Физические основы квантовых вычислений (1156780), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Начнем с энергии. Поскольку ~ω имеет размерность энергии, тогда единица энергииE0 = ~ω,соответственно E = E0 ε.(2.1)Далее обезразмерим уравнение (1.4) на единицу энергии:µ 2¶pmω 2 2+x ψ = εψ.(2.2)2m~ω2~50Таким образом получаем единицы длины и импульсаr√~(2.3), p0 = ~ωm.x0 =mωСоответственноx̂ = x0 Q,p̂ = p0 P.Гамильтониан осциллятора принимает вид³´b = 1 Pb2 + Qb2 .H2(2.4)Вычислим коммутатор безразмерных операторов Q и P :hib = 1 [x̂, p̂] = −i.(2.5)Pb, Qp0 x 0Гамильтониан (2.4) есть квадратичная форма, которую удобно факторизовать линейным преобразованием. Для простых чисел факторизация элементарна, если ввести комплексные линейные комбинации, например, a2 + b2 = (a +ib)(a − ib).
Для операторов можно проделать аналогичноелинейное преобразование, но при этом надо помнить, что,в отличие от чисел, операторы некоммутативны. Введемнеэрмитовы операторы´´1 ³b1 ³bâ = √ Q+ iPb , и â+ ≡ (â)+ = √ Q− iPb . (2.6)22Соответственно, обратное преобразование есть:b = √1 (â + â+ ),Q21Pb = √ (â − â+ ).i 2(2.7)Подставим это линейное преобразование в квадратичнуюформу:b 2 = ââ+ + â+ â.Pb2 + Q(2.8)51Вычислим коммутационное соотношение для операторов âи â+ :´i1 h³ b b´ ³ bi ³h b b i h b bi´[â, â+ ] =Q+iP , Q − iPb =P , Q − Q, P . (2.9)22С учетом коммутатора (2.9) гамильтониан (2.4) принимаетвид:¶µ1+b.(2.10)H = ~ω â â +22.3Спектр и состояния осциллятора.
Энергетическое представлениеИтак, нам нужно решить стационарное уравнение Шредингера, т.е. найти спектр и собственные состояния гамильтониана (2.10). Решим эту задачу, используя дираковскийформализм в энергетическом представлении:bH|νi= Eν |νi,(3.1)где Eν собственные значения состояний |νi. Значение энергии в собственном состоянии есть просто среднее значениегамильтониана (2.10):¶µ1+b.(3.2)Eν = hν|H|νi = ~ω hν|â â|νi +2Очевидно hν|â+ â|νi = ||â|νi||2 = ν ≥ 0.осциллятора имеет ви䵶1.Eν = ~ω ν +21Итак, спектр(3.3)Осталось только определить, какие значения может принимать неотрицательное число ν.
Для этого воспользуемся1Напомним, что (fˆ|ψi)+ = hψ|fˆ+ .52коммутационными соотношениями (2.9), тем самым покажем, какую важную роль играют коммутационные соотношения для операторов в квантовой механике. Ответим навопрос, как действуют операторы â и â+ на собственные состояния гамильтониана? Для этого достаточно вычислитькоммутатор[â, â+ â] = [â, â+ ]â + â+ [â, â] = â.(3.4)Совершенно аналогично получаем[â+ , â+ â] = −â+ .(3.5)Итак, нам нужно определить вектор â|νi = |φi. Посколькусостояния |νi составляют базис, очевидно можно записатьX|φi =αν |νi.(3.6)νПодействуем на него оператором ν̂ = â+ â :ν̂|φi = ν̂â|νi = (âν̂−â|νi = â(ν−1)|νi = (ν−1)â|νi = (ν−1)|φi,Итак, в сумме (3.6) осталось только одно слагаемое:|φi = αν−1 |ν − 1i,или â|νi = αν−1 |ν − 1i.(3.7)Таким образом оператор â уменьшает квантовое число νна единицу, это понижающий оператор.Совершенно аналогично имеемâ+ |νi = α̃ν+1 |ν + 1i.(3.8)Подействовав n раз оператором â на состояние |νi, получимсостояние |ν − ni.
