворяющее следующимусловиям (аксиомам ):ством,1. (, ) = (, )2. (, ) = 0 ⇔ = 3. (, ) 6 (, ) + (, ) (так называемая аксиома треугольника )Определение 2.
Элемент метрического пространства называется пределом последовательности { } (обозначается = lim ), если→∞53(, ) → 0 при → ∞.Последовательность { } элементов метрического пространства называется фундаментальной, если для любого > 0 найдётся номер 0 ()такой, что при , > 0 ( , ) < (другими словами, ( , ) →0 при → ∞ и → ∞).Последовательности в метрическом пространстве обладают следующимисвойствами:1. → ⇒ → (очевидно).2. → , → ⇒ = .Для доказательства достаточно заметить, что в силу аксиомы 3(, ) 6 (, ) + (, ). → , → , поэтому при → ∞(, ) → 0 и (, ) → 0.
Следовательно, (, ) = 0, то есть = .3. → ⇒ ( , ) 6 ∀.Опять же, в силу аксиомы треугольника для любого верно неравенство ( , ) 6 ( , ) + (, ) 6 + (, ) = .Введём следующие обозначения:∙Шаром с центром в точке и радиусом называется множествоточек (, ) = {(, ) < };∙Замкнутым шаром с центром в точкемножество точек (, ) = {(, ) 6 };∙Окрестностью точкии радиусом называется называется любой шар (, );∙ Множество называется ограниченным, если оно содержится в какомлибо шаре;∙ В метрическом пространстве точка называется предельнойточкой множества ( ⊂ ), если в любой окрестности точки содержится хотя бы одна точка множества , отличная от ,то есть если ∀ (, ) ∩ { ∖ } ≠ ∅;∙множества называется множество, полученное присоединением к всех его предельных точек;Замыканием∙ Множество называется замкнутым, если оно совпадает со своимзамыканием ( = );54∙ Множество называетсяние { = ∖ ;открытым,если замкнуто его дополне-∙ Множество называется всюду плотным в метрическом пространстве , если = ;∙ Множество называется нигде не плотным в метрическом пространстве , если любой шар пространства содержит в себешар без точек множества .Пример.
Рассмотрим на множестве действительных чисел следующуюметрику:{︃1, ̸= ,(, ) =0, = .В таком метрическом пространстве ни одно множество не будет иметьпредельных точек, поэтому любое множество будет одновременно и замкнутым, и открытым.Определение 3. Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в сходится к некоторому пределу, являющемуся элементом .Рассмотрим множество всех числовых последовательностей веществен∞∑︀ных чисел = (1 , 2 , . . . ) таких, что| | < +∞ ( > 1). Для его=1элементов = (1 , 2 , .
. . ) и = (1 , 2 , . . . ) определим расстояние поформуле(︃ ∞)︃ 1∑︁. (, ) =| − |=1Эта метрика удовлетворяет трём аксиомам метрического пространства.Полученное пространство называется пространством .Утверждение. — полное пространство.Доказательство. Рассмотрим в произвольную фундаментальную по()()следовательность { }, где = (1 , 2 , . . . ):∀ > 0 ∃ = () : ∀, > ( , ) =(︃ ∞∑︁=155)︃ 1()|() − |<Получаем, что∞∑︁()|() − | < ()⇒|() | < − ⇒()|()− | < .=1()А это означает, что последовательность { } сходится к некоторому .Поэтому последовательность { } сходится к некоторому = (1 , 2 , .
. . ).Докажем, что ∈ .Так как∞∑︁()|() | < ,− =1то для любого числа будет верно неравенство∑︁()|() | < .− =1Устремляя к бесконечности сначала , а затем , а также возводя неравенство в степень 1 , получаем неравенство∞ (︁∑︁| −() |)︁ 1< .=1Таким образом, при любом ( − ) ∈ . Кроме того, сами такжеявляются элементами Рассмотрим два числа, и . Очевидно, что |+| 6 ||+||. Если || > ||,то| + | 6 2|| ⇒ | + | 6 2 || 6 2 (|| + || ).Если же || 6 ||, то| + | 6 2||| + | 6 2 || 6 2 (|| + || ).⇒Таким образом, неравенство | + | 6 2 (|| + || ) выполняется всегда.()()Положим = − , = , = .
Получаем, что(︃∞∑︁)︃ 1| |=∞∑︁)︃ 1()| − ()+ |6=1=16(︃(︃ ∞∑︁)︃ 1(︀()() )︀2 | − | + | |=2=1(︃ ∞∑︁=156()| − | +∞∑︁=1)︃ 1()| |.∞∑︀Теперь применим то же самое неравенство для =∞∑︀()| − | , ==1()| | ,=1(︃∞∑︁ = 1 :)︃ 1| |(︃62=1∞∑︁()| − | +∞∑︁=1)︃ 1()| |6=1⎛(︃16 21+ ⎝∞∑︁)︃ 1()| − |+(︃ ∞∑︁=1)︃ 1 ⎞()| |⎠.=1В силу того, что ( − ) и являются элементами , справедливынеравенства(︃ ∞∑︁)︃ 1()| − |(︃< +∞,=1∞∑︁)︃ 1()| |< +∞.=1Но тогда справедливо и неравенство(︃ ∞∑︁)︃ 1| |< +∞,=1а оно означает, что ∈ .Теорема 1 (о вложенных шарах). Пусть в полном метрическом про-странстве имеется последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю:1 (1 , 1 ) ⊃ 2 (2 , 2 ) ⊃ .
