Физические основы квантовых вычислений (1156780), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Изменение положения точки задается траекторией, которая определяется как решение системы уравнений Гамильтона:∂H(q, p),∂pn∂H(q, p).ṗn = −∂qnq̇n =21(4.4)Если заданы условия в начальный момент времени t0 =0 : qn (0) = qn0 , pn (0) = p0n , решение (q, p) определяетсяединственным образом, причем через каждую точку фазового пространства проходит одна и только одна траектория, удовлетворяющая уравнению (4.4).Рассмотрим теперь как изменяется во времени динамическая функция системы на траектории. Будем считать,что коэффициенты β̃n1 ...mN в уравнении (4.2) явно от времени не зависят, тогда¶N µX∂b∂bq̇n +ṗn =ḃ(q, p) =∂qn∂pnn=1¶N µX∂b ∂H∂b ∂H= [b, H]P .=−∂qn ∂pn ∂pn ∂qn(4.5)¶N µX∂b ∂c∂b ∂c.[b, c]P =−∂qn ∂pn ∂pn ∂qn(4.6)n=1Здесь введено определение скобки Пуассона:n=1Упражнения.1.
Показать, что скобки Пуассона антисимметричны относительно перестановки динамических функций:[b, c]P = −[c, b]P .2. Доказать тождество Якоби:[b, [c, d]P ]P + [c, [d, b]P ]P + [d, [b, c]P ]P = 0.(4.7)3. Показать, что для любого скалярного, не зависящегоот q и p, параметра скобка Пуассона равна нулю:[b, α]P = 0.22Наконец, легко убедиться, что скобки Пуассона удовлетворяют следующим соотношениям (правилам):[(b + c), d]P =[b, d]P + [c, d]P ,[αb, c]P =α[b, c]P ,(4.8)[bc, d]P = [b, d]P c + b[c, d]P .Используя правила (4.8) можно вычислить скобку Пуассона любых двух динамических функций, если известнатаблица скобок Пуассона обобщенных координат и импульсов – канонически сопряженных переменных.
Эту таблицулегко получить:[qn , qm ]P = 0,[pn , pm ]P = 0,[qn , pm ]P = δnm .(4.9)Итак, мы видим, что производная по времени динамической функции в классической механике определяется скобкой Пуассона этой функции с гамильтонианом. Согласно принципу соответствия динамическим функциям –физическим величинам в квантовой механике соответствуют операторы. Изменение оператора во времени определяет изменение во времени соответствующей физической величины.
Мы видели, что производные операторов во времени определяются коммутатором – квантовым аналогомскобки Пуассона. Легко видеть, что основные правила дляклассических скобок Пуассона справедливы и для коммутаторов в квантовой механике. Тогда чисто формально,согласно принципу соответствия следует переписать полученные для классических динамических функций соотношения для операторов в квантовой механике, заменив везде классические скобки Пуассона на “квантовые”:i b b[a, b]P −→ − [A,B],~(4.10)bиBb – операторы, соответствующие физическим вегде Aличинам a и b.23В соответствии с этим мы теперь можем дополнитьнашу систему постулатов еще одним, представляющимквантовое выражение классических соотношений (4.9), выражающим одновременно и фундаментальный принцип неопределенностей Гайзенберга:[q̂l , q̂k ] = 0,[p̂l , p̂k ] = 0,[q̂l , p̂k ] = i~δlk .(4.11)Если операторы каких-либо физических величин не коммутируют, говорят, что такая классическая система “квантуется”. Заметим также, что соотношения (4.8) для скобок Пуассона остаются справедливыми и для коммутаторов операторов в квантовой механике.Упражнения.Используя коммутационные соотношения (4.11) и правила (4.8), вычислить коммутаторы:1.
[x̂, p̂lx ] = i~ ∂∂p̂x p̂lx ;2. [p̂x , x̂l ] = −i~ ∂∂x̂ x̂l ;Легко видеть, что, исходя из определения функции отоператора, можно обобщить результаты упражнения:∂F (p̂x ),∂ p̂x∂G(x̂)[p̂x , G(x̂)] = − i~.∂ x̂[x̂, F (p̂x )] =i~(4.12)Рассмотрим теперь как реализовать на практике принцип соответствия, иными словами, как сопоставить динамическим функциям классической механики операторы вквантовой механике. Проблема состоит в том, что в отличие от физических величин операторы неперестановочны,однако всем физическим величинам должны соответствовать эрмитовы операторы, тогда как не любая комбинация24некоммутирующих операторов будет эрмитовым оператором.
Действительно, пусть два эрмитовых оператора Âи B̂ соответствующие физическим величинам a и b не комb B]b = iC,b тогда физической вемутируют между собой: [A,bB,bличине ab нельзя поставить в соответствие оператор Aпоскольку он неэрмитов. Легко в этом убедиться, взяв эрbB)b + = Bb+Ab+ =митово сопряжение от произведения (AbAb=AbBb − iC.b Ситуацию можно поправить, симметризоBbBb+Bb A)/2,bвав операторное выражение: (Aкоторое теперьуже эрмитово.В этом простом примере не возникло сложностей и неоднозначностей, однако стоит взять более сложное выражение, например, a2 b, как сразу же возникает альтернатиb+BbAb2 )/2, AbBb A,b а также ихb2 Bва: эрмитовыми будут (Aлинейная комбинация. Какое выражение будет правильным? Для адекватного описания систем не может бытьникакой неоднозначности, должно существовать однозначное правило сопоставления.
