Главная » Просмотр файлов » Физические основы квантовых вычислений

Физические основы квантовых вычислений (1156780), страница 6

Файл №1156780 Физические основы квантовых вычислений (Физические основы квантовых вычислений) 6 страницаФизические основы квантовых вычислений (1156780) страница 62019-09-18СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Начнем с энергии. Поскольку ~ω имеет размерность энергии, тогда единица энергииE0 = ~ω,соответственно E = E0 ε.(2.1)Далее обезразмерим уравнение (1.4) на единицу энергии:µ 2¶pmω 2 2+x ψ = εψ.(2.2)2m~ω2~50Таким образом получаем единицы длины и импульсаr√~(2.3), p0 = ~ωm.x0 =mωСоответственноx̂ = x0 Q,p̂ = p0 P.Гамильтониан осциллятора принимает вид³´b = 1 Pb2 + Qb2 .H2(2.4)Вычислим коммутатор безразмерных операторов Q и P :hib = 1 [x̂, p̂] = −i.(2.5)Pb, Qp0 x 0Гамильтониан (2.4) есть квадратичная форма, которую удобно факторизовать линейным преобразованием. Для простых чисел факторизация элементарна, если ввести комплексные линейные комбинации, например, a2 + b2 = (a +ib)(a − ib).

Для операторов можно проделать аналогичноелинейное преобразование, но при этом надо помнить, что,в отличие от чисел, операторы некоммутативны. Введемнеэрмитовы операторы´´1 ³b1 ³bâ = √ Q+ iPb , и â+ ≡ (â)+ = √ Q− iPb . (2.6)22Соответственно, обратное преобразование есть:b = √1 (â + â+ ),Q21Pb = √ (â − â+ ).i 2(2.7)Подставим это линейное преобразование в квадратичнуюформу:b 2 = ââ+ + â+ â.Pb2 + Q(2.8)51Вычислим коммутационное соотношение для операторов âи â+ :´i1 h³ b b´ ³ bi ³h b b i h b bi´[â, â+ ] =Q+iP , Q − iPb =P , Q − Q, P . (2.9)22С учетом коммутатора (2.9) гамильтониан (2.4) принимаетвид:¶µ1+b.(2.10)H = ~ω â â +22.3Спектр и состояния осциллятора.

Энергетическое представлениеИтак, нам нужно решить стационарное уравнение Шредингера, т.е. найти спектр и собственные состояния гамильтониана (2.10). Решим эту задачу, используя дираковскийформализм в энергетическом представлении:bH|νi= Eν |νi,(3.1)где Eν собственные значения состояний |νi. Значение энергии в собственном состоянии есть просто среднее значениегамильтониана (2.10):¶µ1+b.(3.2)Eν = hν|H|νi = ~ω hν|â â|νi +2Очевидно hν|â+ â|νi = ||â|νi||2 = ν ≥ 0.осциллятора имеет видµ¶1.Eν = ~ω ν +21Итак, спектр(3.3)Осталось только определить, какие значения может принимать неотрицательное число ν.

Для этого воспользуемся1Напомним, что (fˆ|ψi)+ = hψ|fˆ+ .52коммутационными соотношениями (2.9), тем самым покажем, какую важную роль играют коммутационные соотношения для операторов в квантовой механике. Ответим навопрос, как действуют операторы â и â+ на собственные состояния гамильтониана? Для этого достаточно вычислитькоммутатор[â, â+ â] = [â, â+ ]â + â+ [â, â] = â.(3.4)Совершенно аналогично получаем[â+ , â+ â] = −â+ .(3.5)Итак, нам нужно определить вектор â|νi = |φi. Посколькусостояния |νi составляют базис, очевидно можно записатьX|φi =αν |νi.(3.6)νПодействуем на него оператором ν̂ = â+ â :ν̂|φi = ν̂â|νi = (âν̂−â|νi = â(ν−1)|νi = (ν−1)â|νi = (ν−1)|φi,Итак, в сумме (3.6) осталось только одно слагаемое:|φi = αν−1 |ν − 1i,или â|νi = αν−1 |ν − 1i.(3.7)Таким образом оператор â уменьшает квантовое число νна единицу, это понижающий оператор.Совершенно аналогично имеемâ+ |νi = α̃ν+1 |ν + 1i.(3.8)Подействовав n раз оператором â на состояние |νi, получимсостояние |ν − ni.

