Физические основы квантовых вычислений (1156780)
Текст из файла
Оглавление1 Дираковская формулировка квантовой механики1.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Дираковская формулировка квантовой механики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3 Временная эволюция состояний. . . . . . . . .1.4 Гамильтоновы системы. Квантование. . . .
.1.5 Представления Шредингера и Гайзенберга .1.6 Представление взаимодействия . . . . . . . .1.7 Представления основных операторов . . . . .1.8 Матрица перехода, волновая функция свободной частицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.9 Уравнение Шредингера в произвольном представлении . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .2 Гармонический осциллятор2.1 Гамильтониан . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2 Операторы a и a+ . . . . . . . . . . . . . . . .2.3 Спектр и состояния осциллятора. Энергетическое представление . . . . . . . . . . . . . .2.4 Волновые функции . . . . . . . . . . . . . . .2.5 Когерентные состояния осциллятора .
. . . .3668152026303237464949505255583 Матрица плотности3.1 Определение матрицы плотности . . . . . . .3.2 Свойства матрицы плотности . . . . . . . . .3.3 Эволюция во времени. Уравнение Лиувилля3.4 Равновесная матрица плотности . . . . . . . .4.5 Уравнение для матрицы плотности в координатном представлении . . . . . . . .
. . . . .62626971734 Представления матрицы плотности4.1 Функция Вигнера . . . . . . . . . . . . . . . .4.2 Некоторые свойства преобразования Фурье.Уравнение Мойала для функции Вигнера . .4.3 Томографическое распределение . . . . . . .4.4 Уравнение эволюции для томографическогораспределения . . .
. . . . . . . . . . . . . . .7979778388955 Представление вероятностей для дискретногоспектра на примере момента количества движения995.1 Оператор момента импульса, собственные состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.2 Углы Эйлера и матрица поворота . . . . .
. . 1055.3 Сложение моментов. Коэффициенты КлебшаГордана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.4 Матрица поворота для j = 1/2 и 1 . . . . . . 1165.5 Угловой момент и система двух осцилляторов 1205.6 Представление матрицы плотности для системы с моментом j . . . . . . . . . . . . . . . 1225.7 Инвариантная формулировка томографии состояний момента . . . . . . . . . . . . . .
. . . 1266 Перепутанные состояния (entanglement)1286.1 Сепарабельные и перепутанные состояния . . 1286.2 Критерий сепарабельности . . . . . . . . . . . 13146.3Состояние Вернера . . . . . . . . . . . . . . . 1327 Системы многих частиц7.1 Cистема связанных гармонических осцилляторов . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .7.2 Cистемы тождественных частиц . . . . . . . .7.3 Операторы рождения и уничтожения. . . . .7.4 Представление чисел заполнения . . . . . . .7.5 Представление основных операторов . . . . .7.6 Матрица плотности в представлении чиселзаполнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.7 Большой канонический ансамбль . . .
. . . .7.8 Понятие о парастатистике . . . . . . . . . . .5135135139143147152155158163Глава 1Дираковскаяформулировкаквантовой механики1.1ВведениеОдин из основных постулатов квантовой механики – принцип суперпозиции. Вспомним его суть: пусть задан какойлибо базис. Этот базис можно связать с собственными функциями соответствующего оператора физической величины.Тогда разложение функции состояния (волновой функции)системы по данным базисным функциям будет определятьсостояние в "системе координат", которая определена данной физической величиной. В таком случае состояние полностью определяется коэффициентами разложения Фурье.Соответственно, вместо функции состояния достаточно рассмотреть только коэффициенты разложения, которые представляют его в данном базисе.
Иными словами, выбираябазис, мы выбираем представление, в котором описываемлюбое состояние квантовой системы. Выбор базиса неод6нозначен, причем не только с формальной стороны, но ипостольку поскольку физических величин много и им соответствуют, вообще говоря, различные базисные функции. Всоответствии с этим и выбор представления данного состояния неоднозначен.Перейдем к операторам. Задавая базис представления(состояния), мы полностью определим действие оператора на произвольное состояние, если известна матрица оператора в данном базисе или, что то же, в данном представлении.
