Лекции Капустина 3 поток 2008 год 110 страниц (1159914), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

, Im = .Очевидно, выполнено соотношение = 0 ⊇ 1 ⊇ . . ..Лемма 2. Существует такой номер , что = .Доказательство. Предположим, что такого номера не существует.−1По лемме 1 образ оператора — замкнутое множество, поэтому оноявляется подпространством. Применим теорему Леви: = 1 ⊕ ( 1 )⊥ .Тогда существует элемент 1 ∈ ( 1 )⊥ такой, что ‖1 ‖ = 1 (иначе = 1 , = 1). Применим теорему Леви для 1 : 1 = 2 ⊕ ( 2 )⊥ .Аналогично предыдущему случаю, существует элемент 2 ∈ ( 2 )⊥ , ‖2 ‖ =1, причем 1 ⊥ 2 .Так как по предположению не существует номера , при котором наступает стабилизация, продолжая этот процесс по всем , = 1, 2, .

. .,получим счетную ортонормированную систему.Рассмотрим теперь два элемента полученной системы и , где > .Справедливо равенство − = − − + ,105из которого следует, что − = − −( − ), ∈ ( +1 )⊥ , − −( − ) ∈ +1 .Это означает, что‖ − ‖2 = ‖ ‖2 + ‖ − − ( − )‖2 > ‖ ‖2 = 1,поэтому из последовательности { } нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность. Но это противоречит тому, что является вполненепрерывным оператором. Полученное противоречие доказывает требуемое утверждение.

Лемма 4. Если ядро оператора не содержит отличного от нуля элемента, то его образ совпадает со всем пространством:ker = 0⇒Im = .Доказательство. Предположим обратное. Пусть Im = ̸ , тогда=существует элемент 0 ∈ ∖ . По лемме 3, существует номер , такойчто = +1 . Следовательно,11 0 ∈ и∃ ∈ ,+1 = 0 .Тогда справедлива цепочка равенств = −1 0 ,−1 = −2 0 ,..., = 0 .Получили 0 ∈ 1 , что противоречит изначальному предположению0 ∈ ∖ 1 .

Замечание. Аналогично доказывается, что ker = 0 ⇒ Im = .Лемма 5. Если образ оператора совпадает со всем пространством, его**ядро содержит только нулевой элемент:Im = ⇒ker = 0.Доказательство. По лемме 2 представимо в виде = Im ⊕ ker * .Из этого разложения следует, что ker * = 0. Cледовательно, по лемме 4Im * = . С другой стороны, представимо в виде = Im * ⊕ ker ,106откуда следует, что ker = 0.Теорема 2 (вторая теорема Фредгольма, альтернатива Фредгольма). Либо операторное уравнение = разрешимо при любойправой части, либо соответствующее однородное уравнение = 0 имеет нетривиальное решение.Допустим, что уравнение = разрешимо при любой правой части.

Это означает, что Im = , и по лемме 5 ker = 0.То есть однородное уравнение имеет только тривиальное решение.Доказательство.Если же уравнение = разрешимо не для всех , то Im ̸= .Следовательно, ker ̸= 0 и однородное уравнение имеет нетривиальноерешение. Теорема 3 (третья теорема Фредгольма). Размерности ядра оператора и сопряженного оператора * конечны и равны:dim ker = dim ker * < +∞.Доказательство.

Обозначимdim ker * = .dim ker = ,Если = +∞, то в ker можно выбрать счетный ортонормированныйбазиз { }. Но тогда√ = для любого и ‖ − ‖ = ‖ − ‖ = 2,то есть из { } нельзя выбрать сходящейся подпоследовательности. Этопротиворечит компактности оператора .Аналогичным образом доказывается, что < +∞.Предположим теперь, что > . Выберем в ker ортонормированныйбазис { }, а в ker * — ортонормированный базис { }.Рассмотрим следующий оператор: = −∑︁(, ) .=1Он будет являться вполне непрерывным. Если = 0, то∑︁(, ) =(, )( , ) = (, ) = 0.=1107Из последнего соотношения получаем, что все коэффициенты Фурье разложения элемента по базису { } равны нулю, поэтому = 0 и одновременно выполнено ⊥ ker и ∈ ker .

Следовательно, = 0.Таким образом, если = 0, то = 0. По второй теореме Фредгольма вэтом случае существует решение уравнения = −∑︁(, ) = +1 .=1Умножив скалярно обе части на +1 , получим 0 = 1 (так как ker * =(Im )⊥ и в силу того, что { } — ортонормированная система). Следовательно, 6 .Аналогичным образом рассматривая случай > , получим 6 . Следовательно, = . §14. Спектральная теория в бесконечномерном пространстве.Рассмотрим линейный ограниченный оператор , действующий из банахова пространства в банахово пространство : ∈ ( → ). Если ∈ ( → ), то для произвольного ∈ C можем определить оператор − .Определение 1. Число ∈ C называется регулярным значением оператора , если оператор = ( −)−1 определен на всем пространстве .При этом оператор будет являться ограниченным (по теореме Банаха).Определение 2. Множество всех регулярных значений оператора называется резольвентным множеством оператора :() = { ∈ C | (( − )−1 ) = }.Определение 3.

Спектром оператора называется множество всехкомплексных чисел, не являющихся регулярными значениями :() = C ∖ ().Если выполнены следующие условия:1081. ker( − ) = 02. Im( − ) = ,то будет регулярным значением .Определение 4. Если ker( − ) ̸= 0, то называется собственнымзначениемоператора .Элемент ̸= 0,ным элементом ∈ ker( − ) называется в таком случаеоператора .собствен-Спектр в бесконечномерном пространстве может состоять не только изсобственных значений. В доказательство можно привести следующийРассмотрим оператор (()) = (), действующий в пространстве [0; 1]. Для него верны следующие соотношения:Пример.( − )() = ( − )();().−Допустим, () ∈ ker( − ), тогда ( − )() ≡ 0.

Cледовательно,() ≡ 0. Это означает, что у оператора нет ни одного собственногозначения.( − )−1 () =Посмотрим на спектр оператора . Если оператор ( − )−1 существует, то он имеет вид, указанный выше. Поэтому при любых ∈ R ∖ [0; 1]он определен на всем пространстве. Следовательно, спектром оператораявляется отрезок () = [0; 1]. При этом, как уже было показано выше, не имеет ни одного собственного значения. По определению спектра, если резольвентное множество открыто, тоспектр будет являться замкнутым множеством.Теорема 1 (Гильберта - Шмидта). Пусть — самосопряженный оператор, действующий в гильбертовом пространстве .Если является вполне непрерывным, то любой элемент ∈ Im представим в виде∑︁=(, ) , ̸=0где { } — собственные значения оператора , а { } — соответствующиеим собственные элементы.109.

Характеристики

Список файлов лекций