Физические основы квантовых вычислений (1156780), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Основы для данногоописания заложены в начале параграфа 5.3. Покажем, чтолюбой одночастичный оператор fˆ можно записать в виде:Xfˆ =fnk |nihk|,(7.1)n,kгде |ni - одночастичный базис. Действительно, подействуемоператором (7.1) на произвольную одночастичную функцию:XXfˆ|ψi =fnk |nihk|ψi =fnk ck |nin,kn,kПолучили выражение, совпадающее с формулой (3.1).При описании любой многочастичной системы вводятсяоператоры, которые действуют только на состояние однойчастицы – одночастичные операторы; операторы, которыеописывают взаимодействие двух частиц – двухчастичныеоператоры и т.д.
Очевидно, запись этих операторов в представлении вторичного квантования будет различной.152Определим действие одночастичных операторов на N частичное состояние |ψiζ . Очевидно, что в линейной комбинации (2.6) одночастичный оператор может действоватьтолько на одну частицу. Поскольку в системе тождественных частиц она может находиться в любом состоянии, одночастичный оператор должен подействовать на все одночастичные состояния, в которых может находиться частица.Мы видели, что одночастичный оператор заменяет однобазисное состояние на другое с весом, равным соответствующему матричному элементу (7.1).
Поэтому мы должныобобщить такой подход на симметризованное многочастичное базисное состояние. Пусть |ϕi – одно из нормированныходночастичных базисных состояний. Определим действиеоператора a+ (ϕ1 )a(ϕ2 ) на N -частичное состояние |ψiζ :a+ (ϕ1 )a(ϕ2 )|ψiζ ==NXk=1ζ k−1 hϕ2 , ψk i|ϕ1 , ψ1 , . . . , ψk−1 , ψk+1 , . . . , ψN i.(7.2)Заметим далее, что в формуле (7.2) можно поставить состояние |ϕ1 i на место состояния |ψk i :ζ k−1 |ϕ1 , ψ1 , .
. . , ψk−1 , ψk+1 , . . . , ψN i ==|ψ1 , . . . , ψk−1 , ϕ1 , ψk+1 , . . . , ψN i.Таким образом, любой одночастичный оператор можно представить в виде:Xfˆ(1) =fmn a+(7.3)m an ,m,nгде an ≡ a(ϕn ).Пример.Пусть в качестве одночастичного базиса выбраны собствен153ные состояния гамильтониана одной (невзаимодействующей с другими частицами) частицы:bH|ni= En |ni,тогда в представлении вторичного квантованияXb =HEn a +n an .(7.4)nУпражнения.1. Записать оператор импульса в импульсном представлении.2. Выразить оператор импульса через полевые операторыи записать его в координатном представлении.3. Записать гамильтониан в импульсном представлении.4.
Выразить гамильтониан через полевые операторы и записать его в координатном представлении.Рассмотрим теперь представление операторов, описывающих взаимодействие двух частиц – двухчастичное взаимодействие: V (r1 − r2 ) = V (r2 − r1 ). Легко видеть, чтосказанное об одночастичном операторе аналогичным образом обобщается и на двухчастичный случай: здесь одновременно должны измениться два одночастичных состояния вN -частичном состоянии |ψiζ . Пусть в качестве одночастичного базиса выбраны состояния с дискретным спектром также как и в формуле (7.3), тогда можно записать:1Vb (2) =2!X+Vmn,m0 n0 a+m a n a n 0 a m0 ,m,m0 ,n,n0где матричный элемент³´Vmn,m0 n0 = hm, n|V |m0 , n0 i ≡ hm| hn|Vb |n0 i |m0 i,154(7.5)а коэффициент перед знаком суммирования учитывает число перестановок одинаковых частиц.Совершенно аналогично можно записать в представлении вторичного квантования любой оператор n-частичноговзаимодействия, не забывая при этом число перестановокn!.Упражнения.1.
Записать оператор парного взаимодействия через полевые операторы.2. Записать оператор парного взаимодействия в импульсном представлении.3. Записать оператор n-частичного взаимодействия в представлении вторичного квантования.7.6Матрица плотности в представлениичисел заполненияМы получили выражение для матрицы плотности (статистического оператора) для ансамбля систем с определенной полной энергией (канонический ансамбль), при этоммы считали, что в каждой подсистеме ансамбля число частиц (состояний) не может измениться. Матрица плотностиимела видbρ = Z −1 e−β H ,(6.1)где статистическая сумма определена какbZ = T re−β H ,(6.2)а β > 0 – некоторый параметр.
Очевидно, вычислять следоператора удобно в представлении, когда операторная экспонента диагональна, т.е. в базисе собственных состоянийгамильтониана. Такая возможность реально представляется в случае, когда можно рассматривать невзаимодействующие подсистемы.
То же самое можно сказать и о самой155подсистеме, состоящей из многих тождественных частиц:корректно определить состояния можно только в приближении невзаимодействующих частиц, когда хорошо определены одночастичные состояния. Поскольку в дальнейшем для нас важное значение будет играть тип частиц,выделим в одночастичных наборах величин в явном видепроекцию спина частицы и определим полный набор величин для одночастичных состояний как |ν, σi. Тогда гамильb 0 системы невзаимодействующих тождественныхтониан Hчастиц имеет вид:XXb0 =Hεν a +(6.3)ν,σ aν,σ .νσНапомним, что энергия одночастичного состояния εν не зависит от спинового состояния.Запишем теперь матрицу плотности с гамильтонианом(6.3):!ÃXX−1+(6.4)ρ = Z exp −βεν aν,σ aν,σνσи, соответственно, статистическую сумму:Ã!XXXXXexp −βεν nν,σ ,Z=nν,σ = N.
(6.5)νnν,σσνσЗдесь мы учли, что+ζ hψ|aν,σ aν,σ |ψiζ= nν,σ .Суммирование в формуле (6.5) при дополнительном условии фиксированного числа частиц не позволяет продвинуться далее этой записи, поскольку многочастичные состоянияимеют определенную перестановочную симметрию, что делает невозможным факторизацию выражения и, соответственно, сведение его к вычислению одночастичных статистических сумм. Действительно, для бозе-частиц числа156nν,σ могут принимать любые целые неотрицательные значения, тогда как для ферми-частиц nν,σ = 0, 1.Для сравнения рассмотрим ансамбль N различимых частиц, которые тем не менее описываются совершенно одинаковыми наборами квантовых чисел и обладают одинаковым энергетическим спектром (в этом случае квантовоечисло σ = 0).
Пусть в состоянии с набором чисел ν находится nν частиц, тогда число состояний в ансамбле длятакой одночастичной конфигурации равноΓν =N!,nν1 !nν2 ! . . .(6.6)а статистическая сумма такого канонического ансамбля равнаZ=XΓν e−βPεν n ννP {nν };nν = N=XP {nν };nν = NN ! Y −βεν nνQe.nν ! νОбратим теперь внимание на то, что числа состояний (6.6)есть полиномиальные коэффициенты, поэтому можем окончательно записать:!NÃXZ=e−βεν= Z1N .(6.7)νДля ферми и бозе статистик полиномиальный коэффициент в результате суммирования не возникает, поэтому статистическая сумма не факторизуется, т.е. не содится к одночастичной статсумме Z1 . Оказывается факторизацию можно провести, если снять ограничение на фиксированное число частиц.
Но в таком случае рассматриваемые ансамбличастиц будут отличаться от канонических.1577.7Большой канонический ансамбльРассмотрим теперь ансамбль подсистем большой замкнутой изолированной системы, который может обмениватьсяне только энергией, но и частицами с остальной частьюсистемы. Такой ансамбль называется большим каноническим. Очевидно, распределение будет отличаться от полученного ранее канонического распределения, поскольку появилась дополнительная (макроскопическая) степень свободы, которая позволяет ввести дополнительное статистическое понятие. Поскольку речь идет об обмене частицами, число частиц в подсистемах ансамбля не фиксировано,следовательно нам придется определять наряду со среднейэнергией среднее число частиц hN i :Ã!Ã!XXbρ = T rhN i = T r Na+n̂ν,σ ρ.ν,σ aν,σ ρ ≡ T rν,σν,σ(7.1)Далее найдем экстремум энтропии при условии нормировки матрицы плотности и значений средних энергии и числачастиц. В результате вариации по матрице плотности получаем:³´b + λNb δρ = 0.T r ln ρ + 1 + α + β H(7.2)Здесь введен дополнительный неопределенный множительЛагранжа λ, который удобно переопределить как λ = −βµ.Такой выбор знака нового параметра µ будет понятен ниже.
Решение уравнения (7.2) есть:bbρ = Z −1 e−β(H−µN ) ,158(7.3)где нормировочный множитель есть большая статистическая сумма:bbZ = T re−β(H−µN ) =!!ÃÃ∞XXXXεν,σ nν,σ . (7.4)exp βµnν,σ exp −β=N =0P {nν,σ };nν,σ = Nν,σν,σДополнительное суммирование по числу частиц в формуле(7.4) позволяет факторизовать большую статистическуюсумму для бозе- и ферми-частиц.
Перепишем выражение(7.4) в видеZ=∞XN =0XP {nν,σ };nν,σ = NYYνσexp (β(µ − εν )nν,σ ) .(7.5)Теперь нам нужно поменять местами знаки суммированияпо всем без ограничения числам частиц N и произведенияпо одночастичным состояниям частиц в ансамбле. Такаяперестановка напоминает сведение многомерного интеграла к произведению одномерных интегралов по независимым переменным. Итак, в нашем выражении (7.5) проводится двойное суммирование произведений двух сомножителей со степенями, зависящими от переменных суммирования, при этом во всем выражении встречаются сомножители со всеми возможными степенями. В такой суммеможно выбирать любой порядок суммирования, например,зафиксировав степень одного сомножителя провести суммирование по всем степеням другого сомножителя, а затемпровести суммирование по всем степеням первого сомножителя.
Легко видеть, что в этом случае сумма произведений сводится к произведению сумм. Эти рассужденияможно проиллюстрировать наглядной схемой.159Пусть ансамбль состоит из двухуровневых подсистем,т.е. ν = 1, 2 и соответственно имеем nν = n1 , n2 . Нам нужновычислить суммуZ2 =∞XN =0Xan1 bn2 =N∞ XXaN −n bn .(7.6)N =0 n=0n1 ; n2n1 + n 2 = NПредставим полученную сумму (7.6) в виде схемы:1a+ba2 + ab + b2a3 + a2 b + ab2 + b3.....................Легко видеть, что суммирование по строкам данной схемыесть суммирование произведений, а суммирование “по диагоналям”, дающее тот же результат, есть произведениесумм:Ã∞!à ∞ !∞XXXXn1 n2na b =abk .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