Действительно, пусть ψn – базисные функциипредставления, тогда оператор fˆ, действуя на них, вообщеговоря, изменяет их:Xfˆψn = ϕ =fmn ψm ,(1.1)mгдеfmn =Z∗ϕdrψm=Z∗ ˆψmf ψn dr.Подействуем на произвольное состояниеXΨ=an ψn(1.2)(1.3)nоператором fˆ:fˆΨ = Φ =Xan fˆψn =nXfmn an ψm .(1.4)n,mКак видно из этого примера, вместо волновой функции Ψдостаточно рассмотреть вектор-столбецa1 a2 a3 (1.5)a= ...
an ...7Тогда действие оператора на состояние полностью определяется правилами умножения матрицы оператора на столбец, стоящий справа. Рассмотрим теперь среднее значениеоператора в данном состоянии. Сперва заметим, чтоX∗Ψ∗ =a∗m ψm.(1.6)mПолучаем:ZZXX∗ ˆ∗ˆ∗ˆf ψn dr =a∗m fmn an .hf i = Ψ f Ψdr =am an ψm(1.7)m,nm,nТаким образом, сопряженная волновая функция полностьюопределяется вектором-строкой с элементамиa∗ = (a∗1 , a∗2 , . . .
, a∗m , . . . ).(1.8)Далее видим, что необходимое число получается опять всоответствии с правилами матричного умножения линейной алгебры.1.2Дираковская формулировка квантовой механикиИтак, в предыдущем параграфе мы увидели, что, во-первых,описание состояния квантовой системы с помощью волновой функции не представляется единственным способом,во-вторых, необходимые физические величины получаютсяв линейном векторном пространстве, в котором состоянияпредставлены векторами, а операторы – матрицами.
Такимобразом, основные постулаты квантовой механики можносформулировать в более общем виде: в виде дираковскойформулировки квантовой механики.81. Множество всех состояний квантовой системы составляет пространство состояний, элементы этого пространства – вектора состояний – будем обозначать как |ψi.2. В силу принципа суперпозиции, пространство состояний линейно. Т.е. если два состояния |ψ1 i и |ψ2 i – какиелибо два вектора состояний, то линейная комбинация |ψi =c1 |ψ1 i+c2 |ψ2 i тоже вектор состояния из этого же пространства.
Пространство состояний полное.3. Согласно представлениям о взаимодействии макроскопической системы с микросистемой измерение какойлибо физической величины связано, вообще говоря с изменением состoяния квантовой системы. Иными словами,при извлечении значения физической величины f состояние |ψi → |ϕi.
Процедуре изменения состояния долженсоответствовать оператор fˆ, определенный в этом же пространстве состояний, который соответствующим образомизменяет состояние: fˆ|ψi = |ϕi.4. Значение физической величины получается в результате сравнения состояния системы до и после измерения.Как хорошо понятно, существенной характеристикой вектора является его направление, поэтому от несущественныххарактеристик следует избавиться.
В линейной алгебре длявыделения существенной характеристики вводится понятие скалярного произведения. Мы видели, что при задании состояния в виде векторов нам понадобились векторастолбцы и сопряженные к ним вектора-строки. Соответственно, наряду с "прямым"пространством состояний следует определить также и сопряженное пространство состояний, элементы которого будем обозначать как hψ|. Тогда|ψi+ = hψ|.Вектор |ψi называют кeт-вектором, а сопряженный к немуhψ| – бра-вектором в соответствии с двумя "половинка9ми"английского слова bracket. 1Теперь можно ввести скалярное произведение двух векторов |ψi и |ϕi в комплексном векторном пространстве состояний какC = hϕ|ψi; C ∗ = hψ|ϕi.Соответственно, если|ψi = c1 |ψ1 i + c2 |ψ2 i,то hψ| = c∗1 hψ1 | + c∗2 hψ2 |.Согласно определению скалярного произведения1) hϕ|(c|ψi) = chϕ|ψi,2) hϕ|(c1 |ψ1 i + c2 |ψ2 i) = c1 hϕ|ψ1 i + c2 hϕ|ψ2 i.Поскольку число hψ|ψi = kψk2 конечно, будем полагать всевектора состояний нормированными на единицу kψk2 = 1.Вновь вернемся к действию оператора на вектор состояния: fˆ|ψi = |ϕi, очевидно, что, вообще говоря, изменяетсякак "направление"вектора, так и его норма: kϕk2 6= 1.
