Лекции Капустина 3 поток 2008 год 110 страниц (1159914), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

( + ) = + ∀, ∈ .В дальнейшем будем рассматривать пространства над полем действительных чисел R.Линейное пространство называется нормированным, если любому элементу ∈ ставится в соответствие действительное число (называемоенормой этого элемента и обозначаемое символом ‖ ‖ ), и при этом выполняются следующие условия (аксиомы ):1. ∀ ∈ ‖ ‖ > 0,2. ∀ ∈ , ∀ ∈ R3. ∀, ∈ ‖ ‖ = 0 ↔ = 0;‖ · ‖ = ||‖ ‖;‖ + ‖ 6 ‖ ‖ + ‖‖.Определение 1.

Говорят, что функция () принадлежит пространству (), если () измерима на множестве , а функция | ()| интегрируема на .Введём в пространстве () норму с помощью следующим образом:⎛⎞ 1∫︁‖ ‖ () = ‖ ‖ = ⎝ | ()| ⎠ .Линейность этого пространства очевидна; докажем, что оно являетсянормированным.Рассмотрим первую аксиому: неотрицательность введённой нормы очевидна, равно как и справедливость выражения = 0 ⇒ ‖ ‖ = 0; справедливость выражения ‖ ‖ = 0 ⇒ = 0 следует из теоремы 5 параграфа4. Таким образом, первая аксиома выполняется.

Справедливость аксиомы 2 также очевидна. Остаётся доказать, что в пространстве () выполняется аксиома 3 (так называемое неравенство треугольника ). Передэтим докажем несколько вспомогательных утверждений.Неравенство Юнга. Пусть числа , > 0 и связаны соотношением1 1+ = 1. Тогда для любых чисел > 0 и > 0 выполняется неравенство 1 1 · 6 + . 45Доказательство. Рассмотрим функцию Ψ() = − , > 0, ∈(0, 1). Тогда Ψ () = (− 1). Получаем, что Ψ () > 0 при ∈ (0; 1)и Ψ′ () < 0 при ∈ (1; +∞). Следовательно,′′−1max Ψ() = Ψ(1)>0Ψ() 6 Ψ(1), или 6 + (1 − ).⇒Рассмотрим = , > 0, > 0. Тогда · 1− 6 + (1 − ). Положим11 = , тогда 1− = .

Подставляя эти значения в неравенство, получим1 1 · 6 + . Неравенство Гельдера. Пусть > 1,+ 1 = 1, () ∈ (), () ∈ (). Тогда () · () — интегрируемая функция, и1⎞1 ⎛⎞1∫︁∫︁∫︁⎝⎠⎝| ()()| 6| ()| ·|()| ⎠⎛Доказательство. Введём в рассмотрение функции() = (),‖ ‖() =().‖‖Подставим в неравенство Юнга числа = || , = || :| () · ()|| ()| |()|6+;‖ ‖ ‖‖‖ ‖‖‖| () · ()| 6| ()||()|‖‖+‖ ‖ .‖ ‖−1‖‖−1Так как в правой части неравенства стоит интегрируемая функция, функция () · () также является интегрируемой.

Поэтому∫︁)︂‖ ()‖‖()‖| ()()| 6‖‖ +‖ ‖ =‖ ‖−1‖‖−1(︂)︂‖ ‖ ‖‖ ‖ ‖ ‖‖1 1= ‖ ‖ ‖‖ . =+= ‖ ‖ ‖‖+ ∫︁ (︂46Неравенство Минковского. Пусть (), () ∈ (), > 1. Тогда () + () ∈ () и‖ + ‖ 6 ‖ ‖ + ‖‖ .Доказательство. Заметим, что| + | 6 2 (| | + || )⇒ + ∈ ()⇒| + | ∈ ().Поэтому в силу неравенства Гельдера∫︀11| || + | 6 ‖ ‖ ‖ + ‖∫︀||| + | 6 ‖‖ ‖ + ‖Сложим эти два неравенства:∫︁∫︁| + | = | + || + |−1 6∫︁(| | + ||)| + | 666 (‖ ‖ + ‖‖ )‖ + ‖Поделив это неравенство на ‖ + ‖ , получим требуемое неравенство.Таким образом, аксиома 3 также выполняется, поэтому () являетсялинейным нормированным пространством.Определение 2. Последовательность { } в нормированном простран-стве называется фундаментальной, еслиlim ‖ − ‖ = 0.→∞→∞Линейное нормированное пространство называется полным (банаховым), если для любой фундаментальной последовательности { } пространства найдется ∈ такое, чтоlim ‖ − ‖ = 0.→∞47Теорема 1.Доказательство.Пусть — измеримое множество конечной меры, тогда пространство (), > 1 — банахово.Рассмотрим фундаментальную последовательность { ()}.Тогда для любого > 0 найдётся такой номер , что при , > выполняется неравенство‖ () − ()‖ < .Следовательно, для любого ∈ N найдётся такой номер , что при, > выполняется неравенство1.2Это, в свою очередь, означает, что существует последовательность номеров 1 < 2 < · · · < < +1 < .