Поскольку спектр гамильтониана (2.10)дискретен и невырожден, а также E > 0, получаем, что53должно существовать минимальное число ν0 ≥ 0, соответствующее минимальному значению энергии E0 . Поскольку это минимальное число соответствует низшему уровнюэнергии, должно обязательно выполняться условиеâ|ν0 i = 0 и, соответственно hν0 |â+ = 0.(3.9)Тогда получаемhν0 |â+ â|ν0 i = ν0 = 0.(3.10)Согласно соотношениям (3.7) получаем, что квантовые числа ν должны быть целыми и неотрицательными: ν = n и¶µ1b, n = 0, 1, 2, . .

. . (3.11)H|ni= En |ni, En = ~ω n +2Итак, соотношения (3.11) есть решение задачи в энергетическом представлении.Найдем теперь коэффициенты в соотношениях (3.7).Поскольку√â|ni = αn−1 |n − 1i → |αn−1 |2 = n, и αn−1 = eiϕ n.Выберем фазу ϕ = 0, чтобы коэффициенты были действительными, тогда√â|ni = n|n − 1i.(3.12)Коэффициенты α̃n определяются следующим образом:√√â+ â|ni = nâ+ |n − 1i = nα̃n−1 |ni = n|ni.√n или√â+ |ni = n + 1|n + 1i.Таким образом α̃n−1 =54(3.13)Состояние |ν = 0i ≡ |0i для осциллятора основное.Согласно соотношению (3.13) с его помощью можно определить любое возбужденное состояние осциллятора.

Действительно,â+ |0i = |1i,√â+ |1i = 2|2i,â+ |2i =√3|3i,(â+ )21|2i = √ â+ |1i = √ |0i,22+(â )31|3i = √ â+ |2i = √ |0i, . . .(3.14)33!Таким образом получаем простое соотношение:(â+ )n|ni = √ |0i.n!2.4(3.15)Волновые функцииНайдем теперь волновые функции состояний осциллятора,т.е. получим решение задачи в координатном представлении: ψn (x) = hx|ni. Перейдем к координатному представлению в условииâ|0i = 0 → hx|â|0i = 0.Для этого воспользуемся стандартной процедурой теориипредставлений:ZZ¢1 ¡0 00hx|â dx |x ihx |0i = dx0 √ hx|x̂|x0 i + ihx|p̂|x0 i ψ0 (x0 ) = 0.2Удобнее сперва решить задачу в безразмерных единицах.Как помним из предыдущих лекций, операторы координаты и импульса в координатном представлении локальны,55поэтому интегральное уравнение преобразуется к дифференциальному:¶µdψ(Q) = 0.(4.1)Q + i(−idQОбыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка (4.1) легко решается: получается гауссова экспонента.

Нормированная волновая функция равна:ψ0 (Q) =1π 1/412e− 2 Q .(4.2)В размерных единицах:³ mω ´1/4 mωx2− x21ψ0 (x) = 1/4 √ e 2x0 =e− 2~ .π~πx02(4.3)Зная основное состояние, легко построить любое возбужденное:¯ + n¯¯ (â ) ¯ψn (x) = hx ¯¯ √ ¯¯ xi.n!В безразмерных единицах получаем:µ¶1d n −Q2 /2√e.(4.4)ψn (Q) =Q−dQ2n/2 n!Сooтветственно, в размерных единицахψn (x) =µµ¶¶1 ³ mω ´1/4³ mω ´n/2mωx2~ d n√=exp −x−. (4.5)2~mω dx2~n! π~Как хорошо известно, в результате выполнения дифференцирования появляется предэкспоненциальный многочленn-й степени – полином Эрмита Hn (Q), для которого гауссова экспонента exp(−Q2 /2) есть производящая функция.56Совершенно аналогично определяется вид волновой функции осциллятора в импульсном представлении hp|ni = an (p).Опять сперва определим вид волновой функции основногосостояния:Zhp|0i = hp|â dp0 |p0 ia0 (p0 ) = 0.(4.6)В p-представлении в безразмерных переменных получаетсятакое же дифференциальное уравнение¶µ1d2+ iP a0 (P ) = 0, и a0 (P ) = 1/4 e−P /2 .