Поэтому числоhψ|ϕi = hψ|fˆ|ψi = f(2.1)непосредственно связано с соответствующей физическойвеличиной. Положим, что так получаемое число и есть искомая физическая величина, поэтому соотношение (2.1) надо понимать как определение оператора соответствующейфизической величины.Дальнейшие постулаты о полноте описания квантовойсистемы и об уравнении, которому подчиняются состояния,сформулируем так.1Как рассказывают очевидцы, на семинаре в институте Физических Проблем во время выступления П.А.М.Дирака сам Л.Д.Ландаупереводил тогда новые термины как "ско"и "бка".10Постулат о степени полноты описания квантовой системы : cуществует максимально возможное число физических величин, которые могут быть одновременно точноизмерены для данной системы.
Совокупность этих физических величин называется полным набором. Обычно числовеличин, входящих в полный набор, меньше того, которыйследовал бы из классических соображений. Как правило,поэтому выбор физических величин, входящих в полныйнабор, неоднозначен. Тем не менее, задав какой-либо полный набор, мы задаем полное (с точки зрения квантовоймеханики) описание состояния системы. Возможность различных выборов полных наборов имеет глубокий смысл.Действительно, выбирая различные наборы, мы по-разному(с разных позиций) описываем одно и то же состояние квантовой системы, или иными словами, по разному представляем состояние системы.
С этой неоднозначностью связаноочень большое удобство и преимущество квантовой механики: существование различных представлений.Уравнение, которому подчиняется волновая функция.В нерелятивистской квантовой механике это – уравнениеШрёдингера:∂bi~ |ψi = H|ψi(2.2)∂tb – оператор Гамильтона (энергии). Суть постулаЗдесь Hта заключается в том, что эволюция состояния квантовойсистемы полностью определяется ее энергией. Таким образом, гамильтониан – “главный” oператор в квантовой механике.Перечисленные постулаты не исчерпывают всех постулатов квантовой механики. Более того, в различных пособиях (или учебниках) система постулатов может бытьсформулирована в другой последовательности и в большем объеме, однако здесь представлены наиболее общие11постулаты.
Расширение данной системы связано с развитием уже отдельных постулатов.Вновь вернемся к определению (2.1). Очевидно, чтоf = hψ|(fˆ|ψi) ≡ (hψ|fˆ)|ψi,(2.3)т.е. оператор может действовать как вправо на вектор кет,так и влево на вектор бра. Очевидно также, что, вообщеговоря,hψ|fˆ 6= hϕ|,однако можно найти соответcтвующий операторhϕ|ψi = (hψ|ϕi)∗ = (hψ|fˆ|ψi)∗ ≡ hψ|fˆ+ |ψi,т.е.(2.4)hψ|fˆ+ = hϕ|,где fˆ+ – эрмитовски сопряженный оператор, действующийв сопряженном пространстве так же, как fˆ в "прямом".Поскольку физические величины действительны, соответствующие им операторы эрмитовы.
Как и для волновыхфункций вновь поставим задачу на собственные значения:fˆ|ψi = f |ψi.(2.5)Для оператора физической величины собственные векторасоставляют базис, а собственные значения действительны.Поскольку состояние (2.5) определяется значением физической величины f , вместо "абстрактной"буквы ψ удобнопоставить соответствующее значение физической величины, тогда уравнение (2.5) перепишется в видеfˆ|f i = f |f i.(2.5a)Например, для оператора энергии следовало бы собственные вектора записать так:bH|Ei= E|Ei.12(2.6)Если спектр оператора дискретен, удобно вместо собственного значения записывать его “номер”, т.е. если, например, E → En , тогда |En i ≡ |ni.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
