Лекции Капустина 3 поток 2008 год 110 страниц (1159914), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Значит, в силу теоремы 8 для любого > 0⃒⃒⃒∫︁⃒⃒⃒⃒ ()⃒ < при → ∞,⃒⃒⃒⃒ () = 0. Второе слагаемое также можно устремить к∫︀0 в силу произвольности . Таким образом, | () − ()| → 0 прито есть lim∫︀→∞ → 0 и → ∞. Из этого следует, что последовательность { ()} сходится к функции () в (). Следствие. Если последовательность измеримых на множестве функ-ций { ()} сходится к функции () почти всюду на и существует интегрируемая на множестве функция () такая, что для всехномеров и почти всех точек множества справедливо неравенство| ()| 6 (), то функция () суммируема на и справедливо равенство (**).Так как последовательность измеримых функций { ()}сходится к () почти всюду на , то в силу теоремы 4 параграфа 3функция () также будет измерима на . Следовательно, по теореме5 параграфа 3 из сходимости { ()} к () почти всюду на следует сходимость { ()} к () по мере на .
Но тогда в силу теоремы 9функция () суммируема на , { ()} сходится к () по мере на иДоказательство.38выполняется требуемое равенство (**).Теорема 10 (теорема Леви). Пусть { ()} - последовательность измеримых и интегрируемых на множестве функций, и пусть для всехномеров и для почти всех точек множества справедливо неравенство () 6 +1 (). Пусть существует⃒ такая, что для всех⃒ константа⃒⃒∫︀номеров справедливо неравенство ⃒⃒ ()⃒⃒ 6 .
Тогда для почтивсех точек ∈ существует конечный предел lim () = (), причём→∞предельная функция () суммируема на множестве и справедливоравенство (**).Не ограничивая общности, будем считать, что все () > 0 почти всюду на (в противном случае вместо функций ()можно рассматривать функции () = () − 1 (), которые по условию будут являться неотрицательными для почти всех точек ).Доказательство.Так как последовательность { ()} почти всюду на не убывает, топочти во всех точках определена предельная функция (), котораяпринимает в этих точках либо конечные значения, либо равна = ∞. Еслимы докажем, что () интегрируема на , то из этого будет следовать,что () является конечной почти всюду на , а следовательно, почтивсюду на будет существовать конечный предел lim () = () и вы→∞полняться равенство (**).Итак, для доказательства теоремы достаточно установить интегрируемость предельной функции () на множестве .Заметим, что для любого > 0 последовательность {( ) ()} почтивсюду на сходится к функции ( ) (), причём для всех номеров ипочти всех точек справедливо неравенство ( ) () 6 ( ) ().
Крометого, функция ( ) () является измеримой и ограниченной, а следовательно, и интегрируемой на множестве . Поэтому применимо следствиеиз теоремы 9, в силу которого∫︁∫︁lim ( ) () = ( ) ().→∞Из этого соотношения и очевидного неравенства∫︁∫︁ () > ( ) ()39заключаем, что∫︁∫︁( ) (). () >lim→∞Кроме того, по условию существует такая константа , что для всехномеров ∫︁ () 6 .Следовательно, и∫︁( ) () 6 .Интеграл в левой части этого неравенства является неубывающим по ,поэтому существует конечный предел∫︁lim( ) () = (), →∞а это и означает, что функция () интегрируема на множестве .Следствие (формулировка теоремы Леви в терминах функциональных рядов). Если каждая функция () неотрицательна почтивсюду на множестве , измерима и интегрируема на этом множестве, иесли сходится ряд∞ ∫︁∑︁ (),=1 то почти всюду на сходится ряд∞∑︁ (),=1причём сумма () этого ряда интегрируема на множестве и удовлетворяет условию∫︁∞ ∫︁∑︁() = ().=1 Теорема 11 (теорема Фату).
Если последовательность измеримых иинтегрируемых на множестве функций { ()} сходится почти всюдуна к предельной функции () и если существует∫︀константа такая,что для всех номеров справедливо неравенство | ()| 6 , то40предельная функция ∫︀ () интегрируема на множестве и для неё справедливо неравенство | ()| 6 .Доказательство.
Введём в рассмотрение функции () = inf | ()|.>Заметим, что последовательность { ()} является неубывающей и почти всюду на сходится к | ()|, а каждая функция () неотрицательна и является измеримой в силу теоремы 3 параграфа 3. Кроме того, для любого справедливо неравенство () 6 | ()|, из которогов силу теоремы 6 следует интегрируемость функций () на множестве .