(4.7)idPπВ размерных единицах легко получаемa0 (p) =12e−p /2m~ω .1/4(πm~ω)Результат, впрочем, вполне очевиден, если вспомнить, чтообраз Фурье от гауссовой экспоненты также есть гауссоваэкспонента.Посмотрим теперь, как выглядит соотношение неопределенностей для координаты и импульса в произвольномсостоянии осциллятора. Поскольку√√hm|â|ni = nδm,n−1 , hm|â+ |ni = n + 1δm,n+1 , (4.8)легко получить√¢x0 ¡√nδm,n−1 + n + 1δm,n+1(4.9)hm|x̂|ni = √2и аналогичное выражение для оператора импульса.Таким образом видим, что hn|x̂2k+1 |ni = 0, но hn|x̂2k |ni 6=0.

Иными словами, средние значения координат и импульса в любом состоянии осциллятора равны нулю. Поэтому определение дисперсии сводится к вычислению средних значений от квадратов этих операторов: ∆x2 = x2 и57∆p2 = p2 . Получаем:¶µ¡ +¢x201++22hn| (â )2 + â â + ââ + â |ni = x0 n +.hn|x̂ |ni =222Совершенно аналогично имеем:¶µ1.hn|p̂2 |ni = p20 n +2Таким образом соотношение неопределенностей принимаетвид:µ¶122222h(∆x) ih(∆p) i ≡ hx ihp i = ~ n +.(4.10)2Как видно из формулы (4.10), в основном состоянии достигается минимум соотношения неопределенностей. Иными словами, основное состояние осциллятора представляетсобой наиболее классичную систему.2.5Когерентные состояния осциллятораМы видели, что оператор â неэрмитов, однако ни что немешает нам рассмотреть формально задачу на собственныезначения и состояния этого оператора:â|αi = α|αi.(5.1)Здесь α – любое, в общем случае комплексное, число.Решим сразу эту задачу в координатном представлении.

Используем для простоты безразмерные переменныеhQ|â|αi = αhQ|αi,58(5.2)или¶µ1d√ψα (Q) = αψα (Q).(5.3)Q+dQ2Уравнение практически ничем не отличается от уравнения(4.1), поэтому сразу получаем (нормированное) решение1eα1/42 −(<α)21e− 2 (Q−√2α)2.(5.4)πКак видим, это основное состояние осциллятора, у которого “положение равновесия"(среднеезначение координаты√x) сдвинуто на 2α.

Поэтому в этом состоянии минимизируется соотношение неопределенностей. Состояние (5.4)называется когерентным. Рассмотрим некоторые его замечательные свойства.Разложим “неизвестное"состояние |αi по известным базисным состояниям гармонического осциллятораX|αi =Cα,n |ni.(5.5)ψα (Q) =nПодействуем на разложение (5.5) оператором â :XXX√â|αi = αCα,n |ni =Cα,n â|ni =Cα,n n|n − 1i.nnnОткуда получаем рекуррентное соотношениеαCα,n = √ Cα,n−1 ,nαnили Cα,n = √ Cα,0 .n!Таким образом разложение (5.5) принимает видX αn√ |ni.|αi = Cα,0n!nОтнормируем полученное выражение:1 = hα|αi = |Cα,0 |2X |α|2 nn59n!2= |Cα,0 |2 e|α| .Таким образом нормированное разложение (5.5) для когерентного состояния принимает видX αn12√ |ni.(5.6)|αi = e− 2 |α|n!nСогласно принципу суперпозиции квадраты модулей коэффициентов в разложении (5.6) определяют вероятности обнаружить n-е возбужденное состояние осциллятора с энергией En = ~ω(n + 1/2).

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
597,37 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6430
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее