Физические основы квантовых вычислений (1156780), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Матрица плотности эрмитова:ρ̂+ = ρ̂,т.е. ρn0 n = ρ∗nn0 .(2.1)Из эрмитовости матрицы плотности следует действительность диагональных матричных элементов ρnn .2. Cлед матрицы плотности равен единице:XT rρ̂ =ρnn = 1.(2.2)n3. Эрмитова матрица плотности всегда может быть приведена к диагональному виду с помощью некоторогоунитарного преобразования Sb :Xρn δnn0 ≡ wn δnn0 =Skn ρkk0 Sk+0 n0 .(2.3)kk0Следовательно, оператор ρ̂ всегда можно представитьв диагональной форме:Xρ̂ =ρν |νihν|.(2.4)ν4. Матрица плотности положительно определена. Этоследует из требования неотрицательности среднегозначения оператора с неотрицательными собственными значениями.
Действительно, рассмотрим среднее69значение оператора ρ̂ в произвольном состоянии системы |χi, выбрав диагональное представление (1.6):XXhχ|ρ̂|χi =ρν hχ|νihν|χi =ρν |hν|χi|2 ≥ 0, (2.5)ννв силу эрмитовости матрицы плотности.Из этого свойства следует физический смысл диагональных матричных элементов. Поскольку рассмотренный оператор выделяет определенное состояниесистемы (подсистемы), его среднее значение имеет смыслвероятности обнаружения системы в данном состоянии, следовательно, диагональные матричные элементы матрицы плотности имеют смысл вероятности нахождения системы в чистом состоянии |ki, т.е.ρkk = wk .(2.6)PСоответственно, T rρ = k wk = 1 – есть полная вероятность нахождения системы в каком-либо из всехвозможных ортогональных состояний.5. Свойство 3) с учетом свойств 2) и 4) приводит к важному следствию:Ã!2XXX22=ρnn =wn ≤wnnn=ÃXρnnn!2n= (T rρ)2 = 1.(2.7)Понимая, что левую часть соотношения (7.14) можнозаписать в представлении, когда матрица плотностинедиагональна, получаем обобщение:XT r(ρ̂)2 =|ρnn0 |2 ≤ 1.(2.8)nn070Равенство выполняется только в единственном случае, когда система находится в чистом состоянии.Величина (2.8) таким образом имеет очень важное значения для характеристики системы, поэтому имеет своеобозначение:T r(ρ̂)2 = µ−параметр чистоты.(2.9)В квантовой механике большую роль играют амплитуды перехода между различными состояниями.
Например,пусть система находится в состоянии |ψi, тогда амплитуда перехода в состояние |ϕi есть скалярное произведениеэтих двух состояний, соответственно, вероятность перехода из исходного состояния в другое есть квадрат модуляамплитуды перехода:wψ→ϕ = |hψ|ϕi|2 .Как помним, матрица плотности чистого состояния определяется простой формулой (1.5), поэтому для вероятностиперехода можно записать:wψ→ϕ =hψ|ϕi(hψ|ϕi)∗ = hψ|(|ϕihϕ|)|ψi =³´=T r|ϕihϕ||ψihψ| = T r ρϕ ρ+ψ .(2.10)Для определения вероятности перехода (2.10) есть свой термин fidelity.3.3Эволюция во времени.
Уравнение ЛиувилляУравнение, определяющее временную эволюцию матрицыплотности получим, выбрав для определенности вид матрицы плотности для ансамбля подсистем (некогерентной71смеси) (1.13), указав явную зависимость состояний от времени:Xρ̂(t) =wa |ψa (t)ihψa (t)|.(3.1)aВспомним, что изменение состояния во времени определяется оператором эволюции, и перепишем выражение (3.1)в виде:Xρ̂(t) =wa U (t)|ψa (t0 )ihψa (t0 )|U + (t) =(3.2)a=U (t)ÃXa!wa |ψa (t0 )ihψa (t0 )| U + (t) = U (t)ρ̂(t0 )U + (t).Продифференцируем уравнение (3.2) по времени, подставим определение производных по времени для оператора эволюции и получим:ii hb∂ ρ̂(t)= − H,ρ̂(t) .(3.3)∂t~Уравнение (3.3) называется уравнением Лиувилля и оно эквивалентно уравнению Шредингера для состояния.Запишем теперь определение среднего значения какойлибо величины:³´³´bb (t)ρ̂(t0 )U + (t) .hAi = T r Aρ̂(t)≡ T r AUВспоминая, что под знаком T r операторы можно циклически переставлять, получим:³´³´b (t)ρ̂(t0 ) = T r AbH (t)ρ̂(t0 ) , (3.4)hAi = T r U + (t)AUbH (t) – оператор в представлении Гайзенберга.где AДля консервативной системы, когда гамильтониан явноот времени не зависит, оператор эволюции имеет простойвид, и можно записать:ρ̂(t) = e−i~−1 Htb72ρ̂(t0 )ei~−1 Htb.(3.5)Если состояния, представляющие матрицу плотностиобладают определенной энергией (собственные состояниягамильтониана – решения стационарного уравнения Шредингера), получаем, что диагональные матричные элементы не зависят от времени, а недиагональные осциллируютс частотами перехода между соответствующими уровнямиэнергии:ρnk (t) = ρnk (t0 )ei~−1 (Ek −En )t= ρnk (t0 )eiωkn t .(3.6)Среднее значение величины (3.4) теперь можно записатькак:XhAi =Akn ρnk (t0 )eiωkn t .(3.7)k,nВ заключение этого параграфа полезно записать операторное уравнение (3.3) в виде системы уравнений в каком-либоопределенном дискретном базисе:i~3.4X∂ρnk=(Hnm ρmk − ρnm Hmk ) .∂tm(3.8)Равновесная матрица плотностиИтак, мы видели, что матрица плотности позволяет описывать свойства ансамбля систем и, таким образом, имеет тоже значение, что и вектор состояния в квантовой механикепри описании замкнутых систем.
