Лекции Капустина 3 поток 2008 год 110 страниц (1159914), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Пусть || < +∞, () > 0 и∞⋃︀измерима на , представимо в виде = , ∩ = ∅ при ̸= .=1Тогда справедливы следующие два утверждения:1. Если () интегрируема на , то () интегрируема на и справедливо равенство∫︁ () =∞ ∫︁∑︁ ().(*)=1 2. Если () интегрируема на и ряд в правой части (*) сходится,то () интегрируема на и (*) выполняется.Доказательство.а) Сначала докажем утверждения 1 и 2 для ограниченной неотрицательной интегрируемой функции (). Пусть существует константа такая,что | ()| 6 всюду на . Положим =∞⋃︁ ,тогда | | ==+1Ряд∞⋃︁∞⋃︁| |.=+1| | = || — сходится,=1поэтому его остаток | | → 0 при → ∞.Тогда на основании свойств 1, 4 и 5∫︁ ()− ∫︁∑︁=1 ∫︁ () =∫︁ () 6 30 6 | | → 0 при → ∞.Это и означает правильность утверждений 1 и 2 в случае ограниченной ().б) Пусть теперь () — произвольная неотрицательная интегрируемаяфункция.
Суммируемость () на каждом из множеств напрямуюследует из неравенства∫︁∫︁ () 6 ()и неубывания по интеграла в левой части этого неравенства. Заметим, что функция срезки () является ограниченной, поэтому в силупункта а)∫︁∞ ∫︁∞ ∫︁∑︁∑︁ () = () 6 ().=1 =1 Переходя в этом неравенстве к пределу при → ∞, получим∫︁ () 6∞ ∫︁∑︁ ().=1 С другой стороны, для любого номера ∫︁ () =∞ ∫︁∑︁ () >=1 ∫︁∑︁ ().=1 Последовательно переходя к пределу сначала при → ∞, а затем при → ∞, получим неравенство∫︁ >∞ ∫︁∑︁ ()=1 Из двух полученных нами неравенств следует, что∫︁ =∞ ∫︁∑︁ (),=1 что и доказывает правильность утверждения 1.31Правильность утверждения 2 следует из неравенства для функции ():∫︁ () =∞ ∫︁∑︁ () 6=1 ∞ ∫︁∑︁ ().=1 Так как ряд в правой части этого неравенства сходится, функция ()будет являться суммируемой на множестве , а следовательно, для неёбудет выполняться равенство (*).
Теорема 4 (об абсолютной непрерывности интеграла Лебега).Пусть || < +∞, () — неотрицательная, интегрируемая на множестве по Лебегу функция. Тогда для любого > 0 найдётся число > 0такое, что для любого подмножества ⊂ , || < , будет выполнятьсянеравенство∫︁ () < .Доказательство.а) Сначала проведём доказательство в случае, когда функция () ограничена, то есть существует константа такая, что | ()| 6 всюду на . Тогда∫︁∫︁. () 6 = || < < при <б) Пусть теперь () — произвольная неотрицательная, интегрируемаяна функция. В силу интегрируемости для любого > 0 найдётся число = () такое, что∫︁( () − ()) < .2Но тогда∫︁∫︁∫︁ () = ( () − ()) + () << +2∫︁ = + || < + < 22Теорема доказана.32при <.2 ()Теорема 5.
Пусть множество имеет конечную меру,функция ()∫︀неотрицательна и интегрируема по Лебегу на , а () = 0. Тогдафункция () эквивалентна тождественному нулю (то есть множество,на котором () ̸= 0, имеет меру 0).Для любого > 0 положим = [ > ]. Тогда∫︁∫︁ () > () > | |.Доказательство.Следовательно, для любого > 0∫︁1| | 6 () = 0⇒| | = 0.Заметим, что∞⋃︁[︂1 >[ > 0] ==1]︂Поэтому]︂⃒∞ ⃒ [︂∑︁⃒⃒1⃒=0⃒ >|[ () > 0]| 6⃒⃒=1Теорема доказана.⇒|[ () > 0]| = 0.Теорема 6. Пусть множество имеет конечную меру, () и () —12неотрицательные, измеримые на функции и 1 () > 2 (). Тогда, еслифункция 1 интегрируема по Лебегу на , то и 2 интегрируема по Лебегуна и∫︁∫︁2 () 6 1 ()Доказательство. Заметим, что∫︁∫︁2 () 6∫︁1 () 61 ().Интеграл в левой части неравенства является неубывающим по , поэтому функция 2 () интегрируема на . Справедливость неравенства∫︁∫︁2 () 6 1 ()напрямую следует из свойства 5.334.3.
Интеграл Лебега для неограниченной функциилюбого знакаРассматриваем измеримое множество конечной меры и измеримуюфункцию (), не являющуюся, вообще говоря, ограниченной на множестве и принимающую на этом множестве значения любых знаков.Введём в рассмотрение две неотрицательные функции1 − () = (| ()| − ()).21 + () = (| ()| + ()),2Очевидно, что + () + − () = | ()|, + () − − () = ().Определение 1. Функция () называется интегрируемой на множестве , если на этом множестве интегрируемы функции + (), − ().При этом интегралом Лебега от функции () по множеству называется∫︁∫︁∫︁+ () = − − .Совокупность всех интегрируемых на множестве функций обозначаютсимволом () или 1 (). Запись () ∈ () ( () ∈ 1 ()) означает,что функция () измерима и интегрируема на множестве .Утверждение.
Измеримая на множестве функция () интегрируемана тогда и только тогда, когда функция | ()| интегрируема на этоммножестве.Доказательство.Необходимость: () ∈ ()⇒ + (), − () ∈ ()⇒ + ()+ − () = | ()| ∈ ().Достаточность: пусть функция | ()| ∈ (). Так как функции + () <| ()| и − () < | ()|, то в силу теоремы 6 пункта 4.3 + (), − () ∈(). Следовательно, + () − − () = () ∈ ().
Пример. Рассмотрим функцию () =вестно,∫︀10sin sin сходится условно. Поэтому∫︀на множестве [0, 1]. Как из-| ()| не существует. Сле-довательно, функция () не интегрируема по Лебегу на множестве .34Для неограниченных интегрируемых функций произвольного знака справедливы свойства 2–5, установленные в пункте 4.1 для ограниченныхнеотрицательных интегрируемых функций (доказательства проводятсяаналогично, с использованием функций + () и − (), которые являются неотрицательными, и для которых свойства 2-5 тоже верны).Теорема 7 (о полной аддитивности). Пусть множество представи∞⋃︀мо в виде = , множества измеримы и ∩ = ∅ при ̸= .=1Тогда справедливы следующие два утверждения:1.
Если () интегрируема на множестве , то () интегрируема ина каждом из множеств , причём справедливо равенство∫︁∞ ∫︁∑︁ ().(*) () ==1 2. Если функция () измерима и интегрируема на каждом из мно∞ ∫︀∑︀| ()|, то () интегрируема на жеств и сходится ряд=1 и выполняеся равенство (*).Доказательство. Если функция () интегрируема на множестве ,то по определению неотрицательные функции + () и − () также интегрируемы на , а следовательно, к ним применима теорема 3.
Поэтомуфункции + () и − () являются интегрируемыми на каждом из множеств и для них справедливы равенства∫︁∫︁∞ ∫︁∞ ∫︁∑︁∑︁++− () = (), () = − ().=1 =1 Тогда по определению функция () интегрируема на каждом из множеств и справедливо равенство∫︁∫︁∫︁+ () = − − ==∞ ∫︁∑︁+ () −=1 ∞ ∫︁∑︁ − () ==1 =∞ ∫︁∑︁+−( () − ()) ==1 35∞ ∫︁∑︁=1 ().Таким образом, мы доказали справедливость первой части теоремы.Докажем вторую часть теоремы. Так как функция () измерима и интегрируема на каждом из множеств , то в силу доказанного выше утверждения функция | ()| также интегрируема на каждом из множеств .∞ ∫︀∑︀| ()| сходится, для функции | ()| спраТогда, поскольку ряд=1 ведливо второе утверждение теоремы 3.
Следовательно, | ()| интегрируема на всём множестве . Тогда в силу доказанного выше утвержденияи функция () интегрируема на всём , а следовательно, справедливоравенство (*). Теорема 8 (об абсолютной непрерывности). Если функция ()интегрируема на множестве , то для любого > 0 найдётся число > 0такое, что для любого измеримого подмножества ⊂ , || < , будетвыполняться неравенство⃒⃒⃒∫︁⃒⃒⃒⃒ ()⃒ < .⃒⃒⃒⃒Доказательство. Так как функция () интегрируема на множестве , неотрицательная функция | ()| также интегрируема∫︀на .
Тогда к| ()| применима теорема 4 и справедливо неравенство | ()| < .Следовательно,⃒⃒⃒∫︁⃒ ∫︁⃒⃒⃒ ()⃒ 6 | ()| < . ⃒⃒⃒⃒Определение 2. Говорят, что последовательность интегрируемых намножестве функций { ()} сходится к интегрируемой на функции () в (), если∫︁lim| () − ()| = 0.→∞Замечание 1. Из определения непосредственно следует, что∫︁lim () =→∞Замечание 2.∫︁ (). (**)Если последовательность измеримых и интегрируемых намножестве функций { ()} сходится к измеримой и интегрируемой36на функции () в (), то { ()} сходится к () и по мере на .Для любого > 0 положимДоказательство. = [| () − ()| > ].Тогда∫︁∫︁| () − ()| > | |.| () − ()| >Следовательно, | | → 0 при → ∞, что и означает сходимость { ()}к () по мере на .
Пример. Рассмотрим последовательность { ()}, где () =⎧⎪⎪⎪⎨,⎪⎪⎪⎩0,[︂]︂1если ∈ 0,]︂(︂1,1 .если ∈Поскольку lim |[| () − 0| > ]| = 0, то { ()} сходится к () ≡ 0 по→∞мере на множестве = [0, 1]. С другой стороны,∫︁∫︁∀ () = 1,0 = 0,поэтому сходимости { ()} к () ≡ 0 в () нет. Однако при некоторых дополнительных условиях из сходимости по мере на всё-такиследует сходимость в (), что доказывает следующая теорема.Теорема 9 (теорема Лебега). Если последовательность измеримыхна множестве функций { ()} сходится к измеримой на функции () по мере на и существует интегрируемая на множестве функция () такая, что для всех номеров и почти всех точек множества справедливо неравенство | ()| 6 (), то последовательность { ()}сходится к функции () в ().В силу теоремы 6 параграфа 3 из последовательности{ ()} можно выделить подпоследовательность { ()} ( = 1, 2, .
. . ),сходящуюся к () почти всюду на . Тогда, переходя в неравенстве| ()| 6 () к пределу при → ∞, получим, что для почти всех точек справедливо неравенство | ()| 6 (). Значит, почти всюду на справедливо и неравенство () 6 (), а следовательно, в силу теоремыДоказательство.376 функция () интегрируема на множестве .Для произвольного > 0 положим = [| () − ()| > ].Тогда∫︁| () − ()| =∫︁∫︁| () − ()| +=| () − ()| 6∖∫︁2 () + ||.6Последовательность { ()} сходится к () по мере на , поэтому | | →0 при → ∞.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