Наконец, справедливо неравенство∫︁∫︁ () 6 | ()| 6 .Получаем, что к последовательности { ()} применима теорема 10. Следовательно, предельная функция | ()| интегрируема (откуда сразу следует интегрируемость функции ()) и выполняется равенство∫︁∫︁lim () = | ()|.→∞Так как для любого номера ∫︁ () 6 ,то верно и неравенство∫︁| ()| 6 .Таким образом, теорема полностью доказана.Теорема 12 (теорема Лебега).
Пусть измеримое множество имеетконечную меру. Для того, чтобы ограниченная функция () была интегрируема на множестве по Лебегу, необходимо и достаточно, чтобыона была измерима.Достаточность доказана в теореме 2. Докажем необходимость.Доказательство.41Пусть функция () ограничена и интегрируема по Лебегу на измеримом множестве . Следовательно, её верхний и нижний интегралы Лебега совпадают, а это значит, что существует последовательность раз()биений = { } множества такая, что соответствующие последовательности верхних { } и нижних { } сумм удовлетворяют условию(+1)} − < 1 , причём каждое последующее разбиение +1 = {()является измельчением предыдущего разбиения = { }.
(Для построения такой последовательности разбиений достаточно там, где этонеобходимо, брать произведение вводимых разбиений.)По определению =()∑︀()()()где | |,= sup ();=1 =()∑︀()()()()где = inf (). | |,()=1Определим две последовательности функций { ()} и { ()}, где()() () = на ,()() () = на .Для каждого номера обе функции () и () измеримы на множестве , так как они представляют собой линейные комбинации харак()теристических функций измеримых множеств .
Кроме того, последовательность { ()} не возрастает, а последовательность { ()} неубывает на множестве , причём для любого номера в каждой точкемножества справедливы неравенства () 6 () 6 ().Положим () = lim (), () = lim (),→∞→∞тогда в каждой точке множества () 6 () 6 ().Из теоремы 10 (Леви) получаем, что∫︁∫︁lim [ () − ()] = [ () − ()].→∞42С другой стороны, из определения функций () и () вытекает, что∫︁∫︁ () = , () = ,причём по построению lim ( − ) = 0. Следовательно,→∞∫︁[ () − ()] = 0.Кроме того, функция [ () − ()] ограничена и измерима, а значит, иинтегрируема на множестве . Кроме того, эта функция ещё и неотрицательна, поэтому в силу теоремы 5 () − () = 0 почти всюду на .Следовательно, () = () = () почти всюду на , и поэтому из измеримости функций () и () вытекает измеримость функции ()на множестве .
4.4. Случай|| = +∞Мы рассматриваем случай, когда множество имеет бесконечную меру,но может быть представлено в виде суммы счётного числа множеств конечной меры (в таком случае говорят, что мера множества является -конечной ).Определение 1. Говорят, что последовательность множеств { } ис с -конечной мерой, если для каждого номера∞⋃︀ | | < +∞, ⊂ +1 и = .черпывает множествоОпределение 2. Измеримая функция (), определённая на множестве=1 с -конечной мерой, называется интегрируемой на , если она интегрируема на каждом измеримом подмножестве ⊂ конечной меры иесли для каждой последовательности { }, исчерпывающей множество , предел∫︁ = lim ()→∞существует и не зависит от выбора этой последовательности.
Тогда называется интеграломЛебега от () по множеству и обозначается∫︀символом = ().43Теорема 1 (теорема Фубини). Пусть функция (, ) интегрируемана Π = {(, ) : 6 6 , 6 6 }. Тогда для почти всех ∈ [, ]∫︀∫︀существует (, ), для почти всех ∈ [, ] существует (, ) и∫︁∫︁ ∫︁ (, ) =∫︁ (, ) =Π∫︁∫︁ (, ).Замечание. Обратное, вообще говоря, неверно.Пример — функция (, ) =⎧⎨(2+ 2 )2вне нуляпри = = 0⎩0на множестве = [−1; 1] × [−1; 1].§5. Пространство , > 1.Рассматриваем случай, когда — измеримое множество.над полем называется непустое множество , на котором введены следующие операции:Линейным (векторным пространством)1.
операция сложения: каждой паре элементов , множества ставится в соответствие элемент , обозначаемый + ;2. операция умножения на скаляр (элемен поля ): любому элементу ∈ и любому элементу ∈ ставится в соответствие элемент, обозначаемый .При этом должны выполняться следующие условия:1. + = + ∀, ∈ ;2. + ( + ) = ( + ) + 3. ∃ ∈ : + = ∀, , ∈ ;∀ ∈ ;4. ∀ ∈ ∃(−) ∈ : + (−) = ;5. () = ()6. 1 · = ∀ ∈ ;∀ ∈ ;447. ( + ) = + ∀ ∈ ;8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