Правило соответствия постулируется, его нельзя доказать. Можно постулировать поразному, но на протяжении всех рассуждений и вычислений это правило не может изменяться. Наиболее часто используется правило, сформулированное Г. Вейлем и имеющее вид, аналогичный представлению в виде интегралаФурье для классических динамических функций (4.3).Правило соответствия. Всем классическим динамическим функциям в квантовой механике соответствуют операторы, которые могут быть представлены в виде:ZbB(q̂, p̂) = dkdlβ(k, l) exp(ik q̂ + ilp̂),(4.13)где β(k, l) –некоторая числовая, возможно сингулярная, функция чисел k, l.
Здесь для простоты опустили индексы уN -мерных векторов. Требование эрмитовости накладываетограничения на функцию β25β ∗ (k, l) = β(−k, −l).(4.14)Cледует заметить, что согласно правилу соответствия,функция β(k, l) в уравнении (4.13) та же самая, что вуравнении (4.3). Отметим также, что данная функция может явно зависеть от времени: β(k, l; t).Упражнения.1.
Показать, что классической динамической функции2x px соответствует эрмитов оператор (x̂2 p̂x +x̂p̂x x̂+p̂x x̂2 )/3.bи2. Доказать, что если коммутатор двух операторов Ab есть c-число, справедливо представление (“расцепление”Bэкспонент):µ¶b + B)b = exp(A)b exp(B)b exp − 1 [A,b B]b .exp(A21.5Представления Шредингера и ГайзенбергаРассмотрим теперь формальное решение временного уравнения Шредингера в произвольном случае, когда гамильтониан может явно зависеть от времени.Проинтегрируем вновь формально уравнение (2.2) повремени, однако теперь мы не имеем права выносить оператор Гамильтона из-под знака интеграла:Zi t bH|Ψ(t0 )idt0 .(5.1)|Ψ(t)i = |Ψ(0)i −~ t0Подставим под интеграл формальное решение (5.1) и получим вновь интегральное уравнение:µ¶Z tib 0 )|Ψ(0)idt0 +|Ψ(t)i = |Ψ(0)i + −H(t~t026µ¶ ZZ 0i 2 t b 0 0 t b 00H(t )|Ψ(t00 )idt00 .+ −H(t )dt~t0t0(5.2)Продолжая эту процедуру бесконечно, получим ряд:µµ¶Z tib 0 )dt0 +H(t|Ψ(t)i = 1 + −~t0!µ¶ ZZ 0i 2 t b 0 0 t b 00 00+ −H(t )dtH(t )dt + .
. . |Ψ(0)i. (5.3)~t0t0Обозначим получившийся операторный ряд U (t, t0 ), тогдавыражение (5.3) можно записать в виде|Ψ(t)i = U (t, t0 )|Ψ(0)i ≡ U (t, t0 )|Ψ(t0 )i.(5.4)Здесь U (t, t0 ) – оператором эволюции для системы, котораяможет быть неконсервативной. Начальный момент времени не обязательно выбирается t0 = 0. В частности,|Ψ(t)i = U (t, −∞)|Ψ(−∞)i.(5.5)bb 0 ), ряд (5.3)Если H(t)не зависит от t (т.е. равен Hможно формально свернуть, и мы получаем уже известный результат для консервативной системы.
По аналогиис этим принято записывать и общий ряд в виде экспоненты. Сделаем все верхние пределы интегрирования в ряде(5.3) одинаковыми. Поскольку при этом увеличивается область интегрирования, следует поделить каждое слагаемоена соответствующее число перестановок:¶Z tµµib 0 )dt0 +H(tU (t, t0 ) = 1 + −~t0µ¶ ZZ1i 2 t 0 t 00 b 0 b 00+−dtdt H(t )H(t )+2!~t0t027µ¶3Zt ZtZt1ib 0 )H(tb 00 )H(tb 000 ) + .
.+. =dt0 dt00 dt000 H(t−3!~t0t0t0tZib 0 )dt0 .H(t=Tb exp −~t0Итак, динамическое поведение квантовой системы определяется оператором эволюции.УпражнениеПоказать, что оператор эволюции унитарен и для неконсервативных систем.Как хорошо известно из курса линейной алгебры, унитарные операторы определяют некоторые линейные унитарные преобразования. В частности, мы видели, что переход от одного представления к другому также осуществляется унитарными преобразованиями.
Пусть в каком-либопредставлении |f i произвольное состояние Ψ(t) имеет видX|Ψ(t)i =af (t)|f i.С другой стороны,|Ψ(t)i =U (t, 0)|Ψ(0)i =XX=af (0)U (t, 0)|f i =af (0)|f (t)i.(5.6)Мы видим, что можно свести действие оператора эволюции к воздействию на базисные состояния представления.Но состояния |f (t)i отличаются от состояний |f i, поэтомуполученное представление отличается от первоначального.В соответствии с этим различают два представления состояния: представление Шредингера, когда во времени изменяется состояние, но не изменяются базисные вектора: состояние |Ψ(t)i определяется набором af (t).
И соответственно представление Гайзенберга, когда изменяются во28времени базисные вектора представления, но само состояние остается неизменным: состояние |Ψ(t)i определяется набором чисел af (0), которые от времени не зависят.Как помним из линейной алгебры, преобразование базисных векторов и преобразование вектора (физической системы) взаимно обратны.
Поэтому если мы определим представление Шредингера, как преобразование вектора состояния во времени с помощью оператора эволюции, то видвектора состояния в представлении Гайзенберга |ΨH (t)i получается в результате обратного преобразования:|ΨH (t)i =U + (t, 0)|Ψ(t)i ==U + (t, 0)U (t, 0)|Ψ(0)i = |Ψ(0)i,(5.7)т.е. действительно, вектор состояния квантовой системы впредставления Гайзенберга не зависит от времени.При переходе от представления Шредингера к представлению Гайзенберга следует также проделать унитарное преобразование для всех операторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