Поскольку спектр гамильтониана (2.10)дискретен и невырожден, а также E > 0, получаем, что53должно существовать минимальное число ν0 ≥ 0, соответствующее минимальному значению энергии E0 . Поскольку это минимальное число соответствует низшему уровнюэнергии, должно обязательно выполняться условиеâ|ν0 i = 0 и, соответственно hν0 |â+ = 0.(3.9)Тогда получаемhν0 |â+ â|ν0 i = ν0 = 0.(3.10)Согласно соотношениям (3.7) получаем, что квантовые числа ν должны быть целыми и неотрицательными: ν = n 趵1b, n = 0, 1, 2, . .
. . (3.11)H|ni= En |ni, En = ~ω n +2Итак, соотношения (3.11) есть решение задачи в энергетическом представлении.Найдем теперь коэффициенты в соотношениях (3.7).Поскольку√â|ni = αn−1 |n − 1i → |αn−1 |2 = n, и αn−1 = eiϕ n.Выберем фазу ϕ = 0, чтобы коэффициенты были действительными, тогда√â|ni = n|n − 1i.(3.12)Коэффициенты α̃n определяются следующим образом:√√â+ â|ni = nâ+ |n − 1i = nα̃n−1 |ni = n|ni.√n или√â+ |ni = n + 1|n + 1i.Таким образом α̃n−1 =54(3.13)Состояние |ν = 0i ≡ |0i для осциллятора основное.Согласно соотношению (3.13) с его помощью можно определить любое возбужденное состояние осциллятора.
Действительно,â+ |0i = |1i,√â+ |1i = 2|2i,â+ |2i =√3|3i,(â+ )21|2i = √ â+ |1i = √ |0i,22+(â )31|3i = √ â+ |2i = √ |0i, . . .(3.14)33!Таким образом получаем простое соотношение:(â+ )n|ni = √ |0i.n!2.4(3.15)Волновые функцииНайдем теперь волновые функции состояний осциллятора,т.е. получим решение задачи в координатном представлении: ψn (x) = hx|ni. Перейдем к координатному представлению в условииâ|0i = 0 → hx|â|0i = 0.Для этого воспользуемся стандартной процедурой теориипредставлений:ZZ¢1 ¡0 00hx|â dx |x ihx |0i = dx0 √ hx|x̂|x0 i + ihx|p̂|x0 i ψ0 (x0 ) = 0.2Удобнее сперва решить задачу в безразмерных единицах.Как помним из предыдущих лекций, операторы координаты и импульса в координатном представлении локальны,55поэтому интегральное уравнение преобразуется к дифференциальному:¶µdψ(Q) = 0.(4.1)Q + i(−idQОбыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка (4.1) легко решается: получается гауссова экспонента.
Нормированная волновая функция равна:ψ0 (Q) =1π 1/412e− 2 Q .(4.2)В размерных единицах:³ mω ´1/4 mωx2− x21ψ0 (x) = 1/4 √ e 2x0 =e− 2~ .π~πx02(4.3)Зная основное состояние, легко построить любое возбужденное:¯ + n¯¯ (â ) ¯ψn (x) = hx ¯¯ √ ¯¯ xi.n!В безразмерных единицах получаем:µ¶1d n −Q2 /2√e.(4.4)ψn (Q) =Q−dQ2n/2 n!Сooтветственно, в размерных единицахψn (x) =µµ¶¶1 ³ mω ´1/4³ mω ´n/2mωx2~ d n√=exp −x−. (4.5)2~mω dx2~n! π~Как хорошо известно, в результате выполнения дифференцирования появляется предэкспоненциальный многочленn-й степени – полином Эрмита Hn (Q), для которого гауссова экспонента exp(−Q2 /2) есть производящая функция.56Совершенно аналогично определяется вид волновой функции осциллятора в импульсном представлении hp|ni = an (p).Опять сперва определим вид волновой функции основногосостояния:Zhp|0i = hp|â dp0 |p0 ia0 (p0 ) = 0.(4.6)В p-представлении в безразмерных переменных получаетсятакое же дифференциальное уравнени嶵1d2+ iP a0 (P ) = 0, и a0 (P ) = 1/4 e−P /2 .
