Главная » Просмотр файлов » Физические основы квантовых вычислений

Физические основы квантовых вычислений (1156780), страница 18

Файл №1156780 Физические основы квантовых вычислений (Физические основы квантовых вычислений) 18 страницаФизические основы квантовых вычислений (1156780) страница 182019-09-18СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

(7.7)Z2 =n=0N =0n1 ; n2n1 + n 2 = Nk=0Для многоуровневых систем результат легко обобщается.Применим полученный результат для систем бозе и ферми частиц:YYXeβ(µ−εν )nν,σ .Z=(7.8)νσ nν,σДалее в формуле (7.8) проведем суммирование для двухсортов частиц раздельно. Для ферми-частиц nν,σ = 0, 1,поэтому получаем´YY³1 + eβ(µ−εν ) .ZF =(7.9)νσ160Для бозе-частиц никаких ограничений на число частиц вданном одночастичном состоянии нет, поэтому суммирование приводит к сумме бесконечной геометрической прогрессии, однако для сходимости результата необходимо наложить ограничение на величину параметра µ. Посколькуэнергия каждой частицы ограничена, необходимо, чтобыпри достаточно больших n члены суммы убывали, поэтомуµB < 0(7.10)и получаемZB =YY³νσ1 − eβ(µ−εν )´−1.(7.11)Ограничений на параметр µF ферми-системы нет. Результаты (7.9) можно (7.11) объединить одной записью, введязнакомый параметр ζ :´−ζYY³1 − ζeβ(µ−εν ).(7.12)Zζ =νσИтак, для систем невзаимодействующих тождественныхчастиц факторизуется большая статистическая сумма,однако следует заметить, что теперь сомножители (одночастичные статсуммы) соответствуют не реальным отдельным частицам, а индивидуальным одночастичным состояниям, поэтому в сумме всегда присутствует бесконечноечисло сомножителей.

Такая, на первый взгляд абстрактная, ситуация на самом деле полностью отражает свойствасистем тождественных частиц: не имеет значения какая частица находится в системе с данной энергией, важно сколько частиц и в каких состояниях составляют данный ансамбль.Мы логично подошли к выводу, что для системы тождественных частиц важную роль (даже, может быть более161важное чем сама функция распределения) играет среднеечисло частиц в данном квантовом состоянии hnν,σ i.Запишем матрицу плотности большого каноническогоансамбля ρG в представлении вторичного квантования:!ÃX−1+ρG =Z exp β(µ − εν )aν,σ aν,σ =Ã=Z −1 exp βν,σXν,σ(µ − εν )n̂ν,σ!.(7.13)По определению среднее число частиц в состоянии |ν, σiестьhnν,σ i = T r n̂ν,σ ρG .(7.14)Запишем выражение (7.14) в явном виде и учтем, перестановочные ссотношения для операторов рождения и уничтожения, а именно: операторы числа частиц в разных состояниях между собой перестановочны, поэтому при вычислении следа с оператором n̂ν,σ “зацепится” только одинсомножитель в факторизованной сумме.

Получаем:hnν,σ i =QP β(µ−εν )nν,σeX0 ,σ 0 6=ν,σ} nν,σ{νQP β(µ−ε )nnν,σ eβ(µ−εν )nν,σ ==νν,σenν,σPneβ(µ−εν )n= P β(µ−ε )nνe{все (ν,σ)} nν,σn(7.15)nПоследнее слагаемое в формуле (7.15) можно выразить ввиде производной:!ÃX∂exp (β(µ − εν )n) .(7.16)hnν,σ i =ln∂(βµ)n162Полученная в выражении (7.16) уже вычислена для фермии бозе-систем:³´−ζ∂1ln 1 − ζeβ(µ−εν )hnν,σ iζ == β(ε −µ). (7.17)ν∂(βµ)e−ζТаким образом получаем распределение Бозеhnν,σ iB =1eβ(εν −µ)и распределение Ферми:hnν,σ iF =−11eβ(εν −µ)+1.(7.18)(7.19)Отметим, что в полученных формулах распределений среднее число частиц не зависит от проекции спина, однаконельзя забывать, что состояние обязательно определяетсянабором {ν, σ}, поэтому в распределении Ферми (7.19) наданном уровне энергии могут находиться 2s + 1 частицы сразными проекциями спина, а для бозе-частиц таких ограничений нет. Тем не менее при выполнении суммированиянельзя забывать различные спиновые состояния.7.8Понятие о парастатистикеРассмотрим системы, описываемые статистикой, которуюможно рассматривать как “гибрид” статистик Ферми и Бозе, т.е.

в каждом состоянии ν такой системы может находиться не более p частиц. Если p = 1, имеем статистикуФерми, а если p → ∞ – статистику Бозе. В таком случаеговорят, что система описывается парастатистикой. Мыне будем здесь пытаться ввести многочастичный формализм чисел заполнения, как это делали для существующихферми- и бозе-частиц, но получим только функцию распределения, аналогичную распределениям (7.1) и (3.3), исходя163из комбинаторных представлений для нахождения наиболее вероятного распределения.Поскольку в каждом состоянии |νi может находитьсяне более p частиц (p ≥ 1), следует сперва определить статистический вес каждого состояния.

Статистический вессостояния, когда в нем находится n частиц есть: γν (n). Таким образом каждое состояние обладает статистическимвесомpXΓν =γν (n).(8.1)n=0Соответственно, в каждом состоянии может находиться число частиц:pXNν =nγν (n).(8.2)n=0Полное число состояний в такой системе (статистическийвес) равно:Γ=XνΓν !.γν (0!)γν (1)! . . . γν (p)!(8.3)Найдем экстремум числа состояний (8.3) при условиях:XXN=Nν , E =εν N ν .(8.4)ννОбычно ищется экстремум не самой функции (8.3), а еелогарифма, т.е.

статистической энтропии при вариации попеременным γν . Составим функционал:Φ = ln Γ − βE + βµN ="#XX=ln Γν ! −(ln γν (n)! + βεν γν (n)n − βµγν (n)n) . (8.5)νn164Далее заменим по формуле Стирлинга с точностью до предэкспоненциального множителя всеln γν (n)! ≈ γν (n) ln γν (n) − γν (n)и проварьируем функционал (8.5) по переменным γν (n) :"#X X(ln γν (n) + βεν n − βµn) δγν (n) = 0.(8.6)ννРешением уравнения (8.6) будет экспонентаγν (n) = e−β(εν −µ)n ,(8.7)а частная статистическая сумма (статистический вес Γν )равна сумме конечной геометрической прогрессии:Γν =pXe−β(εν −µ)n =n=01 − e−β(εν −µ)(p+1).1 − e−β(εν −µ)(8.8)Теперь нам осталось определить среднее число частиц всостоянии ν.

Процедура совершенно аналогична, проделанной для распределения Ферми и Бозе:PppXne−β(εν −µ)n−1hnν i =nΓν γν (n) = Pn=0=p−β(εν −µ)nn=0 en=0Ã p!X∂lne−β(εν −µ)n .=∂(βµ)n=0Сумма под знаком логарифма посчитана и равна (8.8), поэтому окончательно получаемhnν i =1eβ(µ−εν )−1−p+1eβ(µ−εν )(p+1)−1.(8.9)Как видно, формула (8.9) при p = 1 переходит в распределение Ферми (7.19), а при p → ∞ – в распределение Бозе(7.18).165.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
597,37 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6376
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее