Глава 5 - Дифрация рентгеновских лучей (1157585), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Можно считать, что любая плотноупакованная структура, например структура металла или ионного соединения (МаС1, СаГ2 и т. д.), составлена из плоскостей, или слоев, атомов. Эти атомные слои часто играют роль составных частей элементарной ячейки кристалла, например они могут совпадать с одной из граней элементарной ячейки. Обратное утверждение пе всегда верно, особенно для сложных кристаллических структур. Например, грани или сечения элементарных ячеек часто не совпадают с атомными слоями. Плоскости решетки, введенные в рассмотрение Брэггом, можно определить просто на основании формы и параметров элементарной ячейки.
Плоскости решетки — это некий воображаемый образ, не имеющий непосредственного отношения к атомным слоям. Они составляют как бы решетку сравнения, относительно которой можно рассматривать положение атомов в кристаллической структуре. Иногда данный набор плоско- 5.3. Определения $Ф=~ /~Г~//~ й а~ 2 Ь Рнс, 5.20. Проекции плоскостей решетки. Рис. 5.21, Определение индексов Мил- лера плоскостей решетки. личных семействах плоскостей решетки. Углы дифракции 6 на каждом семействе плоскостей связаны с межплоскостными расстояниями д законом Брэгга (равд. 5.2.2.2). Каждому семейству параллельных плоскостей решетки отвечает тройка индексов (индексы Миллера).
На рис. 5.21 показано, как следует определять индексы плоскостей. 1-1ачало координат обозначено точкой О. На рисунке изображены две параллельные наклонные плоскости. Третья плоскость этого семейства должна проходить через начало координат. Каждую из изображенных плоскостей можно продолжить за границы данной элементарной ячейки, тогда они пересекут многие другие элементарные ячейки. Кроме этих двух плоскостей в кристалле имеется еще много плоскостей, параллельных данным.
Однако они не пересекают приведенную на рис. 5.21 элементарную ячейку. Чтобы определить индексы семейства плоскостей, рассмотрим плоскость, которая находится по соседству с плоскостью, проходящей через начало координат. Найдем точки пересечения этой плоскости с тремя осями элементарной ячейки. Величины отрезков, отсскаемых плоскостью, выразим в долях периодов элементарной ячейки. Рассматриваемая плоскость отсекает на оси х отрезок а/2, на оси у — отрезок 6, на оси в — отрезок с/3. Таким образом, в долях периодов ячейки это можно записать '/ь 1, '/а.
стей решетки совпадает с атомными слоями, однако — далеко не всегда. Рассмотрим двумерную систему точек решетки, представленную на рис. 5.20. Бе можно разделить на много различных семейств параллельных рядов. Каждое из семейств характеризуется расстоянием Ы между парой соседних рядов.
В трехмерном пространстве эти ряды становятся плоскостями. Расстояния между парой соседних плоскостей называют мвжплоскостным расстоянием д. Рентгеновские лучи рассеиваются на этих раз- $72 5. Дифракция рентгеновских лучей Теперь возьмем обратные значения этих чисел и получим индексы данной плоскости (213). Такая тройка целых чисел и есть индексы Миллера, которые относятся ко всем другим плоскостям, параллельным рассматриваемой плоскости. В этом семей- а стае плоскостей расстояние между соседними пло- 1 скостями строго постоян- С ное, равное с1.
2 На рис. 5.22 приведе- а а ны примеры различных плоскостей решетки. На д — рис. 5.22, а заштрихованная плоскость отсекает на Ф вЂ” — осях х, у, г отрезки, равные 1а, ооб, 1с, так как Б плоскость параллельна б. 2 )100) )200) (з00) Обратные значения этих чисел (1, оо, 1) дают индексы Миллера плоскости д Е (101). На рис.
5.22, б обсуждаемые плоскости играют роль противополож„';) ных граней элементарной ячейки. Непосредственно определить индексы плоскости ! нельзя, поскольку она проходит через начало координат. Плоскость 2 отсекает на осях ячейки отрезки 1а, ооб, оос, следовательно, ее индексы (100). Рис. 5.22, в аналогичен рис. 5.22, 6, однако число плоскостей здесь в два раза больше, чем на рис. 5.22, б. Чтобы определить индексы Миллера, рассмотрим плоскость 2, которая ближе других расположена к началу координат и вместе с тем не проходит через него. Эта плоскость отсекает отрезки '/з, оо, оо, поэтому индексы Миллера запишутся так: (200). Таким образом, если среди индексов Миллера есть цифра 2, то такая плоскость отсекает на соответствующей оси отрезок, равный половине периода ячейки.