. . , → 0 при → ∞.Тогда существует одна и только одна точка, принадлежащая всем этимшарам.Рассмотрим последовательность { } центров этихшаров. Так как + ⊂ , то + ∈ . Следовательно, (+ , ) < и поэтому стремится к нулю при → ∞.
Это означает, что последовательность { } является фундаментальной. Так как по условию задачирассматриваемое метрическое пространство является полным, то { }сходится к некоторому элементу этого же пространства.Доказательство.Возьмём любой шар . Тогда точки , +1 , . . . принадлежат .Так как шар по условию замкнут, предел последовательности { }∞=57также принадлежит . Следовательно, предел последовательности{ }∞=1 принадлежит всем шарам.Допустим, что существует точка , принадлежащая всем шарам и отличная от (то есть (, ) = > 0).
Так как , ∈ ∀, то справедливонеравенство = (, ) 6 (, ) + ( , ) 6 2 → 0 при → ∞.Мы получили противоречие; следовательно, всем шарам принадлежиттолько одна точка. Определение 4. Множество метрического пространства называ-ется множеством 1-й категории, если его можно представить в виде неболее чем счётного объединения нигде не плотных множеств. Множество,не являющееся множеством 1-й категории, называется множеством 2-йкатегории.Множество рациональных точек на R является множеством 1-й категории, множество иррациональных точек — множеством 2-й категории.Полное метрическое пространство является множеством 2-й категории.Пусть это не так. Тогда рассматриваемое простран∞⋃︀ство представимо в виде = , где множества , = 1, 2, .
. .=1нигде не плотны.Теорема 2 (теорема Бэра о категориях).Доказательство.Рассмотрим шар (, 1), где — произвольная точка пространства. Таккак множество 1 нигде не плотно, то внутри шара (, 1) найдётсяподшар 1 (1 , 1 ) радиуса 1 < 1, не содержащий точек 1 . Так как множество 2 нигде не плотно, то внутри шара 1 (1 , 1 ) найдётся подшар2 (2 , 2 ) радиуса 2 < 12 , не содержащий точек 2 . Проводя аналогичные рассуждения дальше, получим последовательность замкнутых шаров, вложенных друг в друга:1 (1 , 1 ) ⊃ 2 (2 , 2 ) ⊃ .
. . ,причём шар ( , ) не содержит точек ни одного из множеств 1 ,2 , . . . , . По теореме 1 существует точка ∈ , принадлежащая всемэтим шарам. Но тогда эта точка не принадлежит ни одному из множеств , объединением которых является ∋ . Мы получили противоречие⇒ наше предположение неверно. Теорема доказана. 58Рассмотрим оператор : → . Оператор называется сжимающим , если существует число < 1 такое, что для всех , ∈ справедливо неравенствоотображением (сжимающим оператором) на(, ) 6 (, ).Неподвижной точкойусловию = .оператора называется точка, удовлетворяющаяТеорема 3 (Принцип сжимающих отображений). Пусть — пол-ное метрическое пространство, — сжимающее отображение на .
Тогда имеет единственную неподвижную точку в .Фиксируем произвольный элемент ∈ и построимдля него итерационную последовательность { } следующим образом:Доказательство.1 = ,∀ > 1 = −1 .Заметим, что(2 , 1 ) = (1 , ) 6 (1 , ) = (, );...(+1 , ) 6 ( , −1 ) 6 (, ).Тогда(+ , ) 6 (+1 , ) + (+2 , +1 ) + · · · + (+ , +−1 ) 66 (, ) + +1 (, ) + · · · + +−1 (, ) = (1 − )(, ) 6(, ).=1−1−Так как < 1, то (+ , ) → 0 при → ∞. Это означает, что последовательность { } является фундаментальной. По условию — полноеметрическое пространство; следовательно, существует точка 0 ∈ , являющаяся пределом { } при → ∞.
Докажем неподвижность 0 :(0 , 0 ) 6 (0 , ) + ( , 0 ) == (0 , −1 ) + ( , 0 ) 66 (0 , −1 ) + ( , 0 ) → 0 при → ∞.Устремив к бесконечности, получим, что (0 , 0 ) = 0; следовательно,точка 0 действительно является неподвижной.Утверждение о том, что неподвижная точка единственна, докажем от59противного. Пусть существуют две неподвижных точки: = , = .Тогда(, ) = (, ) 6 (, ) ⇒ (, ) = 0,то есть = . Теорема полностью доказана.Пример. Одним из применений принципа сжимающих отображений яв-ляется доказательство существования и единственности решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода. Пусть (, ) — действительная функция, (, ) ∈ 2 (Π), где Π — квадрат ( 6 , 6 ) (это усло∫︀ ∫︀вие, вообще говоря, можно заменить условием 2 (, ) < +∞),и пусть, кроме того, функция () ∈ 2 (, ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