Следовательно, матрицаплотности должна содержать всю необходимую информацию с точки зрения статистической механики. Статистические свойства систем характеризуются такой важнейшейхарактеристикой как энтропия, которая определяется какXS=−wk lnwk ,(4.1)k73где wk – вероятность нахождения системы в состоянии k.Естественно, поэтому выполняются условияXwk = 1, 0 ≤ wk ≤ 1,(4.2)kгде суммирование ведется по всем состояниям.Смысл энтропии состоит в том, что ее можно интерпретировать как некоторую меру недостатка информациио системе. В частности, если система находится в чистомсостоянии |ν0 i, отлично от нуля только wν0 = 1. В этомслучае энтропия равна нулю: информация максимальна,т.е.
полная с точки зрения (квантовой) механики.Представим себе теперь ансамбль систем, которые с равными вероятностями находятся во всех возможных состояниях. В таком случае энтропия максимальна, поскольку мы обладаем минимальной информацией. Убедимся вэтом, воспользовавшись методом неопределенных множителей Лагранжа, проварьировав выражение (4.1) при условии (4.2):X(1 + lnwk + λ) δwk = 0,(4.3)kгде λ – неопределенный множитель.Поскольку каждая из вариаций δwk независима, уравнение (4.3) удовлетворяется, еслиlnwk = −(1 + λ).Как видим, вероятность не зависит от состояния, мы неможем различить состояния систем в ансамбле, а поэтомуне обладаем никакой информацией.
Поскольку λ не зависит от состояния, энтропия с полученными вероятностямимаксимальна.Вспомним теперь основные свойства матрицы плотности, рассмотренные в параграфе (3.2), а именно, свойство74(7.7) и (7.8). Следовательно можно выразить энтропию согласно определению (4.1) через матрицу плотности в диагональном представлении:X(4.4)S=−ρν lnρν .νОбратим внимание, что выражение (4.4) можно переписать, используя выражение (1.6):XS=−hν 0 |(ρν |νihν|)|ν 00 ihν 00 |(lnρν |νihν|)|ν 0 i = −T rρ̂ν lnρ̂ν .ν,ν 0 ,ν 00Здесь ρ̂ν обозначает матрицу плотности, записанную в диагональном представлении.Поскольку от диагонального представления всегда можно перейти к произвольному, запишем теперь определениеэнтропии через оператор ρ̂ в общем виде:S = −T rρ̂lnρ̂.(4.5)В дальнейшем будем использовать термины как матрицаплотности, так и статистический оператор.Определим теперь вид статистического оператора в рассмотренном выше случае, когда все состояния ансамбля систем равновероятны.
Проварьируем определение (4.5) приусловии равенства единице следа оператора:T r(1 + lnρ̂ + λ)δ ρ̂ = 0,или1− c − число.(4.6)1+λЗададим теперь дополнительные сведения об ансамблесистем. А именно, пусть ансамбль характеризуется энергией, которая согласно свойствам матрицы плотности поопределению естьρ̂ =bhEi = E = T rρ̂H,75(4.7)b – гамильтониан систем ансамбля.где HВновь потребуем максимума энтропии, но теперь ещепри одном дополнительном условии (4.7):b ρ̂ = 0.T r(1 + lnρ̂ + λ + β H)δПоскольку все вариации произвольны, получаемилиblnρ̂ = −1 − λ − β H,bρ̂ = e−(1+λ) e−β H .(4.8)Первая экспонента в формуле (4.8) может быть выражена через статистическую сумму из условия нормировкиматрицы плотности T rρ̂ = 1 :be1+λ T re−β H ≡ Z.(4.9)Можно теперь переписать выражение (4.8), используя определение (4.9):bρ̂ = Z −1 e−β H .(4.10)Оставшийся неопределенный параметр β находится из условия (4.7):bb −β H = −hEi = Z −1 T rHe∂lnZ.∂β(4.11)Таким образом, параметр β определяется величиной средней энергии.
В термодинамическом пределеβ=1.T(4.12)Здесь и далее мы измеряем температуру в единицах энергии ( или полагаем постоянную Больцмана k = 1.)764.5Уравнение для матрицы плотностив координатном представленииЗапишем уравнение Лиувилля (3.3) для матрицы плотности в координатном представлении, воспользовавшись методами теории представлений, изложенными в главе 11 :0b ρ̂(t)|x0 i − ihx|ρ̂(t)H|xb 0 i = 0.ˆhx|ρ̇(t)|xi + ihx|H(5.1)Обозначим для краткости матричные элементы в координатном представлении как:b 0 i ≡ Axx0 .hx|A|x(5.2)В обозначениях (7.5) уравнение (5.1) принимает вид:XX∂ρxx0 (t) + iHxy ρyx0 − iρxy Hyx0 = 0∂tyy(5.3)Для непрерывного базиса все суммы имеют смысл интегральных и поэтому заменяются интегралами, а матричные элементы представляются ядрами этих интегральныхоператоров. Следовательно, можно записать в координатном представлении:ZXbH(x)ρ(x, y) ≡ H(x, x0 )ρ(x0 , y)dx0 =Hxx0 ρx0 y .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