Это иллюстрирует важное положение о несводимости одного семейства плоскостей к другому семейству параллельных плоскостей. Нельзя делить индексы Миллера на постоянное число. Так, распространенной ошибкой является считать семейство плоскостей (200) плоскостями, расположенными между плоскостями (100), и приводить аа а1 )1210) Рис. 5.22. Примеры индексов Миллера для различных плоскостей. а — (101); б — (100); е — (200); г — (ЬОО); д — оси в гексагональной ячейке; е — положение плоскости (1210) (начало координат в центре основания гексагональной ячейки); положительные направления а обозначены стрелками. 5.3.
Определения 173 '! 2!О1 !,ц5л а Рнс. 5.23. Индексы направлений (2101 и !3231, такую последовательность плоскостей (100), (200), (100), (200), (100) и т. д. Правильное обозначение плоскостей приведено на рис. 5.22, г. Если между соседними плоскостями (100) имеются дополнительные плоскости, то все они могут быть заданы едиными индексами, например (200). В общем виде индексы Миллера записываются с помощью латинских букв (йИ), Запятые -1,-о иу ! между цифрами (и буквами) обычно не ставятся. Индексы с плоскостей заключены в круглые ьс!тоб!'.!!.
Ф!!гурпые с!'.обки ( ) используют для обозначения семейства эквивалентных плоскостей. Например, в кубических кристаллах семейства (100), (010), (001) эквивалентны. Все вместе эти плоскости можно обозначить как (100), Особо следует остановиться на описании с помощью индексов Миллера плоскостей гексагональной ячейки. Для их обозначения часто используют четыре числа (йИ). Значения индекса ! можно получить, взяв обратную величину длины отрезка на оси аз, отсекаемого рассматриваемой плоскостью (рис, 5.22,д), т. е, точно так же, как и в случае остальных индексов ЬИ.
Индекс ! несет в какой!-то степени избыточную информацию, поскольку справедливо следующее соотношение: й+Й+! = О, например (1011), (2110), (1211) и др. Черта над цифрой, используемой для обозначения индекса, отвечает пересечению плоскостью соответствующей оси в ее отрицательной части (разд. 5.3.10). На рис. 5,22,в в качестве примера приведена плоскость (1210) . Иногда индексы плоскостей гексагональной ячейкп записываются в виде тройки чисел с точкой, папример (12.0), а иногда четвертый индекс просто опускают (120). Направлениями в кристаллах н решетках называются прямые, проходящие через начало координат. Все прямые, парал.лельные данному направлению, имеют одинаковые обозначения. Пусть некоторая прямая проходит через начало координат и точку с координатами х, у, н, тогда она проходит также через точки с координатами 2х, 2у, 2г; Зх, 3у, Зг и т.
д. Эти координаты, записанные в квадратных скобках 1х, д, в~, есть индексы данного направления; индексы представляют собой тройку наименьших целых чисел, которые можно получить путем деления Г1 1 или Уыноисении Ян постоЯнный коырфиииент. тнк, иебоР 1я — о~, 11101, 13301 относится к обозначениям с помощью индексов од- 5, Дифракция рентгеноаекнх лучей 5.3.7. Формулы для расчета межплоскостных расстояний Ранее уже было дано определение межплоскостных расстояний некоторого семейства плоскостей как расстояний между парами соседних плоскостей в данном семействе. Величина межплоскостного расстояния входит в уравнение Брэгга.
В кубической элементарной ячейке межплоскостные расстояния между плоскостями (100) равны периоду ячейки а (рис. 5.22,6). Для плоскостей (200) кубической ячейки с1=а/2 и т. д. В ортогональных ячейках (а=р=у =90') межплоскостные расстояния для любого семейства плоскостей связаны с параметрами решетки следующим соотношением: 1 1Р й' Р— = — + — +— гад~~ а' У с' (5.4) Для тетрагональных ячеек (а=6) уравнение (5.4) упрощается. Еще более простой вид это уравнение имеет в случае кубических кристаллов (а=о=с): а2+ у+. р де а2 (5.5) Проверим справедливость уравнения (5.5) на примере плоскостей семейства (200) кубической ячейки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