. . такая, что‖ () − ()‖ <‖+1 () − ()‖ <1.2Запишем неравенство Гельдера для функций |+1 () − ()| и 1:∫︁1|| |+1 () − ()| 6 ‖+1 () − ()‖ || < .21Суммируя по от 1 до ∞ и учитывая тот факт, чточто∞ ∫︁∑︁∞ 1∑︀= 1, получаем,=1 21|+1 () − ()| < || .=1 В силу конечности || это означает, что ряд∞ ∫︁∑︁|+1 () − ()|=1 сходится. Следовательно, в силу следствия из теоремы Леви почти всюдуна множестве сходится ряд∞∑︁⃒⃒+1⃒() − ()⃒ ,=1а значит, сходится и ряд∞∑︁(︀)︀+1 () − () .=148Добавим к этому ряду функцию 1 (). Получим, что последовательность { ()} почти всюду на сходится к некоторой ().Рассмотрим последовательность { () − ()}. В силу фундаментальности последовательности { ()} для любого > 0 найдётся такой номер , что при , > справедливо неравенство‖ () − ()‖ 6 .С другой стороны, последовательность { ()− ()} почти всюду на сходится к предельной функции () − (). Применяя теорему Фату(теорема 11 параграфа 4), получаем, что для любого > 0 найдётсятакой номер , что при > справедливо неравенство‖ () − ()‖ 6 ,поэтомуlim ‖ () − ()‖ = 0.→∞Из этого следует, что пространство (), > 1, является банаховым.Определение.

Функция, принимающая конечное или счетное число значений, называется простой. Все различные значения простой функцииможно обозначить как , где = 1, 2, . . . .Определение. Характеристической функцией множества называют функцию{︃1, ∈ ; () =0, ∈/ .Очевидно, что () измерима тогда и только тогда, когда измеримо само множество .Любую простую функцию можно представить в виде () =∞∑︀ (),=1где для каждого из области определения только одно слагаемое отлично от нуля.Лемма 1. Пусть — измеримое множество, функция () неотрицательна и измерима на .

Тогда существует неубывающая последовательность простых функций, всюду сходящаяся к функции (), причем на49множестве конечных значений сходимость равномерна.Введем в рассмотрение множества]︂[︂+1() = 6 () <, = 0, 1, . . . ; = 1, 2, . . . ;22Доказательство.∞ = [ () = +∞].Тогда для любого номера ∈ N[︃ ∞]︃⋃︁ ()=∪ ∞ .=1Рассмотрим последовательность { ()}, где () =2()на .Получаем, что для любого ∈ N0 6 () − () 61,2то есть последовательность { ()} сходится к функции () (причёмна множестве конечных значений эта сходимость будет равномерной, поскольку верхняя оценка разности () и () не зависит от ).Докажем, что последовательность { ()} является неубывающей.

Для()этого каждое из множеств представим в виде()(+1)(+1) = 2 ∪ 2+1(︂[︂)︂ [︂)︂ [︂)︂ )︂ +12 2 + 12 + 1 2 + 2;; +1другими словами,= +1 ; +1∪.2 2222+12(+1)Получаем, что на 2+1 () =2= (),2+1(+1)а на 2+12 + 11=()+.2+12+1Следовательно, последовательность { ()} — неубывающая.+1 () =50Замечание.