(4.7)idPπВ размерных единицах легко получаемa0 (p) =12e−p /2m~ω .1/4(πm~ω)Результат, впрочем, вполне очевиден, если вспомнить, чтообраз Фурье от гауссовой экспоненты также есть гауссоваэкспонента.Посмотрим теперь, как выглядит соотношение неопределенностей для координаты и импульса в произвольномсостоянии осциллятора. Поскольку√√hm|â|ni = nδm,n−1 , hm|â+ |ni = n + 1δm,n+1 , (4.8)легко получить√¢x0 ¡√nδm,n−1 + n + 1δm,n+1(4.9)hm|x̂|ni = √2и аналогичное выражение для оператора импульса.Таким образом видим, что hn|x̂2k+1 |ni = 0, но hn|x̂2k |ni 6=0.
Иными словами, средние значения координат и импульса в любом состоянии осциллятора равны нулю. Поэтому определение дисперсии сводится к вычислению средних значений от квадратов этих операторов: ∆x2 = x2 и57∆p2 = p2 . Получаем:¶µ¡ +¢x201++22hn| (â )2 + â â + ââ + â |ni = x0 n +.hn|x̂ |ni =222Совершенно аналогично имеем:¶µ1.hn|p̂2 |ni = p20 n +2Таким образом соотношение неопределенностей принимаетвид:µ¶122222h(∆x) ih(∆p) i ≡ hx ihp i = ~ n +.(4.10)2Как видно из формулы (4.10), в основном состоянии достигается минимум соотношения неопределенностей. Иными словами, основное состояние осциллятора представляетсобой наиболее классичную систему.2.5Когерентные состояния осциллятораМы видели, что оператор â неэрмитов, однако ни что немешает нам рассмотреть формально задачу на собственныезначения и состояния этого оператора:â|αi = α|αi.(5.1)Здесь α – любое, в общем случае комплексное, число.Решим сразу эту задачу в координатном представлении.
Используем для простоты безразмерные переменныеhQ|â|αi = αhQ|αi,58(5.2)ил趵1d√ψα (Q) = αψα (Q).(5.3)Q+dQ2Уравнение практически ничем не отличается от уравнения(4.1), поэтому сразу получаем (нормированное) решение1eα1/42 −(<α)21e− 2 (Q−√2α)2.(5.4)πКак видим, это основное состояние осциллятора, у которого “положение равновесия"(среднеезначение координаты√x) сдвинуто на 2α.
Поэтому в этом состоянии минимизируется соотношение неопределенностей. Состояние (5.4)называется когерентным. Рассмотрим некоторые его замечательные свойства.Разложим “неизвестное"состояние |αi по известным базисным состояниям гармонического осциллятораX|αi =Cα,n |ni.(5.5)ψα (Q) =nПодействуем на разложение (5.5) оператором â :XXX√â|αi = αCα,n |ni =Cα,n â|ni =Cα,n n|n − 1i.nnnОткуда получаем рекуррентное соотношениеαCα,n = √ Cα,n−1 ,nαnили Cα,n = √ Cα,0 .n!Таким образом разложение (5.5) принимает видX αn√ |ni.|αi = Cα,0n!nОтнормируем полученное выражение:1 = hα|αi = |Cα,0 |2X |α|2 nn59n!2= |Cα,0 |2 e|α| .Таким образом нормированное разложение (5.5) для когерентного состояния принимает видX αn12√ |ni.(5.6)|αi = e− 2 |α|n!nСогласно принципу суперпозиции квадраты модулей коэффициентов в разложении (5.6) определяют вероятности обнаружить n-е возбужденное состояние осциллятора с энергией En = ~ω(n + 1/2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