В терминах доказанной теоремы рассмотрим последовательность {˜ ()}, где{︃, () > ;˜ () = (), () 6 .Все ˜ () являются простыми функциями, последовательность {˜ ()}сходится к () при → ∞. При этом функции ˜ () принимают лишьконечное число значений.Пусть E — ограниченное измеримое множество, > 1. Тогдапространство непрерывных функций () всюду плотно в пространстве (), то есть для любого > 0 и любой функции () ∈ () найдётсяфункция () ∈ () такая, чтоТеорема 2.‖ () − ()‖ () < .Доказательство. Не ограничивая общности, считаем, что функция ()всюду конечна (так как () ∈ (), множество, на котором она принимает бесконечные значения, имеет меру 0) и неотрицательна (обобщитьтеорему можно, используя неотрицательные функции + () и − ()).Тогда в силу леммы 1 существует последовательность простых функций{ ()}, всюду равномерно сходящаяся к функции () и неубывающая,причём все () 6 ().

Следовательно, по теореме Леви для любого > 0 найдётся номер 0 такой, что для всех > 0 справедливо неравенство ‖ () − ()‖ < . При этом функции () принимают лишьконечное число значений.Другими словами, функцию () можно с любой точностью приблизитьпростой функцией 0 (), принимающей лишь конечное число значений,то есть имеющей вид () =∑︁ ().=1Следовательно, для доказательства теоремы достаточно доказать, чтодля любого > 0 и любой функции () ∈ () найдётся функция() ∈ () такая, что‖0 () − ()‖ < (тогда в силу ‖0 () − ()‖ < справедливо и ‖ () − ()‖ < 2).51В силу следствия из теоремы 4 параграфа 2 и измеримости множества для любого > 0 найдётся замкнутое множество ⊂ такое, что| ∖ | < .

Тогда⎞ 1⎛∫︁1⎟1 ⎠ = | ∖ | < .⎜‖ () − ()‖ = ⎝ ∖Введём функцию расстояния между точкой и множеством : () = (, ) = inf (, ).∈()Теперь рассмотрим последовательность функций { } следующего вида:{︃1, ∈ ;1() () ==11 + (), ∈/ .1+ ()()Очевидно, () → () при → ∞. В силу теоремы Леви для любого > 0 найдётся номер такой, что при всех > ()‖ () − ()‖ < .()Кроме того, все функции () являются непрерывными (так как непрерывны функции расстояния ()), поэтому непрерывной будут функции (), а также функция() =∑︁() ().=1Тогда⃦ ⃦⃦∑︁⃦⃦⃦()‖0 () − ()‖ = ⃦ ( − ())⃦ =⃦⃦=1⃦⃦ [︂]︂⃦∑︁⃦∑︁⃦⃦()()=⃦ ( − + − )⃦ 6| | ‖ − ‖ +‖ − ‖ 6⃦⃦=16=1∑︁2| | < при <=1Теорема доказана.522+1 ||.Замечание. Рассмотренные в теореме функции ()рывными на всем пространстве R .являются непре-Теорема 3 (о непрерывности в метрике ).

Пусть — ограниченное измеримое множество. Тогда для любой функции () ∈ () илюбого > 0 найдется число > 0 такое, что при |ℎ| < справедливонеравенство ‖ ( + ℎ) − ()‖ () < , где функция () продолжена вне тождественным нулем.В силу того, что множество ограничено, существует шар () (радиуса и с центром в начале координат), содержащий ( ⊂ ()).Доказательство.Рассмотрим множество 1 = (+1).

Если ∈ , а |ℎ| < 1, то +ℎ ∈ 1 .В силу теоремы 2 для любой функции () ∈ () и любого > 0существует функция () ∈ () такая, что ‖ () − ()‖ (1 ) < .Тогда‖ ( + ℎ) − ()‖ () 66 ‖ ( + ℎ) − ( + ℎ)‖ () + ‖( + ℎ) − ()‖ () + ‖ () − ()‖ () 66 2‖ () − ()‖ (1 ) + ‖( + ℎ) − ()‖(1 ) < 2 + = 3.Теорема доказана.§6.

Характеристики

Список файлов лекций